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Nous ne nous occuperons pas ici de la réalité de ces tangentes Eoubles, en nous bornant â remarquer qu'elles peuvent être toutes réelles, comme l'a montré Pliicker (voir Salmon, Courbes planes). Nous indiquerons quelques tbéorèmes relatifs au groupement de ces tangentes doubles, théorèmes que Hesse et Steîner Anl démontrés par voie algébrique et que Clebsch a établis commo pipplication du théorème d'Abel (Journal de Creile, t. 63) (•).

Nous avons trouvé (n''228) qu'il existe 63 systèmes de coniques tangentes en quatre points à la quartique. Dans chacun de ces systèmes figurent six couples de tangentes doubles; les points

Ie contact de deux couples appartenant au même système ml situés sur une conique.

El') VojcE aussi Leçon* si EIII, p. 345 et suivante;.

par Clvbscli, IraduîU's par UpnoU.

5l2 CHAPITRE XII.

En effet, les qualre points de contact M|, M2, M3, M4 d'une conique tangente en quatre points sont liés par les trois équations

2 P -4- 9. Xtt ** -h / A H- m B' -h /i B'

Wi -f- Mj -h W3 -+- 1/4 = 9

wi -h Wt -h iVa -h W4 =

-t- 2 [jlt: i H-

/iB

-h 2 VIT t -h

-t- mB

où /, m, /i, X, [JL, V prennent les valeurs o et i associées de toutes les manières possibles, ce qui donne ?/ = 64 systèmes de coniques. La combinaison /=m = /i=:A=[JL = v = o donnant les droites doubles du plan, il reste 63 systèmes de coniques tangentes en quatre points.

Prenons, pour fixer les idées^ le système de coniques correspondant au choix l=zm= o, /i = !, X=i, [jl = v = o. On a

2P -+- 2Tri-f- B' Ui -+- Wj -h U3 -I- Wv = >

(25) \ Vi -h Pî -H (^3 -+- «'* = — ^^ 9

Wi -h Wi -h «'3 -+- Ws, =

Soient alors deux tangentes doubles caractérisées par les nombres

il\m',n'; X',îi',v') {l^m^n"', r,îi%v'');

appelons M^ , Mo les points de contact de la première, nous aurons

p +- ^l'rJ -+- /'A -h m'B' -4- n'B'

(2G) Ui-\-Ui =

et deux relations analogues pour Çi -\- i'2, <ï^ -h ^^2 ; appelons de même M3, M^ les points de contact de la deuxième, nous aurons

, , P-4-2À''T:i-^/^V-hA^l''B''-^/^''B'

et deux relations analogues pour ('3 + c, et (^3 -f- iv^. Pour que l'ensemble de ces deux tangentes doubles forme une conique qua-

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. Ti 1 3

(Iruplement tangente du système (26), il faut et il suffit qu'en ajoutant les relations telles que {9.6) et (27) on trouve les relations (25) à des multiples des périodes près. Il faut et il suffit pour cela que a'+X", n' -\- n" soient impairs, [x'+ ul", v'-f-v", l'-{-P^ m' H- ni*' pairs. Les six couples suivants de tangentes doubles remplissent ces conditions :