Qp

relation entre les coordonnt^esdcs deux points (-.u) et (s', u')qui ne dépeod pas de t. Or, une telle relation est impossible; car, fi un point (s, «), l'équalîou (5), jointe k l'équation f{z', t/)=:v de la courbe donnée, ne fait correspondre qu'un nombre^/îmdp points {z'f «'). Le point (s', h') défini par les formules (3) ne varierait donc pas d'une niani'>re continue avec le paramètre t, contrairement à riivpolhèse.

21s. Le même raisonnement permet de démontrer qu'uni' courbe de genre supérieur à Tunilé ne peipt se reproduire par une infinité discontinue de transformations Lirationnelles, c'est-â-^ire ne dépendant pas de paramètres arbitraires. En elTet, il résulte du paragraphe précédent que (otites les transformations lii rationnelle' qui reproduisent la courbe C, de genre supérieur à un. sont données par une relation de la forme (5), où l'un attribue uus constantes A et B des valeurs convenables. Or, si l'on part d'une relation de celte forme donnée a priori et si l'on cherche les conditions pour qu'elle définisse une traiisfornialion birationncUe de la courbten elle-même, un établit évidemment un certain nombre de relations a/^eôri'ij'uej entre les constantes Aet B. Ces relations peuvent être incompatibles ou admettre un nombre /în/ de solutions, innis il ne peut pas arriver que quelques-unes de ces constantes restent arbitraires, car la courbe donnée admettrait des transformations bîrationnelles dépendant d'un paramètre arbitraire, conirairemcDl à ce qui vient d'être démontre. En résumé, une courbe de genre supérieur à un ne peut se changer en elle-même que par un nombre fini de transformations birattoniielles.

2i6. Il est aisé de former l'équaliun de courbes algébriques qui admettent un nombre /(ni, mais aussi grand qu'on le veut, de

OOrRBES NORMALES. MODULES. 473

transfomiatioDS birationnelles en elles-mêmes. Supposons que la courbe G, représenlée par Téquation (i), se reproduise par la transformation birationnelle

si Ton applique deux fois de suite cette transformation, on obtient une nouvelle transformation qui reproduit aussi la courbe C,

^^ } f/2- R[P(^, w», R(5,a)]-Hi(^, a);

d'une manière générale, si Ton pose

on a une suite de transformations birationnelles

\ Zi — Vi- 1(3, m), < 8)

f M/-- : R/- i(Zj W),

qui reproduisent toutes la courbe C Si la courbe proposée est de {^enre supérieur à un^ on ne peut obtenir ainsi qu'un nombre fini de transformations distinctes et, par conséquent, au bout d'un nombre fini d'opérations, on doit retrouver la substitution identique z'^^Zf u' = a. Supposons que cela arrive après q opérations, de telle sorte que l'on ail identiquement

la transformation considérée est dite d'ordre q. On a

Pqiz, u) — P(5, M ), Ktji z, u) --. Ri 3, m),

et, d'une manière générale,

Soient o(>3, u), 'l{z, u) deux fonctions rationnelles de :; et de //. Posons

a désignant une racine primitive de Téquation af^zi.

Lorsque le point (^, u) décrit Ja courbe C, le point (Z, U) décrit une autre courbe C| qui correspond point par point à la première, si les fonctions cp(i;, u) et 6(5, u) ont été prises convenablement. Prenons, par exemple, pour cp et tj> deux fonctions rationnelles ayant un seul pôle commun du premier ordre («, 6), et telles que tous les aulres pôles, ainsi que les points qu'on en déduit par l'application répétée de la transformation (6), soient distincts. Alors la courbe C| a un point à l'infini , avec une direction asjmptotique non parallèle aux axes, auquel ne correspond qu'un seul point de la courbe C, le point (a, b). Remarquons maintenant que, lorsqu'on change x; et w en P(2, a) et R(.3, w)

respectivement, Z ne change pas, tandis que U se change en—;

la nouvelle courbe C| admet donc la transformation birationnelle 7J = Z, alJ' = U, et, par suite, elle est représentée par une équation de la forme F(Z, U^) =-- o, entière par rapport à Z et à

217. Proposons-nous, pour finir ce sujet, de déterminer toutes les transformations birationnelles qui font revenir sur ellemême une courbe du premier genre. Soit iv(z, u) l'intégrale de première espèce attachée à cette courbe. Entre les coordonnées (:;, u) et {z\ u') de deux points correspondants, on doit avoir une relation de la forme (n^ 214)

(lo) w(z'y u') — Aiv'iZj u) -^- hy

A et B étant des constantes indépendantes de (z, u). Réciproquement, pour qu'une relation de la forme (10) définisse une correspondance birationnelle entre les coordonnées (;:, u) et (;;', u') (les deux points, il faut et il suffit, d'après les explications du n° 203, que w{z'j u' ) augmente d'une période lorsque iv(z, u) augmente d'une période, et inversement. Soient w et w' les deux périodes distinctes de l'intégrale; on doit avoir

( A w -■ m ui -- n to',

(') Pour plus de détails sur ces courbes, nous renverrons à un Mémoire de M. llurwilz {Gottinger Nachrichten, 1887; Mathematische Annalen, t. 32).

m, /w', n, n! étant des nombres entiers; de plus les deux périodes Aco, Ao/ doivent former un parallélogramme équivalent au parallélogramme élémentaire (w, w'), ce qui exige que Ton ait

(12) mn' — m'n — it: i.

Des équations (i i) on tire

(i3) m'tû'~h(n' — m)Mui' — /iw'*— o,

équation qui se réduit à une identité si l'on a

m' = n — Oy m —- n

et, en tenant compte de la relation (12 , m =r /i'= liz i . On a donc toujours deux séries de transformations, définies par les formules

( iv(c', //.') — -4- (V (;;,«/) -4- /,

/ désignant un paramètre arbitraire.

Si l'équation (i3) ne se réduit pas à une identité, on en lire

o) m — n'di \/( r?i — n' )* n- 4 '^ '^

to 1 m

OU, en tenant compte de la relation ( 12),

(o __ m — n' &: vA ni -t- n' )^ z^i 4 tu' '± in

Comme le rapport — doit être imaginaire, on doit prendre le

signe -f- dans la formule (12) et, en outre, le nombre entier m -f- n' doit être égal à zéro ou à zb: i . On voit donc que, si le module de la courbe de genre un est quelconque, elle n ^ admet pas d'autres transformations birationnelles que celles qui sont définies par les formules (i4)- Pour qu'il en existe d'autres, il faut que le rapport des périodes soit racine d'une équation à coefficients entiers de la forme (i3), où l'on a mn' — m' n = \y [m -^ n')'^ <l 4-

Le coefficient A s'obtient en éliminant le rapport — entre les

équations (i i); on trouve ainsi Téquation

(A — m) (A — n') — m' n = o ou

A* — ( m -T- Al') A H- I — o»

et comme m -- n' ne peut prendre que les valeurs o, -h i , — i , on voit que A doit être racine de Tune des équations

£n résumé, on obtient toutes les transformations bîrationnelies

qui changent en elle-même une courbe de genre un en combinant

la transformation

u>(z\ a') — cv(2, w)-r ^

qui dépend d'un paramètre <, avec quelques-unes des transformations

w{z\ u') — Xw{Zj a),

A désignant une racine primitive de Tune des équations

S218. Voici une application, qui nous sera utile, du théorème de M. Sclnvarz. Cherchons, d'une manière générale, les courbes C,„ de degré m et de genre /?, telles que toutes les adjointes d'ordre m — 6 qui passent par A points quelconques (oLi, p,:, . . ., (a>i, ^y^) de C« aient en commun avec la courbe donnée k points fixes (yi, 0|), . . ., (v;^, oa) dépendant des premiers; on suppose, bien entendu. /'</> — I. Plaçons-nous d'abord dans Th^pothèse où les coordonnées des points (y, o) dépendent des coordonnées de tous les points (a, ^). Soient M^, Ma, .... M^<, /? — i points quelconques de C;,, par lesquels passe une courbe adjointe C«.j. Formons avec ces p — i points tous les groupes possibles de h points (a, j3); à chacun de ces groupes correspond un groupe de A' points et tous ces points sont distincts puisque les points M, sont arbitraires et que chaque groupe de A' points (y? 3) dépend de tous les points du premier groupe de h points. La courbe Cm-3 aura donc en commun avec la courbe dm^ en dehors des points multiples, /; — i -h kCA^ points simples, C^i désignant le

nombre de combinaisons de p — i lettres h k h. Il faut donc que l*on ait

ceci n'a lieu que si l'on a A = /r = i ou h=p — 2, A =^ i . Dans le premier cas, toutes les courbes adjointes passant par un point fixe vont passer par un second point fixe dépendant du premier et la courbe est hyperelliptique. Examinons la seconde solution h =^p — 2, A* r= i; si /? :^ 3, elle se confond avec la première. Si p>'6y elle est inadmissible. En effet, il faudrait que toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par/? — 2 points quelconques de Cm aillent passer par un autre point fixe. Les coordonnées (:;', u') de ce nouveau point seraient évidemment des fonctions rationnelles des coordonnées de ces p— 1 points, dépendant à la fois de tous ces points. Soient

( u' — Ri(^i, wi; ;î2, Mj, ... ; -5y>j, Up-i)

les expressions de ces coordonnées. Inversement, toutes les courbes adjointes passant par les p — 2 points (5', w'), ..., {^p^2j Wy>-2) doivent passer par un autre point fixe qui est forcément le point (^1 , Ui ) et l'on a aussi

l .5i ~ K (-3 , W I Jj, Ui'. . . . , Zp -2, llp—'i )i

Mo) < T> / /

En considérant Co, . . ., Zp 2 comme des paramètres variables, on voit que la courbe C,,, admettrait une transformation birationnelle, dépendant de paramètres, ce qui est impossible puisqu'on suppose />>> 3.

Si les coordonnées de quelques-uns des A* points (y, 2) ne dépendaient que des coordonnées de h' points (a, p) (h' <^ A), il faudrait en conclure que toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par h' points quelconques vont passer par un certain nombre d'autres points fixes dépendant de ceux-là, et l'on serait ramené au cas précédent. La conclusion est donc la suivante : les seules courbes qui répondent à la question sont les courbes hyperelliptiques.

219. Courbes normales. — ■ Parmi toutes les courbes algébriques appartenant à la même classe, on peut en prendre une, présentant quelque caractère particulier, pour servir de type ou *le courbe normale à la classe considérée. On a cherché surtout jusqu'ici à obtenir pour courbes normales des courbes dont le degré soit aussi peu élevé que possible, mais il est évident que ce n'est pas là une règle absolue; il pourrait y avoir avantage, dans certains cas, à 'définir la courbe normale par d'autres propriétés. Nous nous sommes déjà occupés de celte question, à diverses reprises, pour les courbes de genre o, 1,2, et, plus généralement, pour les courbes hvperelliptiques (n"^ 132, 13o, 175). Dans ce qui suit, nous supposerons qu'on a affaire à une classe de courbes non hjperellipliques et, par conséquent, que le genre est au moins égal à trois.

Soit C„t une courbe non hyperelliptique de genre p\ prenons sur cette courbe p — 3 points arbitraires Mi, Mj, . . ., M^.j, et soient Q^ ri=i o, Q2 =^ o, (^3 = o les équations de trois courbes adjointes linéairement indépendantes d'ordre m — 3 passant par ces/> — 3 points. Les points M/ étant pris arbitrairement, on peut toujours supposer que ces trois courbes n'ont aucun point commun sur C,;,, en dehors des points M/. Cela posé, lorsque le point (>3, u) décrit la courbe C,w, le point de coordonnées

décrit une certaine courbe C, qui correspond point par point à la courbe C,«. En effet, soit (a, b) un point quelconque de C;„ et (.\, B)le point correspondant de C; à ce point (A, B) correspond sur C,M le seul point (a, b). Pour qu'il en fiU autrement, il faudrait que, quel que fût le point {a^ b) de Cm, on pût trouver un autre point [a\ b') tel que l'on eût

Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les/? — 3 ])oints M/ et le point (a, b) iraient passer par un autre point (a', b')\ ce qui est impossible, puisque les /> — 2 points peuvent être pris arbitrairement. Les formules (17) définissent donc une

COURBES NORMALES. MODULES. i7<)

transformation bJrationnelle entre les points des deux courbes C et C. Il est facile d'avoir le degré de la courbe G . La fonction

QsC-, w)

où a, p, Y sont des constantes quelconques, admet /> 4- i pôles du premier ordre, les /? -f- i points de rencontre de la courbe Q3 z=z o avec la courbe C„,, autres que les points M|, M^, . . ., M/7 3 ; la courbe C est donc de degré p -f- 1 . Ainsi, étant donnce une classe de courbes non hypereltiptiques de genre p^ on peut prendre pour courbe normale une courbe de degré /? -f- 1 .

Ce théorème a d'abord été énoncé par Clebsch et Gordan [Abels^che Functionen, p. 65), mais leur démonstration manquait de rigueur. C'est M. Picard qui Ta mise à l'abri de toute objection, grâce à la remarque du paragraphe précédent.

La courbe C/ possède en général un certain nombre de points doubles provenant des couples de points («, 6), (a', b') satisfaisant aux relations (18). On obtient immédiatement le nombre o de ces points doubles, en remarquant que la courbe C est du genre/?; on trouve ainsi

p{p — \) > ^ pip — 'i)

i-—^ — ù — p ou 0 — - - •

Si/? >> 3, la courbe normale a nécessairement des points multiples; une droite variable passant par un de ces points rencontre C en p — I points mobiles au plus ; le nombre r est donc au plus égal à p — I (n** 17i).

220. M. Nother emploie une autre courbe normale. Soient Qi (^, w), QaC^j u), . . . , Qp{z, u) les/? polynômes adjoints linéairement indépendants de degré m — 3; posons

et regardons X|, X2, . . . , X^ comme les coordonnées homogènes d'un point dans l'espace k p — i dimensions. Lorsque le point analytique (^, u) décrit la courbe C, le point de coordonnées (X|, X2, .... Xy,) décrit dans l'espace a p — 1 dimensions une courbe gauche F qui correspond point par point à la courbe C, sî celle-ci

n'est pas hyperellîplique. Si , eo eflet, on avait deux points (a, lu et {a', b') dt C correspondant à un même point de F, on en couelurait les relations

et toutes les adjointes d'ordre m — 3 passant par {n, 6) passeraient aussi par (a', ^'); ce qui ue peut avoir lieu si la courbe ('. ifesi pas li^perelliplique. Lt- degrô de T est l'gal. on le voit immi^diatemeat. à a/> — a.

Lorsque jO ^ 3, la courbe T coïciciilc avec la courbe normale (\r Ctebsch. Il n'en est plus de même si /) --1, mais on peut passer de l'une à l'autre. Par exemple, si p =^ ^, la courbe F est uue courbe guucbe du sixième ordre de l'espace à trois dimensions; en projetant cette courbe sur un plan, le point de vue étant un poinL de r, on obtient une courbe plane C qui correspond point par point à F et dont le degré est égal à 6 — i ^= 5. On reironie la courbe normale de Clebsch. A l'aide de considérations empruntées à la Géométrie à n dimensions, que nous laissons au lecteur le soin de développer, on peut étendre ce procédt' su cas général. Ainsi, en projetant la courbe gauclie F de l'espace à p — t dimensions dans un espace plan k p — a dimensions, le point (le vue étant un point de F, on obtient une nouvelle courbf gauche F, de degré a/i — 3, dans l'espace à^ - a dimensions, qui correspond point par point à la courbe F. Kn opérant de même sur lu courbe F,, et ainsi de suite, on finit par arriver i une courbe plane C de degré a// — a -- (/> — 'ij -^p-i~ i, qui correspond point par point k la courbe F et, par suite, à la courbe C.

Remarque. — Le raisonnement qui précède est soumis à une objection. Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le cas d'un* courbe gaucbe F de l'espace à trois dimensions. Soit (-' la perspective de celte courbe sur un plan, le point de vue étant nn point S de F; les deu\ courbes F et C se correspondent point par point, à moins que toutes les sécantes passant par S et un autre

t quelconque A de F ne sième point. Pour qui cboisi pour point de vi

■encontrent cette courbe en un troi' ait lien, quel que soil le point S faudrait que toutes les sécantes dou-

les de r fussent des sécaales triples. Celle hypothèse est ioadirbe r n'est pas une courlie plane. En eflet, prêtons sur r deux points quelconques A et B; la sécante AU ncontre F en un troisième point C. Prenons ensuile sur T un )int A' voisin du point A; la sécanle A'G doit rencontrer F en 1 point B' voisin de B. Lorsque le point A' se rapproche indélîment du point A, les sécantes A\', BB' ont pour limites les «Dgentes aus points A et B à la courbe F et, comme les droites A', BB' sont toujours dans un môme plan CAA', on en conclut jne les tangentes en deux points quelconques de F sont toujours lans un même plan, propriété qui n'appartient qu'au;c courbes planes. On lève de même l'objection dans le cas général.

La courbe normale de Clebsch n'est pas du plus petit degré tossible. MM. Brill et Nother ont montré, en effet, qu'on peut ;n général faire correspondre, à une courbe de genre p, une lOurbe de degré p — ti -|- 2, it désignant la partie entière du quotteat^; mais leur démonstration prôte à des objections, et ce point Ippelle de nouvelles recherches.

221. Modules. — Étant données deuï courbes h^perelljp- Hques du même genre p, on a vu plus haut que sp — i conditions devaient élre remplies pour que ces courbes appartiennent i la mûme classe; ces conditions s'e:tpriment par l'égalité de

ap-i

fonctio

s des coefficients des dci

. De même,

toutes les courbes de genre /> dépendent d'un nombre fini de pantmèlres, si l'on ne considère pas comme distinctes les courbes qui appartiennent à la même classe, puisqu'on peut supposer ffi" 219) que ces courbes sont de degré p + 1. Bicmann s'est proposé de chercher le nombre de ces paramétres, dont dépend ■nuellement une classe de courbes de genre/»; il faut entendre par là qu'à des valeurs de ces paramètres, prises arbitrairement,

lOrrespund une classe de courbes ou un nombre Itmtlé de classes.

Ze sont ces paramètres qu'on appelle les modules; il est clair

qu'ils se conservent dans toute transformation birationnetic.

a a démontré de deux manières différentes que le nombre

des modules d'une classe de courbas est égal i 3/> — ^ O' > ') ï

on trouvera l'ex] A. ET G.

posé de ces méthodes dans le Traité d'Analyse

de M. Picard (t. II, p. 482). On peut s'en rendre compte au moyen de la courbe normale de Clebsch, de degré /? -f- 1. Toute èourbe

de degré p -f- 1 dépend de -^ — paramètres ; si elle est de

genre p, elle doit avoir ^^^ points doubles, ce qui établit

entre les coefficients de Téquation ce môme nombre d'équations. Il reste donc

coefficients arbitraires. D'un autre côté, la transformation birationnelle, par laquelle on passe d'une courbe quelconque de genre p à une courbe de degré /? -♦- 1, dépend de (/? — 3) points indéterminés; on peut imaginer que l'on ait choisi ces p — 3 points de façon à attribuer des valeurs données à l'avance k p — 3 des coefficients de la courbe normale. Enfin, si Ton fait subir à la courbe normale la transformation homographique générale, qui dépend de huit arbitraires, on peut encore attribuer à huit des coefficients des valeurs données à l'avance. Il restera donc en tout un nombre de paramètres égal à

Remarque, — Si l'on désigne par p le nombre de paramètres arbitraires dont dépend la transformation birationnelle la plus générale qui fait revenir sur elle-même une courbe de genre />, le nombre des modules est toujours représenté par 'ip — Z -\- p. Si ^ = o, p = 3, on trouve zéro pour le nombre des modules, comme on devait s'y attendre. Si /? = 1 , p = i ; il y a un seul module (n° 178). Enfin, si /? >> i , on a toujours p = o (n° 214).

222. Du nombre des modules , il est facile de déduire une limite inférieure pour le degré de la courbe normale du genre p. Soit C^ une courbe de degré q et de genre p ; le nombre 8 des points doubles doit être égal à

5 ^ iq-\){g-i)

On doit donc avoir d'abord

Cette inégalité étant supposée satisfaite, on démontre, comme au paragraphe précédent, que la courbe ilq dépend, en tenant compte de la transformation homographique générale, de

paramètres arbitraires; ce qui nous donne une nouvelle inégalité

pour que la courbe C^ puisse servir de courbe normale de genre/?. De cette dernière inégalité, on lire

Soit TT le quotient de la division par 3 du nombre /?, de façon

qu'on ait/? = 37r, ou Stt-I-i, ou 871-1-2. L'inégalité (22) peut

s'écrire

et la limite inférieure de q est, dans les trois cas, p — i: 4- 2. C'est le degré de la courbe normale de Brill et Nôther. Cela ne veut point dire qu'il n'y ait pas de courbe de genre p dont le degré soit inférieur à cette limite. Par exemple, la courbe du cinquième ordre, sans point multiple, est du genre 6; il faut conclure seulement de ce qui précède qu'une courbe quelconque du sixième genre ne peut pas correspondre point par point à une courbe du cinquième degré.

223. A la recherche des modules se rattache la solution de la question suivante : Etant données deux courbes de même genre/?, non hyperelliptiques, C et Ci, d'ordres m et 77, représentées par

les équations

reconnaître si elles appartiennent à la même classe.

Soient Q^i(z, u), Q2(^, u)i • • •iQ/>(2» ") les p polynômes adjoints d'ordre m — 3 correspondant à la courbe C, et R< (:;', ^^'), ..., Ry,(5', u') les/? polynômes adjoints d'ordre n — 3 de la courbe C<. Si l'on peut établir une correspondance point par point entre les points des deux courbes, toute intégrale de première espèce se change en une intégrale de première espèce, et l'on doit avoir entre les coordonnées de deux points correspondants des deux courbes p relations de la forme

A|, B/, . . ., L/ désignant les constantes.

On en déduit/? — i relations ne contenant plus dz et dz'

^^j Qi(-, 'O Qi(z,u)

A, Ri(z', u' )-+-,., -i-Li RjAz', u) A/Ri(2', u')-\-, . .-t- Li\ip(z , u')

Soient r et Files deux courbes normales de l'espace kp — i dimensions qui correspondent aux deux courbes données C et C| ^ les coordonnées homogènes d'un point de F sont

et les coordonnées homogènes d'un point de ^^

\\ = Ri (-s', ii')j .... y^p = R/>(-='j w').

Les formules (24) montrent que, si les deux courbes C cl C| sont de même classe, les deux courbes normales F et F| peuvent se déduire Tune de l'autre j)ar une transformation homographique. Cette condition est d'ailleurs suffisante; en effet, si elle est remplie, les courbes F et F, et, par suite, C et C, se correspondent point par point. Donc, pour que les courbes du même genre (j et C, appartiennent à la même classe, il faut et il su^it que les courbes normales F et F, puissent se déduire l'une de l'autre par une transformation homographique.

Par exemple, une courbe Ci du quatrième degré, sans point <l(uiblc, coïncide avec la courbe normale F; on en conclut que les seules transformations birationnclles qui reproduisent une courbe

du quatrième ordre et du troisième genre sont des transformations homograpliiques.

224. Il semblerait, d'après les raisonnements employés jusqu'ici, que les courbes de genre p se partagent en deux grandes classes: les courbes générales et les courbes hjperelliptlques; mais une telle vue serait inexacte, et les courbes hyperellipliques doivent plutôt être considérées comme un cas limite. Prenons en effet une courbe C de genre /? >> 3, non hyperelliptique, et soit

l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 , qui passent par p — 4 points fixes quelconques de cette courbe ; posons

X = Qi^iiifJ Y = Q^^^'^^-^ z = Q*^"> ^^)

On démontre, comme au n'* 219, que, lorsque le point (s, w) décrit la courbe C, le point (X, Y, Z) décrit une courbe gauche F, ' de degré p -\- i^ qui correspond point par point à la courbe C. Si l'on projette F sur un plan, le point de vue étant sur F, on obtient la courbe normale de Clebsch; mais, si le point de vue est en dehors de F, la projection est une courbe de degré/? + 2, qui,

devant être de genre/?, possède ^^-^ points doubles. Ainsi, j'i

la courbe générale de genre/?, on peut faire correspondre, point

par point, une courbe de degré /? -H îî avec^-^ points dou-

ma

bles. La conclusion s'applique encore pour/? = 3; car, si l'on applique à la courbe générale du quatrième ordre une transformation quadratique avec trois points fondamentaux pris sur cette courbe, on obtient une courbe' du cinquième ordre avec trois points doubles.

Imaginons maintenant que ces — points doubles viennent

se confondre en un seul; on obtient à la limite une courbe de degré /? 4- 2 avec un point multiple d'ordre /?, c'est-à-dire une courbe hyperelliptique.

225. Nous terminerons ce Chapitre par quelques remarques sur les transformations simplement rationnelles. Soient C et C deux courbes algébriques de degré m et m' respectivement, la première de genre /?, la seconde de genre/?', représentées par les deux équations

nous supposons qu'en posant

où <p et J; désignent deux fonctions rationnelles, le point (5, u) décrit la courbe C lorsque le point (5', w') décrit la courbe C. Nous savons déjà que Ton a p'=p] mais on peut avoir pour/?' une limite plus précise. Soit jjl Y ordre de la transformation (27), c'est-à-dire le nombre de points (5', u') de C qui correspondent à un même point (>s, u) de la courbe C. Supposons /? >► i et soient Q<(5*, w), Q2(^> w) deux polynômes adjoints d'ordre m — 3 relatifs à la courbe C; on doit avoir, pour la transformation considérée,

Qi(-.'0 t r^^{z\u')dz' rQi(z,u)dz ri\i(z\u')dz'

rQx{^,n) ^^ ^ r^,{z\u')dz' ^ rQi(z,u)dz ^ r

Ri (>3', w'), R2(^> w') étant deux polynômes adjoints d'ordre m' — 3 relatifs à la courbe C, et par suite

Le faisceau des courbes adjointes Q< (s, a) + ^Q2(^î w) = o rencontre la courbe C en 2/? — 2 points variables avec À, si les deux courbes adjointes Qi = o, Qo = o n'ont aucun point commun avec la courbe C, en dehors des points doubles, ce qu'on peut toujours supposer. A ces ip — 2 points de C correspondent a(2/? — 2) points de C, variables avec X, situés sur la courbe

adjointe

Ri(-5', w')-+-XR2(-3', w') = o;

on a donc

relation qui subsiste si/> = o, ou /> = i.

La formule (28) nous fait connaître une limite inférieure de/?', connaissant les deux nombres [x et /> ; mais il est impossible de trouver une limite supérieure pour ce même nombre (*).

Si les deux nombres p et p' sont égaux et supérieurs à un, on déduit de la relation (28) [x^ i et, comme [x est un nombre entier, on a nécessairement [x = i .

Nous pouvons donc éno ncer le théorème suivant, dû à M. Weber : Si une transformation rationnelle conduit d'une courbe de genre supérieur à un à une autre courbe du même genre, la transformation est birationnelle (^).

(*) E. GoURSAT, Sur les transformations des courbes algébriques {American Journal of Mat hématies, vol. XVI; 1894).

(•) Journal de Crelle, t. LXXVI.

Pour de plus amples détails sur les transformations simplement rationnelles des courbes algébriques, nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. Painlevé Sur les équations différentielles du premier ordre {Annales de l'Ecole Normale supérieure; 1891).

APPLICATIONS DU THÉORÈME D^ABEL A LA GÉOMÉTRIE (i).

Etude des groupes de points obtenus en coupant une courbe algébrique donnée par d'autres courbes algébriques. — Applications aux cubiques et aux quartiques. — Tangentes doubles des quartiques; coniques quadruplement tangentes. — Application du théorème d'Abel aux aires, aux angles et aux arcs des courbes de direction. — Biquadratiqucs gauches.

226. Le théorème d'Abel, appliqué à la Géométrie, donne des résultats qui se présentent sous une forme intuitive des plus simples. En nous bornant presque exclusivement aux courbes du troisième et du quatrième ordre, nous indiquons sur des exemples précis les idées essentielles de la théorie. Nous commencerons par les courbes du troisième ordre.

Il existe deux espèces de courbes du troisième ordre : i° celles qui n'ont pas de point singulier; 2° celles qui ont un point double ou de rebroussement.

Si la courbe du troisième ordre F(x^y) = o n'a pas de point singulier, elle est du genre un. L'intégrale

est alors de première espèce. A chaque point (^,^yde la courbe correspondent une infinité de valeurs de w qui se déduisent de Tune d'elles par l'addition ou la soustraction de deux périodes w et (o'. A chaque valeur de u ne correspond qu'un .point {x,j') de

(') Ouvrages à consulter : Mémoires de Clebsch {Journal de Crelle, t. LXIII, LXIV); — Leçons de Géométrie de Clebsch, par Lindemann ; — Mémoire de M, Humbert {Journal de Mathématiques, 4* série, t. III; 1887).

APFI.ICATIO.NS DU TUÉORËME D.IBEL A LA GÉOUIfTRIE. 48<J

la courbe, comme il résulte du problcine de Tinversion : les coordonnées xel x de ce poiai sont des fondions elliptiques de u, aux périodes w et eu'.

(Une droite

îcoupc la courbe en trois poioLs : soît u,, Ha, Kj un sj'slèmc de aleurs de u correspondant respectivement à ces trois points ; on erlu du théorème d'Abel appliqué aus intégrales de première espèce,

^ étant une constante indépendante de la droite considérée et n

' des entiers positifs, négatifs ou nuls.

Cette relation nécessaire entre les paramètres de trois points en

ligne droite est suffisante. En effet, prenons sur la courbe trois

«oints M(, Mo, Mj dont les paramètres u vérifient la relation (l).

I-La droite rjni joint les deux points Mj et M, coupe la courbe en

; il faut montrer que M, coïncide

rlj étant en ligne droite, on a

JBvec M(. Les points M,, Ma, 1

en comparant avec (i), on voit que U| et u\ ne diffèrent que par des multiples des périodes w cl w' : les deun pobts M| et M', sont donc confondus. On prouve, par un raisonnement identique, que In condition nécessaire et suffisante pour que six points de la cu-

[ bique soient sur une conique est que les valeurs de «, relatives à

f ces six points, vérifient une relation de la forme

ii la constante est^P, comme on le voit en supposant la conique lecomposéc en deux droites.

Comme application de ces relations, cherchons d'abord les points d'inllesion. Si u est le jjaramèlre d'un point d'inflexion, la tangente d'inflexion coupe en trois points confondus avec celui-là ; il faudra donc faire dans (i), à des multiples près des périodes,

-h 2 0> -+- 9. (si'

490 CUAPITRE Xtl.

d'où

P nui-hn'tù' u =z h •

Dans celte formule, on peut donner à fi et n' toutes les valeurs entières ; maïs deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples de co et to' donnent le même point d'inflexion. Il suffit donc de donner à n et n' les valeurs o, i et 2, associées de toutes les manières possibles. On trouve ainsi neuf points d'inflexion dont les paramètres sont donnés par le Tableau suivant, où Un^n' désigne la valeur de u correspondant à un choix déterminé des entiers n et /i' :

P P-+-CO' P-+-2a)'

P-hOJ P-4-(0-hw' '^1,0= — ô — > ^^1,1= ô > W|,t =