Nous éludicrons d'abord les intégrales de première

espèce.

Soit

"^V^uO

dz

une intégrale de première espèce. Le polvnome P doit être identiquement nul. En effet, appelons (v' et w" les deux déterminations de Tintégrale aux deux points analytiques superposés (-•, ;/,) et (;, «2)5 if^x et Wo désignant les deux déterminations de u correspondant à une valeur de z\ nous aurons

w = / ^ dz, w =

d'où

div' div" P-f-z/iQ P-^?/,0

dz ~^ dz ~ R ' R

et, par suite,

L'intégrale (v étant de première espèce, toutes ses déterminations w' et w" doivent rester finies, donc aussi la somme (t' -h w" . Or, si P n'est pas identiquement nul, ou bien la fonction ration-

P nelle -^ dépend effectivement de z, et alors elle devient infinie en

un ou plusieurs points où l'intégrale qui donne ^v' -\- w" devient

également infinie^ ou bien ^ est une constante C différente de

zéro, et alors l'intégrale qui donne iv' •+- w" ^ étant égale à 2C(^ — ^o)j devient infinie à l'infini. Pour que tv' H- (v^^ i este finie, il faut donc que P soit nul identiquement. L'intégrale w ne peut être que de la forme

qui peut aussi s'écrire, évidemment, en appelant S le polynôme

Il reste à voir ce que doivent être les poljnômes S et R, supposés débarrassés de leurs facteurs commuus, pour que w soit partout finie.

Tout d'abord l\doil se réduire à une constante. En eflet, si K admettait une racine r^, distincte d'un point de ramification, d'ordre /r, on aurait, au voisinage de z ^=z a.

u\\ ^ {z — aY^ """ ^z — a)'^-^ -^ • . . + -^-3- .- (Ile -i- . . . ,

+ «/i-i lo<^(^ — «)+...,

expression infinie pour z = a. Si R admettait comme racine d'ordre k un point de ramification ei, on aurait, dans le voisinage,

ai

{k--i){z-e,r-^ {k~i){z^^e,)"-^ (z-eo^

expression infinie pour z = e/.

Le poljnome R ne devant admettre aucune racine est une constante , et l'expression de l'intégrale de première espèce devient

Toute intégrale de cette forme est finie en tous les points à du tance Jinie, car, dans le voisinage du point <?/, on a

expression finie pour z ■=. ei.

11 reste à exprimer que w reste finie pour z infini. Appelons s le degré du polynôme S. Pour z infiniment grand, l'élément dif-

l.N TLGIl VLliS UV PI. R ELLIPTIQUES. 63

ferentiel - est, en 3, de l'ordre s ^ -; pour que l'intégrale soit finie, il faut et il suffit que cet ordre soit inférieur à — i, d'où

ï^orsque n est pair, /i ^^ ip -h 2, on a

et, si II est impair, n =^ "ip -^ ] ^

Dans les deux cas, la plus grande valeur de s est p — i ; on pourra donc prendre pour S le polynôme

S = À, ^ X,^ -I- Xgs^^. . .^- X^:;/'-',

avec/? coefficients arbitraires X.), X.o, .... A^, et l'intégrale w ainsi obtenue est l'intégrale la plus générale de première espèce. En posant

^^k = / dz, Â- = 1 , 1, '■, p,

l'intégrale w la plus générale de première espèce pourra s'écrire

(V — Xi (Pi -r- X^tiP'a — ...-;- Xpcr^ -T- const.;

elle est donc une fonction linéaire à coefficients constants de /> intégrales spéciales de première espèce (r,, (Vo, . . . , Wp. Ces intégrales (ï,, (T;,, ..., Wp sont linéairement indépendantes; il est impossible de trouver des coefficients constants G,, Co, •••, C^ tels que l'on ait

Cl wi -i- G2 «^-2 -r- . . . -h Cp H'y, = const. ; en elTet, la différentiation donnerait la relation

G, ^ G.2-3 -^ G3S2 -- . . . -i- Cpzi'-^ = o,

qui ne peut être satisfaite identiquement que si les constantes G|, G2, . . . , Gp sont nulles.

En résumé, le nombre d^ intégrales de première espèce linéairement indépendantes est égal au genre.

Toute intégrale de première espèce est une fonction linéaire à coefficients constants de ces p intégrales particulières.

35. Voici maintenant comment on obtient les intégrales de troisième espèce. Proposons-nous de fortner une intégrale possédant les propriétés suivantes : elle est partout finie sur la surface de Riemann, excepté en deux points analj'tiques donnés, (a', b') et (a, Z>); dans un certain domaine du premier, elle est de

la forme

log(s — a') -+- Oy{z,ii),

et, dans un certain domaine du second, de la forme

— \o^{z — rt) H- ^{z, II) ,

C2, et c? désignant des fonctions régulières respectivement aux points (a', b') et (a, b). Conformément à la convention que nous

avons faite pour les points singuliers logarithmiques (p. 60), il

faudra dans ces deux expressions remplacer (s — a) par (z — Ci)

ou --. ou ( - ) j suivant que le point (a, b) coïncide avec un point

de ramification, un point ordinaire à l'infini, un point de ramification à l'infini; de même pour (z — a') à l'égard du point («', b').

Supposons d'abord ces deux points («', b') et (a, b) à distance finie, l'intégrale

J 'iu\z — a z — a

remplit les conditions de l'éjioncé.

Prenons d'abord pour (a', b') [a, b) des points analytiques distincts des points de ramification. L'élément différentiel devient, à distance finie, infini aux points de ramification, car en ces points u s'annule ; mais en un de ces points et l'élément différentiel devient

infini comme ^ j? et l'intégrale est régulière en ce point.

L'élément différentiel devient encore infini à dislance finie aux