INTÉGRAL KS II Y PEU E L L I PT I Q U ES
forme dans le domaine o du point (a^, bh) qu'elle admet comme pôle d'ordre m — i. Mais, lorsque le résidu R/f n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine o : elle augmente de 27r«RA quand le point (z^u) décrit, à l'intérieur de ce domaine, un contour fermé tournant une fois dans le sens positif autour de («A) bk)' On dit alors que le point (a^, bk) est un point singulier logarithmique de l'intégrale.
Soit maintenant un point de ramification^/ que la fonction r admet comme pôle d'ordre /??, le résidu étant R/. On a, dans un domaine 0 du point ei, en écrivant d'abord le terme en ,
^ - — ei
-i- ■ '' "'-y 4- Ao -f- AiC j — e/)^ -+- A2(^ — e,-) -H . . . ,
i^-en'
car, par définition, le résidu R^ est le double du coefficient de
En intégrant et désignant par C une constante, on a, dans
le même domaine, l'expression suivante de l'intégrale :
(Z,U) ^C-h- R/l0g(3 — Ci)- -jj^-^
(ni — 2)(.3 — Ci) - (m — 3)(^ — et) -
— — — ^+2A-i(^ — e/)2 + Ao(^ — e/)4- ~~ (z — ei)'^ -
{z-etY ^
Lorsque le résidu R/ est nul, l'intégrale est uniforme dans le domaine 3 du point ei qu'elle admet comme pôle d'ordre m — 2, tant que m est supérieur à 2; si/?? = 1 , elle est régulière en ce point; le cas de m = 2 ne peut pas se présenter avec l'hypothèse R/= o. Lorsque R/ n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine S du point ei\ elle augmente de 2-iR/ quand le point (5, u) décrit autour de ei dans le sens positif et à l'intérieur du domaine 8 une courbe fermée sur la surface de Riemann, ce qui exige, comme nous l'avons vu (p. 2-), que^ ionme deux fois autour de et. Le pointe^ est alors un point singulier logarithmique de l'intégrale.
58 CHAPITRE ri.
Eludions, pour lermincr, la forme de l'intégrale dans le domaine d'un j)oint à l'infini.
D'abord, si n est pair, les deux points à Tinfini dans les deux feuillets sont des points ordinaires de la surface de Riemann. Dans un certain domaine d'un de ces points, oc, par exemple, v est de la forme, en prenant le cas le plus général,
AÏ i ï
en commençant par le terme en - , et appelant R^'' le résidu re-
latif au point oo, , résidu qui est le coefficient de - changé de signe.
En intégrant, on a, dans le même domaine,
}{z,u) ^ C-f-RL^Mog- 4- AzZ^^m+i^^...^. ^-A^2^ AoZ z m -^ \ 9.
Lorsque le résidu l\J est nidy l'intégrale est uniforme dans le domaine du point co, ; si (^ admet ce point comme pôle d'ordre 7?z, .) l'admet comme |3Ôle d'ordre /n-\~i. Lorsque le résidu R^" n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine considéré du point cCi ; elle augmente de 2T:f RjJ' quand le point (z, u) décrit dans le sens positif à l'intérieur du domaine considéré un cercle de centre ^ = o. Le point ce, est alors un point singulier logarithmique.
Pour que l'intégrale J(^, ?<) reste finie, c'est-à-dire soit régulière au point cC|, il faut, d'après le développement ci-dessus, que
le développement de v commence par le terme en --> et que
tous les coefficients précédents soient nuls, c'est-à-dire que ç soit
dans le voisinage du point ce, infiniment petit de l'ordre de —
ou d'un ordre supérieur. Les mêmes remarques s'appliquent au point GOo, qui peut être un pôle, un point singulier logarithmique ou enfin un point où l'intégrale est régulière.
