IXTÉGHALES II Y PE R E LL I PT I Q U KS

Si l'infini est un point de ramification (/z imj3air), on a, dans un certain domaine de ce point,

en appelant R^ le résidu relatif au point ce et écrivant le terme en - le premier. On a donc, en intégrant,

J(^,zO = C-i-R3,log('^)

Ao^-f-— ^^^-^ -2 A3

(if- T-

Lorsque le résidu R^ est nul, J est uniforme dans le domaine du point oc; si ç admet ce point comme pôle d'ordre m, J l'admet comme pôle d'ordre m + 2. Lorsque R^ n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine du point oc : elle augmente de 2t:/R^ quand {z, a) décrit sur le domaine du point, dans le sens positif, une circonférence fermée autour du pointoc, circonférence qui doit être parcourue deux fois, comme nous l'avons vu (p. 33). Le point 00 est alors un point singulier logarithmique de l'intégrale. Pour que l'intégrale soit finie, c'està-dire régulière au point oc. il faut et il suffit que le premier terme

du développement précédent de v soit le terme en ( -- j , ou un terme de degré supérieur en - •

En résumé, dans le domaine d'un point quelconque (a, b) de la surface de Riemann, ou bien l'intégrale est régulière, ou elle admet ce point comme pôle, ou elle admet ce point comme point singulier logarithmique. Dans ce dernier cas, si 1 on appelle R le résidu relatif au point (a, b), on a, dans un certain domaine de ce point,

J(^, u) = Rlog(^ — a) — o(z, u),

fo étant uniforme dans le domaine du point (a, b), régulière en ce

point, ou radmeltant comme pôle. Dans celte formule, pourrésii-

M~ mer tous les cas, il faut convenir de remplacer z — a par (^ — Ci)-

quand (a, b) coïncide avec un point de ramification, par - quand

(a, b) est un point ordinaire à l'infini, et par ( - j quand (rt, b) coïncide avec un point de ramification à l'infini.

33. Gomme la somme de tous les résidus de la fonction ç est nulle, l'intégrale J peut na^oir aucun point singulier logarithmique, si tous les résidus de v sont nuls séparément ; mais, si elle possède un point singulier logarithmique, elle en a au moins un second, car tous les résidus ne peuvent être nuls, sauf un seul, puisque leur somme est nulle.

Les intégrales les plus simples possédant des points critiques logarithmiques sont donc celles qui en possèdent deux avec des résidus nécessairement égaux et de signes contraires.

Toute intégrale abélienne est une somme d'intégrales rentrant dans l'une des trois catégories suivantes :

1° Une intégrale abélienne est de première espèce quand elle reste finie, quel que soit le point analytique (^, w), à distance finie ou infinie, formant la limite su])érieure : une telle intégrale est une fonction du point analytique (:;, u), régulière en tous les points de la surface de Riemann, mais non uniforme ;

2" Une intégrale abélienne est de deuxième espèce quand ell devient infinie en un seul point de la surface de Riemann et qu ce point est un pôle de l'intégrale;

W Une intégrale abélienne est de troisième espèce quand ell devient infinie seulement en deux points (a, b) et (a', b') de 1 surface de Riemann, qui sont des points singuliers logarithmiques de telle nature que, dans le voisinage de ces points, elle puisse être représentée par des expressions de la forme

— log(^ — a) + cp {z, u),

co(5, u) et '^' {z^ u) désignant des fonctions régulières respectivement aux points {a, b) et {a', b').

INTÉGRALES H V P E R E LL I P T I Q U ES. 6l