Ces (ié uni

suivants :

I. Toute fonction analytique uniforme, régulière pour toute valeur finie de z et pour s = x , est une constante.

II. Toute fonction analytique uniforme, n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers, est définie, à une constante additive près, quand on connaît les parties principales relatives à chaque point singulier.

III. Toute fonction analytique uniforme, n'ayant d'autres points singuliers que des pâles, est une fonction rationnelle {').

\V^ Si une fonction analytique uniforme n'a qu'un nombre fini de points singuliers, la somme des résidus relatifs à ces points singuliers, et au point à l'infini, est nulle.

Pour établir celle dernière proposition, décrivons, du point r = o comme centre, une circonférence C renfermant tous les points singuliersà dislance iinie dcf{z), et considérons l'intégrale

prise te long de la circonférence C, l'aire du cercle étant à gauche. CeUe intégrale est égale, d'une part, d'après le théorème de Cauchy rappelé plus loin, au produitde 3-^i par la somme des résidus de /"(s) relatifs à tous les points singuliers à distance finie; d'autre pirt. d'après la définition du résidu au point se, à — sni'R^. Lu comparaison de ces deux valeurs de l'intégrale donne le théorème énoncé.

Appliquons ce théorème à la dérivée logarithmique (v =: - - 7 ■— d'une fonction rationnelle i' de :. Les résidus de la dérivée loga-