Considérons en particulier les équations binômes

F (a) étant une fonction rationnelle de w, dont l'intégrale générale est uniforme. Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que la relation U'" = F(m) soit du genre zéro ou un. Or, nous avons énuméré, à la page 245, toutes les équations binômes du genre zéro ou un; il suffira donc de prendre les équations binômes de genre

zéro pour lesquelles l'intégrale / -yr = / est une intégrale

de seconde ou de troisième espèce et les équations de genre un pour lesquelles cette intégrale est de première espèce. Cet examen ne présente aucune difficulté, et il nous suffira de donner le Tableau des équations binômes dont l'intégrale générale est uniforme :

I** Équations dont l'intégrale est une fonction rationnelle de z :

du du . au . \— ^ir* / i \~~i^

du , .-zr- du . x-t;—

2° Équations dont l'intégrale est simplement périodique :

du , . , , . du . .

3** Équations dont Finlégrale générale esl uniforme et doublement périodique :

2jj =G{u-ay{u-bY{u-c)\

/ du \ * (i8) [^J =G{u-a)Hu-bf{u-c)\

(19) (^'y = G(K-a)'(tt-6)>,

(20) (gy = G(a-a)'(«-6)»,

(24) (^^y = 0(u^hY{u-c)K

Les équations dont l'intégrale est rationnelle ou simplement périodique s'intègrent immédiatement. Pour ramener les équations dont l'intégrale est doublement périodique à la forme canonique (i4) ou (i5), il suffit d'employer la méthode de M. Hermite. On a déjà vu (n° 133) comment on peut exprimer les coordonnées d'un point d'une courbe de genre un, représentée par une équation binôme, par des fonctions rationnelles d'un paramètre t et de la racine carrée d'un polynôme R(<) du troisième ou du quatrième degré. L'application de la méthode de M. Hermite n'offre donc aucune difficulté. Nous indiquerons rapidement les résultats.

On passe de l'équation (i6) à l'équation (17) en changeant u

en c H Si l'on pose, dans l'équation (1 7), -r: = Gt-, on en tire

Gt^ = (u — a) (u — b) ,

LE PROBLÈME DE l'INVEBSION. 4^7

la nouvelle fonction inconnue t est déterminée par Téquation

(•25) 3 ^ = y/{a-ù)i^iGtK

Les trois équations (18), (19) et (20) forment un seul groupe, car on passe de l'équation (18) à l'équation (19) en changeant u

en cH — » et de l'équation (20) à l'équation (19) en changeant

u en a -\ — • 11 suffît donc de considérer l'équation (19); en posant

il vient

u = b-^Gt^,

Ji =Gt^{ù — a-h Gt^)t,

et, par suite»

De même, les quatre équations (21), (22), (ao), (24) se ramènent par une substitution linéaire à l'équation (22). Si l'on pose

dans cette dernière

a = 6 -4- ^^ il vient

et l'on a, pour déterminer t^ l'équation différentielle

On trouvera d'autres exemples intéressants dans la Théorie des fonctions doublement périodiques (p. 393-4i6).

209. Voici une autre application importante des résultats obtenus. Etant donnée une fonction analytique uniforme /(z) d'une variable 5, on dit que cette fonction admet un théorème d^addi-

lion, s'il existe une relation algébrique entre f{z)^ f{^) ^^ /{z -\- t)^ quelles que soient les valeurs de z et de t. Soit

cette relation, ^ désignant un polynôme entier en f{z)^ /(O? /{z-ht). Posons, pour simplifier, u=/(z)^ v=zf(^t)^ wrz=Lf[z-\-t)\ en difTérentiant l'équation (28) par rapport à ^ et par rapport à t successivement, il vient

En éliminant /'(^-l- t) entre ces deux relations, on trouve

enfin, si l'on élimine /(^ 4- 0 ^"tre les équations (28) et (29), on obtient une nouvelle relation algébrique

Attribuons à t une valeur fixe quelconque t^\ on voit qu'il existe une relation algébrique entre/(5) Gif'{z), Donc (n** 206), les seules fonctions uniformes qui puissent admettre un théorème d^ addition sont : 1° les fonctions rationnelles de z] 2** les fonctions rationnelles de e^^; 3^ les fonctions doublement périodiques de Zj n'admettant que des discontinuités polaires à distance finie.

Nous n'insisterons pas sur la démonstration de la proposition réciproque, qui est bien connue.

210. Le problème résolu au début de ce Chapitre peut être généralisé de différentes façons. Considérons encore une intégrale abélienne

w = I R(^, w) dZf

attachée à une courbe algébrique du genre/?, (3i) F(2,m) = o.

s l'un des trois cas qui viennent d'être "inti'grale tv correspondent plusieurs

li Ton ne se trouve pas dai Eaminés, à une valeur de

îinis analjliques (z, u) sur la surface de Rientiann, Nous allon:

(chercher quelle doit être la nature de l'intégrale iv pour qu'à

■aleur quelconque de cette intégrale ne correspondent qu'un

nbrejini de points analytiques qui donnent la même valeur à

tégrale iv; il est clair que, si l'on se donne un de ces r points

'«, u), les r — I autres points (3,, 11, ), {3,, «j), . . ., {3r,, Ur-i)

l délerminés par la même. Donc, toute foncticn symétrique

les coordonnées de ces /• — 1 points est une fonction unijorme

lu point analytique (3, iij. Si l'on prend, en particulier, une

lion rationnelle et sjiniltriqne de ces coordonnées, on voit

isément que, considérée comme fonction de (3, u), elle ne peut

mettre que des discontinuités polaires; c'est donc une fonc-

Mon rationnelle de z et de ti. Cela posé, soit ip(3, ») une fonc-

ion rationnelle quelconque; la somme

it encore une fonction rationnelle et il est clair, d'après la forme a second membre, que cette fonction rationnelle reprend la lérae valeur en tous les points d'un même groupe. Soit ^{z, u) ae autre fonction rationnelle et

W(z,i)^'!fi=,u)^-!f(z„,u)^..

fonction correspondante. Si l'on pose

point de coordonnées (7,, U) décrit une courbe auxiliaire C|, [ai est une transformée simplement rationnelle de C. Si à un inl (Z, U) correspond un point (z, «), il est clair qu'au même int (Z, U) correspondent tous les points de C qui appartiennent même groupe que (z, u). Je dis qu'on peul choisir les foncions lyel ij^ de telle façon qu'à un point (Z,U) ne correspondent les points d'un m^me groupe sur C. En effet, prenons pour , u) une fonction rationnelle admettant v pâles simples

J3,), (a„,^„) appartenant à des groupes différents gt,

, . . , ^v et pour '^(r, it) une fonction admettaotp pâles simples

(a,, p, ), (aj, pj), . . , (3!p, pp) apparlenanl à des groupes renUfi, §■;, ■.■^ g'p, les groupes gi, ...,g„ g'^, ■■■,g'p élanl tous difiërcnts. Les fondions ^{z, u) et 'F(3, u) deviendront simultanément infinies pour les poinlM du groupe^, et pour ceus-U seulement. La courbe auxiliaire C, a donc un point à l'inâni auquel qc correspondent, sur la courbe C, que les points du groupe g,. A un point de C, voisin de ce point à l'infini ne peut correspondre qu'un groupe de points sur C, voisin de g,. S'il eu était autrement, à une valeur très grande de Z devraient correspondre plusieurs points voisins de (a,, p, ), ce qui n'a pas Heu puisque ce point est un pôle simple de *{=, u).

l'ëqnation de la courbe auxiliaire C|. A un point (Z, U) de cetle courbe correspondent /■ points de la première courbe, en chacun desquels l'intégrale ir reprend la mfime valeur, à des multiples près des périodes; donc -^ est une fonction uniforme du point analytique (Z, U). D'ailleurs, il est clair que celle dérivée est une fonclion algébrique de Z; par conséquent, iv est égale à une Intégrale abélicnne attachée à la courbe ausîliaire {3';i). A une valeur de cette intégrale iv correspondent r poinis de la courbe primitive (3i) et un seul point de ta courbe auxiliaire C, ; nous sommes donc ramenés au problème primitif. A chaque solution de ce pre-

mier problème correspond une solulioi

problème généralisa.

Si la courbe (Sa) est du genre zéro, l'intégrale iv peut être de seconde ou de troisième espèce; dans le premier cas, w est une fonction rationnelle de (Z, CJ) et, dans le second cas, u> est égale au produit d'une constante par le logarithme d'une fonction rationnelle de (Z, U). Si l'on revient à la courbe primitive, on voit que H' est égale à une fonclion rationnelle de z et de u, ou au logarithme d'une pareille Touction, niulliplié par une constante.

Lorsque In courbe auxiliaire C, est du genre un, l'intégrale «■ est de première espèce et a deux périodes, nécessairement distinctes (n"70). Après la transformation rationnelle qui conduit de la courbe C| à la courbe donnée (3i), w se change en une intégrale de première espèce relative à celle courbe, dont toutes les

LE PBOBLÈMË DE l'iSVËBSION, 4B|

périodes se réduisent à deux. En résumé, si à une valeur de l'intégrale abétienne iv ne correspondent qu'un nombre Ji ni

^de points de la courbe F(z, u) = o, // peut se présenter trois cas : i" «• est une /onction rationnelle de z et de w ; 2" w est égale au produit d'une constante par le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de h ; 3" w est une intégrale de première espèce, dont toutes les périodes se réduisent à deux périodes distinctes.

On a vu plus haut (n" 158) les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une intégrale abélienne icse réduise à une fonclion rationnelle. Il est plus difficile d'obtenir des conditions suflisontes pour que l'intégrale appartienne ù une des deux autres catégories (n"' 161-166). Ueuiarquons que cliacune de ces trois espèces d'intégrales fournit bien une solution du problème proposé. Ainsi,

kdans les deux premiers cas, on a r

f{s, u) étant une fonction ralionnctle de s et de u; les points analytiques (3, u) qui correspondent à une valeur de w sont fournis par la résolution des deux équations

Fti,u) = a.

Lorsque tv est une intégrale de première espèce n'admettant iflne deux périodes w, w', le rapport — est nécessairement imagi- BÎre (n" 166). Soit X{«') une fonclion uniforme doublement pé- ^odique, aux périodes u, co', n'ayant que des discontinuités potilires à distance finie ; si l'on remplace iv par l'intégrale précédente, i(iv) devient uue fonction rationnelle 3(3, «) de set de //. Les îoordonnées des points ( :, « ) qui correspondent à une valeur de iv l'obtiennent par la résolution des équations simultanées

2H. Étant donnée une équation différentielle algébrique du premier ordre

pour que cette équation admette une intégrale qui ne prenne qu'un nombre Jini de valeurs pour chaque valeur de z, il faut et il suffit, d'après cela, que l'intégrale abélienne

^" où F(M, U) = o,

appartienne à une des trois catégories précédentes; nous n'avons qu'à répéter le raisonnement du n"* 206.

Par conséquent, si ^intégrale d^iine équation de la forme

F( w, -r;\ =1 o^ oà¥ est un polynôme entier en u et -^, n^ad-

met qu^un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z^ cette intégrale est racine dune équation algébrique entière en Uj dont les coefficients sont, soit des fonctions rationnelles de z, soit des fonctions rationnelles de e^^, soit des fondions uniformes doublement périodiques, aux mêmes périodes, n^ ayant que des discontinuités polaires à distance finie (*).

212. Quand on ne se trouve pas dans l'un des cas qui viennent d'être examinés, l'inversion d'une intégrale abélienne conduit à des fonctions qui admettent une infinité de valeurs pour chaque valeur de la variable. Par exemple, la fonction inverse de l'intégrale elliptique de seconde espèce ou, ce qui revient au même, une intégrale de l'équation différentielle

\dz) ~ ii> '

admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de z {^), Dans son célèbre Mémoire sur les fonctions quadruplcment périodiques de deux variables {Journal de C relie, t. 13), Jacobi a posé

(•) Briot et Bouquet, Journal de l'École Polytechnique, 36« Cahier. (^) On pourra consulter sur ce sujet deux Mémoires de M. Casorali {Acta mathematica, t. VIII, p. 345-38')).

^ LE PHOBLEUE UE LrSVEBSION. ^03

d'uoe autre façoD le problème de l'inversion pour les înlégralcs hjperellipliques de genre a. L'énoncé a été ensuite étendu aux intégrales abéliennes relatives à une courbe quelconque de genre p\ le problème ainsi généralisé est appelé le problème de finversion de Jacobi. On peut le formuler de la manière suivante : Soient w,, n'a, .,., iv^ les /i intégrales distinctes de première espi'-ce attachées à une courbe de genre/) ; nous supposerons qu'on a pris une même limite inférieure (;„, »o) pour toutes ces iotérales. Les^ équations

rf«-, :

llWp-i-

dw„

Il les intégrales qui ont même limite supérieure sont supposées rises suivant le même chemin, déterminent les p points analytiques (5,, «,), (ï^) Wi), ■ --i {^p, iip) en fonction des p variables i'i, (-3, ..., Vp. C'est la détermination effective de ces p limites supérieures au njojen de c,, Ca, .. ., t-y, qui constitue le problème de Jacobi. La solution a d'abord été obienue pour les intégrales ultra-cilipliques de genre a par Giipel ( ' ), et par Rosenhain dans son Mémoire couronné {*), M. Weierstrass (') a ensuite étendu la solution aux intégrales hyperelliplïques de genre quelconquc- Enfin Ricmann et M. Weierstrass ont obtenu simultanément la solution du problème dans toute sa généralité au nio^en des funclions 6 de p variables. L'étendue de cet Ouvrage ne nous permet pas de l'exposer ici; nous nous bornerons à montrer comment, à un système de valeurs de f,, c^, .... Vp, il ne correspond, en

(<) GopEL, Tkeoriœ tranacendentium Abelianarum pritni ordùiii adum bratio levït (Journal de Crelle, t. 35, iiiJT)-

( ■ ) Rosenhain, Mémoire tur lei /onction» de deux variables et à quatre périodes qui sont les inverses des intégrales ultra-elliptiques de la première classe {Me'moirts des sa^'onls étrangers, t. XI, p. 36i-4<i8).

(*) WKlEltSTHASS, Zur tkeorie der Abel'scheji Functioiien {Journal de Crelle, l. 47, p. a89-3w6; l. 52, p. a85-3*]).

général, qu'un seul système de points analytiques (^i, i/|), ...,

Remarquons que les équations (33) peuvent être remplacées par un système d'équations aux différentielles totales du premier

ordre :

?i (^1» Ux)dzx'\-., .-+-©1 {Zp, Up)dzp= dviy

^i{ziyiii)dzi-^...-^(^i(Zp,Up)dzp=dÇf, (34) \

<fp(zi, ui) dzi-^ , . ,-h ^pizp, Up) dzp— dvp, *

où Ton a posé

' (^i{z^u)dz, i= 1,1, .,.,p.

Si l'on applique à ce système d'équations différentielles les théorèmes généraux, on reconnaît qu'à l'exception de certains systèmes de valeurs de i>i, (^2» • • •> ^/>î pour lesquels il y a indétermination, à des valeurs de i'i, Vaj •••» ^p ^^ correspond qu'un seul système de points analytiques ( * ). Ce résultat peut aussi se déduire du théorème d'Abel.

Supposons, en effet, qu'à un système de valeurs pour r« , i'a, . . ., v^y,, il corresponde deux systèmes de points analytiques (^i, u^), . . ., (zpj Up) el {z\, w^) , . . ., (:;^, w^). Les équations (33) nous donnent

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une fonction rationnelle {p(2, u) admettant pour pôles du premier ordre les p points (iJi, w,), . . ., (5^, Up) et pour zéros les p points {z\, u\)^ . , ., {z'p^ u'p) (n^ 119), Celte fonction, ne devenant infinie du premier ordre qu'en p points seulement, est une fonction spéciale, et l'on peut faire passer par ces p pôles une courbe adjointe d'ordre m — 3 (n^* 170). Celte courbe adjointe rencontre en outre la courbe proposée en p — 2 points simples (ai , ^i ), . . . ,

(•) ToiV Briot, Théorie des fonctions abeliennes (Chap. IX). Le raisonnement est soumis aux mêmes objections que pour/? = i.

■ noBLÉiih.

.-rsvKRSioN. ifi5

3)el l'on V

iiil que i-|

.., Cp doivent être cli; la forriH'

vei Hior

aK,- désignanl la somme conslanie des valeurs de l'intégrale k'j aux ip — 1 points d'intersccLion variables de la courbe proposée avec une courbe udjointe de degré m ~ 3, Par conséquent, si les valeurs de l'i, t'i, . . . , f ^ ne sont pas de la forme (.Hg), il ne peut y avoir plus d'un système de points analytiques vérifiant les équations (33). Mais si l'i, fj, ..., Vp sont de In irme (35), i! y a une infinité de systèmes de p points analytiles répondant à la question. En elTet, si l'on fait passer par les 2 points (a^, p*) une courbe adjointe d'ordre m — 3, elle rencontre la courbe proposée en p autres points distincts des points multiples qui, d'après le tbéorème d'Abel, satisfont bien aux, équations (33). En résumé, lorsqu'on fait décrire aux variables indépendantes v,, Vj, ..., i-^ des contours fermés dans leurs plans respectifs, les/r points analytique)! (2,, u,j, . . .,(3^, Up) ne peuvent que s'échanger entre eux, sauf pour des systèmes de la forme (35) où il y a indétermination. Toute fonction rationnelle et symétrique des coordonnées de ces p points est une fonclion uni/orme des p variables indépendantes c, , v^, ..., Vp, devenant indéterminée pour les valeurs de la forme (35). C'est \me fonction abéiienne; elle s'exprime au moyen des fonctions 9 (le p variables, où les arguments sont précisément l'i, fa, . . ■ , Vp. Si l'on fait décrire à un des points (s/, u/) un cycle sur la surface d« Riemann, v,, c,, — , Vp augmentent d'une période; on voit IDC que les fonctions abélicnnes sont des fonctions de p iables, admettant ■ip systèmes de périodes simultanées.

âl3. Le problème d'inversion de Jacobi a été étendu par diffé- •ents géomètres au cas où l'on ajoute, aux p intégrales de pre- BÎére espèce, un certain nombre d'intégrales abéliennes pré tentant des points de discontinuité sur la surface de Riemann ( * ).

l (•) Oq IrnuTC déjà des «xemples dans le Mémoire de lloscnbain {Savanlt i, t. XI). Voir UUSEJ Clebsch (/(turna/ </e Cre'/e, 1. 64); Clebsch fI i. ET G. . 3o

Supposons, pour fixer les idées, que Ton prenne, avec lesp intégrales de première espèce (V| , (Vo, . . . , (v^,, q intégrales de seconde espèce avec un seul pôle du premier ordre, Ç (z, w ; ai , p, ), . . . ,

!J(5, w; a^, j3^), et r intégrales de troisième espèce tïj'^»',®»,. . .,

m^f'^^^ quelques-uns des points (ayi, ^a) pouvant aussi être des

points critiques pour quelques-unes des intégrales de troisième espèce. La méthode que nous allons suivre s'applique d'ailleurs au cas général. Considérons les /? = /? -f- <jr -4- r équations

(36) Wi{Zu Ml) -4- tV/(^j, M*) -T->"-^Wi(z„, Un) ^ T/, (l = I, 2 /?).

(3;) C(5,, Mi;a/,, P/i)-4-. . .-h Ç(5„, w„; at/i, ?/j) — ^a, (A— 1,2 ^),

(38) ^yl'Xi^u Ml ) 4-. . . -f- ^^J;5^*(-«, w«) = itam ( A: = 1 , 2, . . . , r),

où Ton suppose que Ton prend la même limite inférieure (zo-, Uq) pour toutes les intégrales, et où les intégrales qui ont la même limite supérieure sont prises suivant le même chemin. Si Ton regarde dans ces équations ç»/, <a> 'ï^yt comme des variables indépendantes, elles définissent, en fonction de ces n variables, les n points analytiques (5|, W|), ..., (5,,, ii„). Nous allons montrer qu'à un système de valeurs arbitrairement choisi pour les variables p/, th, T^k-, il f^e correspond en général qu'un seul système de points analytiques ( C|, W|), . . . , (.g,,, u^).

Prenons sur la surface de Riemann n -\- p points ( ^i , Tji ), . . . , {^ri^py ^i«+/>)î absolument quelconques. La fonction rationnelle la plus générale du point analytique (z, u), qui devient infinie du premier ordre en ces n-\-p points seulement, dépend de // -h 1 constantes arbitraires, si ces points n'ont pas été choisis d'une façon particulière, comme nous le supposons (n® 169). Soit

l'expression générale de cette fonction; ^i(z,u) est un polynôme parfaitement déterminé, tandis que ^{z, u) est une fonction linéaire et homogène de n -\- \ coefficients arbitraires Aq,

GonDAN {Abelschen Functionen) ; Elliot {Annales de l'École Normale, 2* série,, t. XI); Appkll {Journal de Mathématiques , 'j* série, t. I); Goursat {Comptes rendus, t. XV. p. 787-790; 189a).

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 4^>7

A| , . . . , A;|. Celte fonction F{z, ii) admet n -\-p zéros variables avec Aq, A|, . . . , A;j; nous allons chercher à déterminer les coefficients A| en fonction des quantités r/, ^Aj ^a> de façon que n de ces zéros soient précisément les n points analytiques (.s/, w/) définis par les équations (36), (S^) et (38). Le problème étant supposé résolu, désignons par (z\, w', ), .... (^' , u ) les p zéros restants de F (2, u). D'après le théorème d'Abel, on a

(V/(3l, M,) -f-...-T- Wii^n.Un ) -" Wi{z\,u\)-^.. • -^ Wii^p^ ^'p) n-i-p

les équations (36) peuvent donc être remplacées par les suivantes <39) Wi{z\,u\)-i-...-i- iVi(z'p, u'p) — ^li—Vi (i = i,'ày ...,/?),

et nous venons de voir qu'à un système de valeurs de ç^i, ^^27 • • • -» i^p il ne correspond, en général, qu'un seul système de points analytiques (z\^ u\ ), . . . , (3' , u'p). Les p équations

sont aussi équivalentes aux p équations

< *0) {z\y^{z\,u\)-^...-^iz'py^{z],,u),) ^ O (« r^O, 1,2, ...,/?— I),

qui sont encore linéaires par rapport aux coefficients A^, A| , . . . , An, mais qui, de plus, sont des fonctions symétriques des/? points (z\f u\)f . . ., {Zpj u'p). On a donc ainsi p équations linéaires et homogènes en Aq, A|, ..., A„, dont les coefficients sont des fonctions abéliennes de (^i, ^2, . • • , Vf

Appliquons maintenant le théorème d'Abel aux intégrales s et TH. On a (nM83, 185)

= ^^(ijynj'y^/nh)--^^^^^'(^f^^h)>

Les équations (87) et (38) sont donc équivalentes aux équa-

tions

^Iog[F(a;,,M]

j =-'a— ï(-i,"i;«a,Pa)— ••• -ç(^i.,")»;«A,PA)-^2?(^-^''î>*'*'^'P*^• ¥(y'l 81.) 1Ct+ Cl) («'„«',) H-... 4-a)(S>,l/'p)-2j "(Ç/.tîy)

Les q -\- r équations (4i) et (4^) sont encore linéaires et homogènes par rapport aux coefficients inconnus Ao, A|, . . ., A;,. Les seules quantités qui figurent dans ces équations et qui ne soient pas connues directement sont les suivantes

gcr (a',, M'i) -4- . . . 4- CI (3'p, »i'|i j

ces quantités sont des fonctions uniformes de ç^i, ^27 • • • ? ^p* En effet, les/? points (5',, u\)y . . . , [Zp, u'p) sont définis, en fonction de ^1, i^25 • • • 5 ^pt parles équations (Sp), et nous savons déjà qu'à un système de valeurs de ç^,, i^a, • . . , i^y, ne correspond qu'un seul système de points analytiques {z\^ u\)^ . . ., (5' u ), Par conséquent, lorsque les variables indépendantes v^^ i^a, . . ., ç?^ décrivent, dans leurs plans respectifs, des chemins fermés quelconques, les p points {z\ u') décrivent des chemins fermés ou se permutent entre eux. On peut évidemment supposer que chacun de ces points décrit un chemin fermé, puis que quelques-uns d'entre eux se permutent, sans que les nouveaux chemins décrits franchissent aucune des coupures a, fe, c. Or, après que ces p points auront décrit de pareils chemins, la somme t'/ aura diminué de la quantité

rrix^ . . . , Tïi2p étant des nombres entiers, et Wi^, , . . . , ^i,2p l^s 2p périodes de l'intégrale w/; la somme

ç(^i , w'i ; «A» pA ) H- • . . -^ î(^i>, Wp ; «A, Pa)

LE PROBLÈME DE l'iNVBRSION. 4^9

aura augmenté de la période

ntifCi -f- . . . -}- ffi^pK^py

A|, ,,.,k'2p étant les 2/? périodes correspondantes de 1^(3, a ; a>i, ^>i),

et la somme

w(z\,u\) -^ . . .-\- miz'p, Up)

aura augmenté de même de

/yij Hi -f-. . . -h /WjpHjp-i- 'im xi,

H|, .... H2/» étant les 2/? périodes cycliques de rsiZf u) et m' <*tant un autre nombre entier. Pour que i^i, . . . , \^p reviennent à leurs valeurs initiales, il faut que tous les nombres entiers m<, ..., //I2/» soient nuls, car on ne peut avoir les/> relations

pour des valeurs entières des coefficients m , sauf pour /?!, = . . .rrr //îj^ = o (n° 74). Par conséquent, lorsque les variables Çi, , , . ^Çp reviennent à leurs valeurs initiales, il en est de même de la somme

et de

CI 15'„ M',) -H ... -H a)(5'p, Mp)

En résumé, les /i -h i inconnues Ao, A|, . . . , A„ sont déterminées par n équations linéaires et homogènes dont tous les coefficients sont des fonctions uniformes de t^i, . . . , Vp^ <|, . . ., ^y,

7:1 TT^. Les équations (36), (3^) et (38) définissent donc un

seul système de points analytiques, sauf les cas d indétermination qui peuvent se présenter.

COURBES NORMALES. MODULES (i).

Théorème de M. Schwarz. — Transformations biralionnelles d'une courbe de genre un en elle-même. — Courbe normale de Clebsch. — Courbe normale de Nôlher. — Modules d'une classe de courbes algébriques. ^ Généralités sur les transformations simplement rationnelles.

214. Nous allons d'abord compléter, sur un point essentiel, la théorie des transformations birationnelles des courbes algébriques. On a déjà remarqué (n"" 131, 134) que les courbes de genre zéro el un se changent en elles-mêmes par une infinité de transformations birationnelles; ce sont les seules courbes qui jouissent de cette propriété. Nous commencerons par démontrer le théorème suivant, dû à M. Schwarz : // ne peut exister de transformation birationnelle, renfermant un paramètre arbitraire, qui change en elle-même une courbe de genre supérieur à un ('-).

Soient, en effet,

Téquation d'une courbe algébrique C de genre/? >>i, et

des formules définissant une transformation birationnelle dépendant d'un paramètre arbitraire t. Admettons, pour un momenl.

(') Auteurs à consulter : Riemann, Abe/'schen Functionen; Brill el Nothep, Mathematische Annaierif t. VII; - Clebsch et Gordan, Théorie der AbcVschen Functionen^ — Klein, Théorie der elliptischen Modid functionen, t. I; — E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. 436-458.

(') Schwarz, Journal de CrellCy t. LXXXVII. La démonstration que nous donnons ici est due à M. Picard.

que le point [z\ u') décrit la courbe C, lorsque le point (^, u) décrit la même courbe, quelle que soit la valeur attribuée au paramètre t. Considérons p intégrales distinctes de première espèce attachées à la courbe C

Qi(z, u)dz rQi(z,u)dz rQp(z,u)dz

rq,iz,u)dz rqi(z,u)dz r

puisque, par une transformation birationnelle, toute intégrale de première espèce se change en une nouvelle intégrale de première

espèce, l'intégrale / "*' doit en particulier se changer en

une nouvelle intégrale de la forme

, .. rQi(-2', u')dz' rkxQxiz. li) -.-... -f- A„Qp(2, u) . ( i) I >, — I J, az,

J J uf J J u

A|, . . . , A^ étant des constantes indépendantes de (^, ii). Nous allons montrer que ces coefficients ne dépendent pas non plus du paramètre /. En effet, donnons à ce paramètre une valeur fixe /o? d'ailleurs arbitraire, et faisons décrire au point (5, u) un cycle sur la surface de Riemann ; le point (;;', w') décrira aussi un cycle.

Lorsque le paramètre t prend ensuite une valeur voisine /o-i- ^i le cycle décrit par (5', w') ne diff^ère qu'infiniment peu du premier et la période reste la même. Soient oJ|, Wj, . . . , 10^ les périodes des/? intégrales de première espèce correspondant au cycle décrit par le point (3, u) et w' la période de Tinlégrale

(l^{z\u!)dz' f'u.

correspondant au cycle décrit par le point (s', u')\ on a entre les coefficients A| , A2, . . . , A^ la relation

tOj =1 Al Wi -f- Aj 'Oj-r . . . -h Kptiip,

Faisons maintenant décrire au point (^, u) les p cycles dont chacun franchit une seule coupure «vî on établit ainsi, entre les coefficients A|,A2, . . • , A^, /?. relations linéaires, dont le déterminant n'est pas nul, où ne figure pas le paramètre /. Ces coefficients sont donc des constantes indépendantes de t. En prenant

lOiivelle Intégrale de première espèce, on aura dé n

/•Q,(z:u)dz' ^ ritiQL(^jO-^:-:^lpQ^('.ji)^

les coeffîcienU B,.

(3)el(4)onlire

dépendant jias ih t. Des équatloa^

Qiif:

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