P-4-2CO P-I-2W

Wî,0= ô ' ''2.1 — ô ' '^ï,î =

Ces points sont trois à trois en ligne droite ; la droite qui joint deux quelconques d'entre eux passe par un troisième; on a, par exemple,

ce qui prouve que les points correspondants sont en ligne droite.

Comme autre application, on pourra chercher les points où la

conique osculatrice a un contact du cinquième ordre y c'est-à-dire

coupe en six points confondus ; les valeurs de u correspondantes

sont données par

OÙ n et n' peuvent prendre toutes les valeurs de o à 5, ce qui donne 6*= 36 points. On trouve parmi ces points les neuf points d'inflexion qu'on obtiendrait en considérant les tangentes d'inflexion comme des droites doubles, puis

points de contact de véritables coniques surosculatrices. Ces points sont six par six sur des coniques.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 49^

Si l'on coupe la cubique par une courbe Cj= o d'ordre s supérieur ou égal à 3, il y a 3 5 points d'intersection sur lesquels 3s — i peuvent être choisis arbitrairement, le dernier étant alors bien déterminé. En effet, l'équation Cj = o contient d'une façon linéaire

et homogène coefficients arbitraires; on ne change

évidemment pas le système des points d'intersection avec la cubique F(j:, y) = o en remplaçant la courbe Cj= o par

Cj 3 étant un polynôme de degré 5 — 3. Gomme ce dernier polynôme contient — coefficients arbitraires, on peut

disposer de ces coefficients de façon à faire disparaître autant de termes dans C^ : il ne restera alors dans G, que

coefficients arbitraires entrant d'une façon linéaire et homogène. On pourra disposer de ces coefficients de manière que la courbe G^= o passe par 35 — i points pris arbitrairement sur F = o; le dernier point d'inlersection sera ensuite entièrement déterminé. Il existe donc une relation et une seule entre les valeurs ll^, M25 . • • , ii^s du paramètre u correspondant aux 3^ points d'intersection. Cette relation est fournie sous forme nécessaire et suffisante par le théorème d'Abel : elle est

où la constante est 5P, comme on le voit en supposant la courbe sécante décomposée en s droites.

227. Supposons maintenant que la cubique ait un point singulier : prenons ce point pour origine d'un système d'axes xOy. L'équation de la courbe peut s'écrire

/(^l désignant un polynôme du troisième degré en — et a^ une

49^ CUAPITRE XII.

constante positive, négative ou nulle. En posant y = tx, on a immédiatement

La courbe étant de genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de première espèce correspondant à la relation

Supposons a différent de zéro, ce qui exclut le cas du rebroussement, et considérons l'intégrale abélienne

^''^^dx r'""'''' dx

r^'' dx w(ar,r) = — 2a / ^ =

D'après le n° 144, c'est là une intégrale de troisième espèce admettant comme points singuliers logarithmiques les deux points de la courbe superposés au point double. C'est ce qu'on vérifie immédiatement en faisant, dans l'intégrale ts^ y=^ tx^ puis remplaçant X par sa valeur (3); on trouve ainsi .

(,) ^(x,^) = -/ -,--^=Iog^-— ^-^;

cette intégrale a un seul module de périodicité ani.

Il faut actuellement distinguer deux cas, suivant que l'on coupe la ligne par une courbe ne passant pas par le point double ou passant par ce point. Nous supposerons d'abord que la courbe sécante ne passe pas par le point singulier. Une droite quelconque

rencontre la courbe en trois points (j"i,^'<), (*^2î^2)> (•^3»^>'3) correspondant aux valeurs /,, t^^ t^ de t. On a vu (n® 18o) que, si rs[x^y) est une intégrale de troisième espèce aux points singuliers (a, b) et («', U)^ la quantité

^(^i, 7i ) -+- w(^t» yt) -+- ^(^3, y%) — log 7^ , ^

APPLICATIONS DU TnÉORÈHE d'aBEL A LA GEOMETRIE. 403

est indépendaDte de la droite considérée, c'est-à-dire de w, r, w. Comme actuellement les deux points (a, b) et («', b') sont placés au point double a = o, b = o et a'= o, 6'= o, le logarithme est nul et l'on a

G étant une constante indépendante de //, r, \v et déterminée à des multiples de iizi près. D'après la valeur (4) de ts{x^ y)^ cette relation s'écrit enfin

ti — a «2 — a «3 — a

OÙ K désigne une nouvelle constante indépendante de ?/, v^ w et /i un entier positif, négatif ou nul. Cette relation, facile à établir par une voie algébrique, donne la condition nécessaire et suffisante pour que les trois points /|, ^2» ^3 soient en ligne droite.

On verra de même, en prenant pour A(:r, v) le premier membre de l'équation d'une conique, que les six valeurs de t correspondant aux points d'intersection de la courbe et d'une conique sont liées par la relation

(6) log;^ I-+-^0S7 -^•••-^log; =2K+'2/i7:e,

OÙ la première constante du second membre est évidemment le double de K, car la relation (6) doit être vérifiée encore dans le cas où la conique est décomposée en deux droites.

Pour avoir les points d'inflexion il suffit de supposer, dans (5), que ^1, ty et t^ aient une valeur commune ^; on a ainsi

(7) '«fî<Lli = ^j— - '

ce qui donne trois points d'inflexion en ligne droite, correspondant aux valeurs o, i et 2 de /i, comme on le voit en résolvant (7)

. . ^-h a par rapport a - •

On écrira sous la même forme la condition nécessaire et suffisante pour que 35 points de la cubique soient sur une courbe C,=; o

4g4 CHAPITRE XII.

d'ordre s ne passant pas par le point singulier : cette relation est (8) 2 ^og/^i =5KH-2n7:i.

Nous avons supposé a différent de o : si a était nul, l'origine serait un point de rebroussemenjt, l'intégrale appelée ^{x^y) deviendrait une intégrale de seconde espèce infinie en ce point et les relations (5) et (6) devraient être remplacées par les suivantes, comme on pourra le vérifier,

Les théorèmes suivants doivent être modifiés en conséquence.

Examinons maintenant le cas où la courbe sécante passerait par le point double. La relation précédente (8) devient illusoire, car, deux des points d'intersection étant confondus avec le point double, une des 35 valeurs de t est a et l'autre — a : de sorte qu'il y a dans la relation deux termes infinis de signes contraires. Dans ce cas il nJexiste plus aucune relation entre les 35 — 2 autres points où la courbe C, coupe la cubique. Ainsi on peut toujours faire passer une conique par quatre points pris arbitrairement sur la cubique et par le point double.

En général, on peut toujours faire passer une courbe d'ordre 5 par 35 — 2 points pris sur la courbe et par le point double, car cela ne fait que 35 — i équations de condition et, d'après le raisonnement de la page 491^ on dispose de 35 , paramètres entrant d'une façon linéaire et homogène.

Le même fait a lieu si le point double devient un point de rebroussement.

228. Courbes du quatrième ordre sans points doubles (genre trois). — Soit

1 équation d'une courbe du quatrième ordre sans points singuliers.

APPLICATIONS OU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 496

Il résulte des formules générales que celte courbe est du genre 3. L'intégrale la plus générale de première espèce est

avec trois constantes arbitraires a, P,y. Nous appellerons u{x^y)^ ^'{^j y)j *^'(^>JK) ou simplement w, r, w les intégrales normales de première espèce relatives à la courbe (9), et nous écrirons comme il suit le Tableau des périodes normales de ces intégrales:

iTzi

iT.i

Si Ton coupe d'abord la courbe par une droite quelconque, on obtient quatre points d'intersection M<, M2, M3, Mj|, de coordonnées (x,,y<), (^2,J^2), (^3,J'3), {^^'>y^)' Nous appellerons //<, 1121 W3, ii\ les valeurs w(j:4,^f), u{x2^ y2)') • • • de l'intégrale u{x^ y) en ces quatre points; de même (^1, ^2> ^'a» ^4 et <V|, «'2, «'3, 1V4 les valeurs des deux autres intégrales de première espèce aux mêmes points. D'après le théorème d'Abel, on a, entre ces valeurs, les trois relations

Ml 4- «2 H- 1/3 H- w* = P -+-2X1:1 -f- /A -+- mB'-+- AiB', i'i -4- t't -h i'3 -4- t'v = Q -h 2 [iT i -f- /B' H- m A' -4- /i B, «'1 -4- tv2 -*- W3 H- (i'4= Rh- uvTi -h /B' -h mB 4- /iB",

où P, Q, R sont des constantes indépendantes de la sécante considérée, X, [a, v, l^ m, n désignant des nombres entiers positifs, négatifs ou nuls. Pour abréger, on peut dire que les seconds membres de ces relations (10) sont égaux respectivement à P, Q, R,

à des multiples des périodes près, et les écrire

Ml-+- Mj -h M3 -h Mv = P,

M^l-h M^j-h tV3-4- (ï'v^ f^)

en employant la même notation qu'à la page Sgô.

Sur les quatre points M,, Mj., M3, M4 on peut en prendre deux arbitrairement; la droite qui les joint coupe alors la quartique en deux autres points bien déterminés. Les équations (10) doivent donc déterminer sans ambiguïté deux des quatre points quand les deux autres sont donnés. L'une d'elles est donc une conséquence des deux autres. Ce fait que les trois équations (10) fournies par le théorème d'Abel se réduisent actuellement à deux est spécial aux systèmes de points d^ intersection par des droites ; cela tient à ce que les droites sont des courbes dont l'ordre est inférieur de trois unités à celui de la courbe.

Si nous coupons la courbe par une conique 62= o, nous obtenons huit points d'intersection M|, M2, •••, Mg^ les valeurs des intégrales w, c, w en ces huit points sont liées par les relations

IWi -i- Mj -4-. . .-+- Ma = 2P H- 2)v7ui -h /A -4- mB'-+- nB', i^i-h Pj -f-. . .-+- (>8 = xQ -h 2[JiTri-h /B'-+- mA'-f- /iB, 1*^1 -i- «^2 -T- • • . -+- w'g = 2 R 4- 2 VTT t -+- / B' -+- m B -h /i A",

où les premières constantes 2 P, 2Q, 2R sont les doubles des constantes qui figurent dans les relations (10).

Sur ces huit points d'intersection, M<, Mg, . . . , Mg on peut en prendre cinq, M4, M5, • . . , Mg arbitrairement; la conique passant par ces cinq points coupe la quartique en trois points M|, M2, M| bien déterminés. Les coordonnées de ces trois points sont données par les trois relations (11)^ pour les calculer effectivement, on aurait donc à résoudre le problème de l'inversion qui donne, comme on le sait, un seul système de valeurs pour les coordonnées des trois points M, ,M2, M3. On peut donc dire que les relations (i i) sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les huit points de la quartique soient sur une conique.

Pour faire une application de ces conditions, cherchons les coniques qui sont tangentes à la quartique en quatre points M|,

Af l-LICATIONS ne TliKORËUE D ABEL \ l.\ GÊOUBTIIIE. ^97

Mj, Ma, M,, l'otir cela, il faut el il suffit que les points M^, M,, Ml, Mb coïncident respectivement avec les quatre premiers. Les relations (i i) clevieoneDl alors'

ibu, en divisant par 2,

j H,-+- Hj -t- Uj -F

rtB'-flR'

■.[ATU

mA'+nB

A-IW

iB + nA'

f D'après ces équations, on voit qu'on peut prendre arititraire- ■tânt l'uu des quatre poinis de contact, M, par exemple ; les trois autres M|, M^, Mj sont ensuite déterminés par les équations (12).

L Une fois les nombres entiers X, u, v, /, m, n clinisis, les équations (la) donnent pour les coordonnées de M|, Mi, M^ un seul système de valeurs qui varient d'une manière continue quand li: point M4 se déplace sur la courbe. Donc, à chaque sj'sLi''me de valeurs des entiers X, ul, v, /, m, n correspond un s^'stfme de coniques tangentes en quatre poinis à la courbe. Si l'on ajoute iiii\ nombres X, \i, v, /, m, « des nombres entiers /îiïiVj quelconques, le système des coniques reste le même, car cela revient à ajouter aux seconds membres des équations (i a) des périodes simultanées; l'inversion donne alors les mêmes valeurs pour (.r,,y,), {Xa,^^),

L^*i,^ii)en fonction de (x,, |',).

H il suffit donc, pour obtenir tous les systèmes de coniques tan-

Ii|[entcs en quatre points, de donner à chacun des six entiers qui figurent dans les relations (la) les valeurs o el 1. En associant ces valeurs o et I de toutes les manières possibles, on obtient a"^ 64 sysli-mes de valeurs pour )., (x, v, l, m, n. Il existe donc 64 systèmes distincts de coniques tangentes en quatre poinis à la quartiquc. Mais un de ces systèmes, celui que l'on obtient en prenant X ^ (ji = V =: / ^ /H ^ H = o, est coniposi! de.i droites liii plan regardées comme des droites doubles ; en elTcl, pour cette délermination des six entiers les équations (12) expriment que les quatre poinis M,, Mj, Mj, M, sont en ligne droite. 11 n'y a dune que 63 systèmes de coniques vérilables tangentes en quatre points.

49^ CHAPITRE \ll.

Nous obtiendrons des résultais analogues en coupant la quartique donnée par une cubique C3 = o. Il y a alors 12 points d'intersection, sur lesquels 9 peuvent être choisis arbitrairement : les trois autres sont déterminés sans ambiguïté. Les conditions nécessaires et suffisantes pour que 12 points de labiquadratique soient sur une cubique sont donc

Ml -h Mj -+-. . .-h Un = 3P -f-aXirt -♦- /A -4- mB''-+- /iB', i>i -H t'2 -+-. . .-4- i^iî = 3Q-h a{X7C£ -h IB" -+- mA'-h/iB, «^1-+- iVî-f-. . .4- «^11= SR-t-avire-h/B'-f-mB -h nk".

On pourrait, par exemple, employer ces relations à déterminer les systèmes de cubiques ayant un contact du deuxième ordre en quatre points : on en trouverait 3* dont un formé par les droites du plan comptées comme triples.

En général, si l'on coupe la quartique par une courbe Cj = o d'ordre 5^3, il y a 4* points d'intersection sur lesquels /\s — 3 peuvent être pris arbitrairement, les trois autres étant alors complètement déterminés. En effet, l'équation C, = 0 con-