Ç II I I ^ ^ Ç I Q
tient coefficients d'une façon linéaire et homogène;
l'équation de la quartique étant F^x^y) = o, le système des points d'intersection de la quartique avec C, = o est le même qu'avec la courbe C'^ = o ayant pour équation
oii Cs ji est un polynôme en x et y^ de degré s — 4? contenant
~ ^^ coefficients arbitraires. On pourra déterminer ces
derniers coefficients de façon à annuler, dans Q , un nombre égal de coefficients. La courbe C^ ne contiendra plus dans son équation que
coefficients d'une façon homogène. On pourra donc faire en sorte que /\s — 3 des points d'intersection de C^ , c'est-à-dire de C,, avec la quartique, aient des positions données à l'avance. Une fois ces
APPLICATIONS DU TRÉOBÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 499
4 5 — 3 points choisis, le théorème d'Abel fournit les trois relations
ui -+- iii -+-.. .-+- Uis = sP,
Vi -+- t^j -+-... -4- i^i, = 5 Q, «'l-f- lï'2-h. . .-f- Wi^s = 5R,
ayant lieu à des multiples de périodes près, et permettant de calculer les coordonnées des trois derniers points d'intersection. Les constantes des seconds membres sont nécessairement 5P, 5Q5 5R; car ces relations doivent être vérifiées en particulier quand la courbe C, se décompose en s droites.
229. Supposons maintenant que la courbe du quatrième ordre acquière un point double x = a, y = b ù. tangentes distinctes, La courbe F{x^y)= o est alors de genre deux; il n'existe plus que deux intégrales distinctes de première espèce. L'intégrale la plus générale de première espèce est
dxy
où a et ^ sont des constantes arbitraires, car le numérateur égalé à zéro doit représenter une droite passant par le point double. Nous appellerons u{a:^y) et i^{^,y), ou simplement u et v les deux intégrales normales de première espèce 5 les périodes de ces intégrales relatives aux coupures a,, «2 et 6|, &2 sont données par le Tableau
bi
iTzi
La- troisième intégrale qui figure dans les relations précédemment établies, pour la quartique sans singularités, est actuellement remplacée par une intégrale de troisième espèce admettant pour points singuliers logarithmiques les deux points
analytiques distincts superposés au point double. L'intégrale de troisième espèce la plus générale remplissant ces conditions est
f'-^lf^d.,
où a, p, Y sont des constantes ; cette intégrale est la limite vers laquelle tend l'intégrale la plus générale de première espèce considérée dans le n** 228, lorsque la courbe F = o acquiert un point double; elle est composée linéairement avec les deux intégrales de première espèce u et i^ et une intégrale normale de troisième espèce T3(xjy) ayant pour points singuliers logarithmiques les deux points analytiques superposés au point double x = a^ y = b. Cette intégrale normale Ts{Xjy) admet une période polaire 2t:/ et deux périodes D et E relatives aux coupures b^ et b^^ les périodes relatives aux coupures a\ et a^ sont nulles.
Cela posé, il faut distinguer deux cas pour l'étude des systèmes de points d'intersection de la courbe F = o avec une autre courbe, suivant que la courbe sécdinie passe ou non par le point double, c'est-à-dire suivant qu'elle est adjointe ou non.
1° Courbes non adjointes, — Soit d'abord une droite ne passant pas par le point double; elle coupe en quatre points : M,, M2, M3, M4 ; nous distinguerons, comme précédemment, par les indices i, 2, 3, 4 les valeurs des intégrales u, c, rs en ces points. Ces valeurs sont liées par les trois relations
iui-h Ui -{- U3-+- u., = P H- 2 X - / -h / A -+- m B, ^1 -!- ^î -+- ^'3 ■+■ ^\ = Q -H '2 tji 71 i -h / B -h m G, HTi 4- nia -t- ni3 -4- TîTi = R H- 2 v tt £ -h / D 4- w E,
P, Q, R désignant des constantes indépendantes de la sécante considérée, X, [x, v, /, m des entiers quelconques. Le fait que V et Q sont indépendants de la sécante est évident, d'après le ihéorcme d'Abel appliqué .aux intégrales de première espèce. Pour montrer que R est également indépendant de la droite sécante, il faut se reporter à ce qui a été dit du théorème d'Abel pour une intégrale de troisième espèce devenant inGnie en deux points superposés en un point double (n" i85).
Les relations (ï'à bis) sont donc établies. L'une de ces relations
doilêlre une conséquence des deux au très, cor, deusdcs quatre points M|, M], M3, M, pouvanl être choisis arbitrairement, il ne peut erisler entre eus que deux relations distinctes. Mais or peut préciser et affirmer que les deux premières relations (la bis) donnent les conditions nikessaires et sufiisantes pour que les quatre points soient en ligne droite ; en efl'et, Mj et M, étant choisis, ces deux relations donnent, pour M, et M^, un seul système de valeurs. La
iièrae relation ( 1 a bis) est donc une conséquence des deux premières. Ce fuit exceptionnel d'une équation surabondante ne se présente plus quand on coupe par des courbes d'ordre supérieure un.
ir exemple, coupons par une conique Cj ne passant pas par le point double : nous aurons huit points d'intersection, dont cinq arbitraires. Les valeurs des intégrales u, v, ts en ces huit points sont liées par les relations
(„, 4- „,+...+ „, = g, P + 2X-1 + /A + n.B, j ,>, H-,,, +... + B, ^ aQ-i--.!|i-("-4-/B -hf/iG, ( m,-^m,-i-... + m»=-iB.-i-i-n:i-<-lD + mE,
les premières constantes des seconds membres étant 2I*, 2Q, ait, comme on le voit en supposant que la conique Cj se décompose eux droites. Ces équations (i3) donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que huit points de la quartique soient une conique. Pour calculer, â l'aîde de ces relations, les coordonnées de trois des points quand les cinq autres sont donnés, on doit résoudre le problème d'inversion généralisé (n" 213).
Comme application, cherchons encore les systèmes de coniques tangentes en quatre points M|,M3, M,, M» à la quartique ; nous aurons, en supposant que les quatre autres points M^, Mg, M7, M» coïncident respectivement avec les quatre premiers
iXtt
Pour obtenir tous les système* de coniques tangentes en quatre points, il suffit de donner aux cinq entiers )., ix, v, / et m les va-
leurs o et i associées de toutes les manières possibles; c'est ce qu'on verrait comme plus haut (p. 497)j car les valeurs de M,, M2, M3 déduites des relations (i4) en fonction de M4, ne changent pas quand on augmente ou diminue un quelconque des cinq entiers d'un nombre pair; il y a donc 2^ = 82 systèmes de coniques distincts; mais l'un d'eux, celui qu'on obtiendrait en prenant
se composant des droites du plan regardées comme doubles, il y a 3i systèmes de coniques proprement dites tangentes en quatre points à la quartique.
Si l'on coupe la biquadratique par une courbe Cj d'ordre 5, non adjointe, on voit de même que les coordonnées des 4-^ points d'intersection sont liées par les trois relations nécessaires et suffisantes
ai H- aj-h. . .-h «4, = sP -h aXri -+- /A -+- /?iB,
Pl -h t^j -+- . . .-h P^jf = s Q -h 2 fXTT i -h /B H- mC, TEFi-H inj-h. . .-f- w^s = sR -h 7."^ Tzi-h ID -{- mE,
2" Courbes adjointes. — Quand on coupe la quartique par une courbe passant par le point double, ce point compte pour un dans le nombre de points nécessaires pour déterminer la courbe sécante, mais il compte pour deux dans le nombre de points d'intersection de la courbe avec la quartique. D'autre part, l'intégrale m devient infinie aux deux points d'intersection confondus avec le point double et la somme des deux valeurs de l'intégrale gj en ces deux points doit être regardée comme indéterminée. Les relations précédentes doivent alors être modifiées. Mais cette modification est des plus simples : elle consiste à effacer la dernière relation, celle qui contient l'intégrale m et à ne conserver que les deux premières.
Coupons d'abord par une droite issue du point double; soient M^ et M2 les deux autres points où cette droite coupe la courbe, Ui , ^2 et Vi , i^2 les valeurs des intégrales u et c en ces points, u et u'^j r' et i>" leurs valeurs aux deux points analytiques superposés au point double. Le théorème d'Abcl pour les intégrales de première espèce s'applique toujours et donne
j i/i-i- ^2= P'm- aXTTf-h /A -f- /?iB, ( Vi -h i'2 = Q'h- 2|X7:iH- /B H- //iC,
APPLICATIONS DL- THÉOBÈUK D'ABEL a la GliOUËTRIi;. 5oï
V et Q' désignant les conslaales P — u' — u" et Q — i''— c". Ces relations (i5) doivent se réduire à une, car un des points M, et M] peut être choisi arbitrairement. On a encore là un cas où le iroblëme de l'inversion est indéterminé.
Si l'on coupe par une conique Cj passant par le point double, celle conique coupe en six points distincts du point double entre lesquels ont Heu tes relations
Sur ces six points, quatre peuvent être choisis arbitrairement; les deux autres sont déterminés par les équations {i(5), en vertu du problème d'inversion. On a donc obtenu les conditions nécesêaires et suffisantes pour que six points de la courbe soient sur une conique passant par le point double. Ces conditions pourraient iBCrvir, par exemple, à déterminer les coniques passant par le point double et tangentes en trois points à la quartique. Enfin, pour que \s — a points de la quarii<jLie soient sur une courbe C,, d'ordre s, passant par le point double , il faut et il suffit que l'on ait
30. Quartique avec deux points doubles 5 el S' à tangentes listinctes. — Dans ce cas le genre esl un; l'intégrale
fi a, ^, -j- sont des constantes, esl de première espèce quand I droite aa; + P>' + i'^= o passe par les deux points doubles. Haïs si a, ^, -^ ^oal arbitraires, celte intégrale est une fonction linéaire de l'intégrale normale de première espèce «, et de deux intégrales normales de troisit^me espèce ta et ro' devenant infinies, la première aux poinU superposés au point double 0, la deuxième aux points superposés en o'.
L'intégrale u admet les périodes ini el A sur les coupures a et b^; l'intégrale m admet la période polaire -iv.i, la période o sur a
5o4 CHAPITRE XII.
et B sur b] w' admet de même la période polaire 27:/, les périodes o et G sur a et b.
Il faudra, pour l'étude des systèmes de points d'intersection, distinguer trois cas, suivant que la courbe sécante ne passe par aucun point double, passe par un point double ou par les deux.
1° Courbes ne passant par aucun point double, — On trouve comme plus haut les relations suivantes en distinguant par des indices les valeurs des intégrales w, w, m' aux points d'intersection.
Droites sécantes :
Mi -f- aj -h M3 -h M4 = P -haXTci -f- /A, TîTi -H Wj -♦- ma -h IÏT4 = Q -+- afJiTri-H /B, m\ -h m j -H m 3 -I- m 4 = R -f- 2 v it t -f- / G,
où P, Q, R sont des constantes, X, ix, v, /des entiers. Ces relations se réduisent à deux.
Coniques sécantes:
Ml -t- Mt -J-' • -4- Mg = aP -f- ïX-ïTi-i- /A,
TEFi ■+- Wf -H. . .-+- TÎTg = 2Q -h 2inzi -¥- /B,
w\ -+- njj -h. . . -h njg = 2 R H- 2v izi -h /G.
Cherchons, par exemple, les coniques tangentes en quatre points. Comme actuellement il n'y a plus que quatre entiers X, m, v, /, on Irouve 2* — I = ï5 systèmes de coniques véritables tangentes en quatre points.
2" Courbes passant par un des points doubles 3'. — H y a alors une relation de moins entre les points d'intersection et deux de ces points sont situés au point double 8'. La relation qui contient rintégrale tîj' n'a plus de sens. Il reste alors les relations suivantes, dans lesquelles P' et Q' désignent de nouvelles constantes.
Droites passant par 0' :
ui -+- Ui = P' -H 2X7:1 -h /A,
TEFi -h Wj = Q'-h 2,U7rt -+- /B.
Ces relations se réduisent à une.
Coniques passant par 3' :
ide
= P'-(-P + slt:
= Q + Q + af»^
3" Courues passant par /es deux points doubles Z et Z'. — II n'y a plus alors qu'une relation crilre les points d'intersection : c'est celle qui est donnée par l'intégrale de première espèce.
Coniques passant par 5 et 3', — Elles coupent en quatre points variables dont trois arbitraires; ces quatre points sont liés la relation
ll-r
hl\.
La constante est nécessairement P, car la relation doit être vé- ■ifiée en particulier si la conique se décompose en deus droites, l'une joignant les deux points doubles et l'autre quelconque; elle doit donc être vérifiée par quatre points en ligne droite, La relation (17) ainsi obtenue est nécessaire et suffisante pour que les quatre points soient sur une conique passant par 3 et 5', car elle donne une seule position pour M, quand Mj, Mj, M, sont choisis arbitrairement.
De même, une cubique passant par les deux points doubles coupe la courbe en 8 points variables dont 7 peuvent ôlre choisis arbitrairement, le builième étant alors déterminé et unique. Ces huit points sont liés par la relation
»,-T- «, + . , .+ u, = aP + aXTt(+ l\,
OÙ la constante est 9.P, car ta relation doit être véridée quand la cubique se décompose en trois droites dont une joignant les points
On vérifiera en général que, si une courbe, Cj d'ordre j passe par les deux points doubles, elle coupe la quarlit|ue en 4 s — 4 points dont 4s — 5 peuvent être clioisis arbitrairement; ce raisonnement «st identique à celui de la page 4î)i. Les valeurs de u aux 4* — 4 points sont liées par la relation nécessaire et suffisante
«,+ u,-H...-i-Ot,t=(«— i)P-'-^^'t'+ 'A-
5o6 CHAPITRE XII.
231. Il nous reste à examiner le cas simple où la courbe a trois points doubles à tangentes distinctes ; elle est alors unicursale : les coordonnées d'un point de la courbe s'expriment en fonctions rationnelles d'un paramètre t, de telle façon qu'à chaque point de la courbe corresponde une seule valeur de t et réciproquement. La courbe étant du genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de première espèce correspondante.
Soient 0|, O2, 83 les trois points doubles, a^ b\ les deux valeurs de t qui donnent le point 8|, «2? 62» et a^, 63 celles qui donnent les points 82 et Sj. Si Q(^j J^) = o désigne l'équation de la droite 8283, l'intégrale
est une intégrale de troisième espèce admettant pour points singuliers logarithmiques les deux points superposés au pointdouble 0| . Si donc on l'exprime en fonction de /, en y remplaçant x et ^ par leurs expressions en ^, on doit trouver
(18) ^{r,y)=-\og' j- 7— — -•
Cette intégrale n'a plus qu'une période polaire 2'7if.
i" Intersection ai^ec des courbes ne passant par aucun point double :
Appelons ^1, ^2î hy ^\ les valeurs du paramètre correspondant aux quatre points d'intersection (xi, J'i), (^2? ^2)7 (^35 ^Vs)? (^45^0 ^^ 1^ courbe avec une droite; d'après le théorème d'Abel appliqué aux intégrales de troisième espèce, la somme
a une valeur constante indépendante des coefficients de la droite considérée; la partie logarithmique disparaît, car les points singuliers logaritlimiques de ^{jc,y) sont superposés au point double, llemplaçant dans cette somme ^(xi,^'i), ••• pai* leurs valeurs tirées de (18), on a une relation de la forme
APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5oy
K| étant une constante et /i| un entier quelconque. La considéralion des deux intégrales de troisième espèce devenant respectivement infinies aux points superposés en 82 et Ô3 donne de même les deux relations
log T- -+- log- 7--H . . . + log- T- = K,-f- 2M,Zl,
Il — Of tf — Ot «V — Of
Ces trois relations (19) et (19') se réduisent nécessairement à deux, car deux des points d'intersection d'une droite avec la courbe peuvent être choisis arbitrairement; les deux autres sont alors déterminés sans ambiguïté. Donc, t^ et t.% étant pris arbitrairement, les valeurs de t^ et ^2 tirées des deux équations (19') doivent vérifier (19), ce qui exige l'existence de relations entre les constantes K|, K2, K3 et les quantités ^i, 6|, a^, b^t o^^ 63. Certaines de ces relations s'obtiennent immédiatement; par exemple, la droite 82 S3, joignant deux des points doubles, rencontre la courbe aux points
ti = «2, ti = ^>j, ti = rta, ^4 = ^3 ;
ces valeurs doivent donc vérifier l'équation (19); en écrivant ce fait, on a l'expression de K| en fonction de ai, b^, «2? ^2?
Ces équations (19) et (19'), dans lesquelles /» a une valeur arbitraire, fournissent donc un exemple du cas où le problème d'inversion généralisé est indéterminé, car ces trois équations ne déterminent pas ^1, ^2> h î on peut encore y prendre arbitrairement une de ces quantités.
On verra de même que, si huit points de la courbe ^1 , /2, • • - , h sont sur une conique, on a
log- T--+-log ■- r--i-...-+-log —r- = 9.Kx-hiniT.i,
«1 — Oi ^ ti— bi ° t^— bx
{10) { log-^— -^ + log^— ^^--t-... + log^-— ^ = :.K.+ 2«,r., log- . + log/--- ^-...-^Iog■- T- = aK3-t-2Ai3-t.
*1 — O^ (2 — £^3 ig — C/3
5o8 CHAPITRE XII.
Les trois conditions (20) sont les conditions nécessaires et sufîisantes pour que huit points de la courbe soient sur une conique; elles sont nécessaires, comme nous venons de le voir: elles sont suffisantes,* car cinq des points f^, t^, ^e, ty, /« étant choisis arbitrairement, la conique de ces cinq points coupe la courbe en trois autres points bien déterminés, et ces trois points coïncident nécessairement avec les points ^i, ^2, t^ définis par les équations (20), qui donnent pour l^, ^2> ^s ^^ seul système de valeurs.
Appliquons, par exemple, ces relations à la détermination des points d'inQexion.
Pour un point d'inflexion t on a, en coupant par la tangente d'inflexion, ^2 = ^3 = ^4 = ^« Donc les équations (19') donnent
Si Ton passe des logarithmes aux nombres, et si Ton élimine t^ entre les deux équations linéaires en tt ainsi obtenues, on a une équation du sixième degré en f : il y a donc six points d'inflexion.
Appliquons de même les relations (20) à la détermination des systèmes de coniques tangentes en quatre points de paramètres f«, ^2> ^3> ^4- Pour obtenir les groupes de quatre points de contact, exprimons que ^5, t^^ t-i et t^ sont égaux respectivement à /|, fa» ^3, ^|. Les relations (20) deviennent
-+-log ; 7--+-log- = Kk-^inkT.i,
h— Ok n — bk
OÙ Ar = I, 2, 3. Ces formules montrent que t^ peut être pris arbitrairement : ^1, ^27 ^3 sont alors déterminés. On obtiendra huit systèmes difl<érenls de coniques quadruplement tangentes en donnant à /?!, /i2, n^ les valeurs o et i associées de toutes les manières possibles. Mais la combinaison
I donne des groupes tic quatre points en ligne droite; c'est «ne sok.Iution foiiiaie par les droites du plan regardées comme douilles. Il I ne reste donc que 7 systèmes de coniques; mais dans ce nombre, doDQé par Clebsch, il y a encore des systèmes singuliers (n"231 bis). 2" Courbes passant par un ou plusieurs points doubles : Si une courbe sécante jiasse par un point double, il y a entre les points d'intersection une relation de moins, celle (jui contient . l'intf'gralc de troisième espèce infinie au point double. Si la courbe passe par deux points doubles, il disparaît les deux relations contenant les in léj^rales de troisième espèce devenant infinies en ces deux points : il ne redite donc alors qu'une relation. Si la courbe sécante pasfîe par les trois points doubles, Il n'y a plus aucune relation entre les points d'intersection.
231 &i>. Les nombres donnés plus baiit pour les systèmes de coniques quadrupicment tangentes aux quartiques sont ceux de Clebsch. Mais il faut remarquer (' } que, si la quartiqiie a des points doubles, il y a dans les systèmes de Clebscli des systèmes singuliers formés de droites doubles passant par un point double. Il existe donc i , 2 ou 3 de ces systèmes singuliers, suivant que la courbe ai, a ou 3 points doubles; les nombres des systèmes de coniques quadruplement tangentes non singulières sont donc dans ces trois cas 3o, i3 et 4- L'existence de ces systèmes singuliers tient à ce que, si une droite passe par un point double, le second membre de la relation contenant rînlègrale de troisième es|)èce correspondante peut prendre telle valeur que l'on veiil.
232. Tangentes doubles des quartiques. — Le problème des tangentes doubles des quartiques présenle des dillicultés particu-
lières qui lienneot à ce que les droite:
ml des courbes de degré Lprimantque quatre points
- 3 («1 = 4) et que les équ.
sont en ligne droite sont surabondantes.
Si l'on coupe une quurtîque sans points singuliers par une tangente double, les quatre points d'intersection sont deux à deux confondus avec deux points M, et M^. Les équations (10), p. 495,
5lO CHAPITRE XII. '
qui expriment que quatre points sont en ligne droite, deviennent
alors
p H 9X7:1 -+- /A -^ mB'-h /iB'
Ml H- Mj = ,
, , , QH-aa7:/-4-/B'-4-mA'-+-/iB
(22) \ Çi -h Çi = — ^^^ »
On a ainsi trois équations pour déterminer les deux points de contact M4 et Mg. Les lettres /, m, /i, X, [jl, v désignent des entiers. Il est certain d'avance que Ton pourra donner à ces entiers des valeurs telles que les trois équations ci-dessus soient compatibles, car on sait qu'il existe des tangentes doubles, mais la difficulté est de savoir comment il faut choisir ces valeurs des entiers.
Tout d'abord il suffit de donner à chacun des entiers une des valeurs o et i, car, en augmentant ou diminuant un des nombres /, m, /i, X, [JL, V de deux unités, on ajoute ou retranche des périodes aux seconds membres des équations. Il reste alors à savoir comment il faut associer les valeurs o et i données aux six entiers; Rfemann a démontré (*)? par des considérations tirées de l'évanouissement des fonctions 8, qu'il faut et qu'il suffit que les entiers /, /;/, /?, X, jx, v vérifient la condilion
(•.i3) Il -+- mil -h /iv = un nombre impair.
Comme l'étude des fonctions B ne rentre pas dans le sujet que nous avons voulu traiter, nous admettrons le théorème de Riemann. 11 correspondra une tangente double à chaque système de valeurs des nombres /, m^ //, X, iji, v vérifiant la condition (aS), ces nombres ayant chacun la valeur o ou 1 . Pour évaluer le nombre des tangentes doubles, supposons d'abo.rd deux des nombres /, /??, n nuls, le troisième étant 1; ce qui peut se faire de trois manières. Par exemple, supposons l == m =z o^ n = i. Alors X et [JL peuvent prendre chacun les deux valeurs o et i , mais v doit être égal à 1, ce qui donne 4 systèmes de valeurs pour A, iji,
(' ) Zur Théorie der Abeischen Funciionen far deti Fall p — 3 {ŒuK'res complètes, p. 457).
; on a, de celle façon, i-î sysli^mes de valenrs pour /, »», n, À, V en supposant deux nombres /, m, n nuls. Si un seul des ^mbres /, m, n est nul, l par exemple, \ peut prendre la valeur L I , puis [* + V doit élrc impair, ce qui exige [1=10 avec v .=: 1 , = I avec V ^ o; OQ a donc encore 4 systèmes de valeurs de \, V, en supposant / nul, m et n égaux à i , ce qui donne, en prenant un seul des nombres /, /ri, n nul, j a systèmes de valeurs des 5 entiers. Enfin, supposons /=: wi 1= « =: 1 ; alors X 4- u + v doit Btre impair; donc, ou bien les trois nombres \, ji, v sont .égaux t I ou un seul d'entre eux est égal à 1 : ce qui fait ^ systèmes de Svaleurs, On a ainsi en tout a8 tangentes doubles conformément âlux formules de Pliicker. Désignant par (/mn, Â[Jiv)une tangente double correspondant à un choix délerminé des six entiers /, i»,n, ,, [Ji, V, on a le Tableau suivant d«s aS tangentes doubles :
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