Soit (' une fonction rationnelle de :? et u

'= KÎV) '

(intégrale

Az,iù

}{z,u) = j vdz

est une intégrale abélienne attachée à la relation

ir- = k{z~ ex){z~e^) ..Az — €n),

ou à la surface de Riemann correspondante. Les intégrales abéliennes ainsi formées se nomment JivperelUptiques (-). On suppose la limite inférieure placée en un point analytique déterminé [zq^ Uq) de la surface de Riemann, et l'intégration effectuée le

(' ) Ouvrages à consulter : Nkumanx, Théorie der Abelschen Intégrale: Clebsch et GoRDAX, Théorie der Abelschen Functionen : erster Abschnilt.

(*) On d^'^eWe, en ^éï\éva\, intégrales hypeielliptiques ceWes qm ne contiennent, sous le signe d'intégration, d'autre irrationalité qu'un radical carré portant sur un polynôme d'un degré supérieur au quatrième. Toutefois nous conserverons ici le même nom, quel que soit le degré de ce polynôme.

long d'une certaine courbe tracée sur la surface et aboutissant au point analytique [z^ u)^ qui forme la limite supérieure. La valeur de l'intégrale est une fonction de la limite supérieure, c'est-à-dire du point analytique (;:;, «)•, elle dépend aussi, dans une certaine mesure, du chemin d'intégration allant du point (^o^ ^^o) ^^^ point (s, u). Quand, ces points restant fixes, le contour d'intégration varie, les différentes valeurs que peut acquérir l'intégrale ne diffèrent que par certaines constantes additives appelées modules de périodicité, car toutes ces valeurs de l'intégrale ont même dérivée V par rapport à :;.

32. Nous allons d'abord étudier la nalure des points singuliers d'une intégrale lijperelliptique sur la surface de Riemann.

Si en un point à distance finie de la surface de Riemann la

fonction ç est régulière, l'intégrale J(^, u) est aussi régulière

en ce point. Gela résulte immédialement de ce que l'intégrale

d'une série procédant suivant les puissances positiçes croissantes

de z — Go ou de (z — Ci)'^ est une nouvelle série de même foime,

convergente dans le même domaine que la première.

Voyons maintenant comment se comporte l'intégrale J(g, u) dans le domaine d'un pôle de la fonction ç. Soit («a, b/() un pôle de P", d'ordre m^ placé en un point ordinaire de la surface à distance finie. Dans le domaine de ce point on a, en appelant Ryi

le résidu de i^ et écrivant le premier le terme en -^ —

-h Ao-+- Ai(^ — «A-) -i- AaC^ — a/,)--^

En intégrant et désignant par G une constante d'intégration, on a l'expression suivante de l'intégrale, A^alable dans le même domaine 0 du point [aji^ b^),

J(.^, u)=C-i- Ra- log(^ - a^-) -

iii — i

A 2 . , . . iz — ai,.f-

z — ak 1

Donc, lorsque le résidu R/; est nul, l'intégrale J(g, u) est uni-