INTÉGRALES H YPERELL I PT I QU ES

deux points (a', b') et («, b)^ chacun de ces infinis étant du premier ordre avec les résidus respectifs 4- i et — i . En effet, la fraction

iii z — a!

reste finie au point {d ^ — 6') dans le domaine duquel elle est régulière, et devient infinie du premier ordre avec un résidu égal à I au point (a', b'). De même la fractioa

est finie au point (a, — 6) et devient infinie du premier ordre au point («, Z>), avec le résidu — i .

L'intégrale a donc bien dans le domaine des deux points ( a', 6'), (a, b) la forme requise. En outre, elle est régulière à l'infini, car on peut l'écrire

J 1 \z — a z — a) J iu\z — a z — a J

et les deux intégrales séparées sont manifestement finies pour c = ao : dans la première, l'élément différentiel est, pour z infini.

/i^tZ^iment petit de l'ordre de (M , et, dans la seconde, il est infiniment petit de l'ordre de

Cette intégrale m remplit donc toutes les conditions demandées. Il est bon de remarquer que, si les deux points (<:/, b'), (a, b) sont superposés, a' =z a, b' =^ — b, et l'intégrale prend la forme

h^dz — au

La même intégrale m continue à remplir les conditions demandées quand l'un des points (a', b'\ (a, b) vient coïncider avec un point de ramification. Supposons, par exemple, a =6/, ^' := o, on a

J 2.U \z — ei z — a /

cette intégrale se comporte aux points de ramification autres que A. ET G. 5

<?/, au point (a, h) et aux points à l'infini, comme l'intégrale étudiée précédemment. Dans le domaine du point ei, on a immédiatement en écrivant

.. r I dz r \ u^b

"' ^ J 1 z—ei J iu z — a

et remarquant que la seconde intégrale est régulière au point <?/, ^^'■^= \o^{z — eiY -i- fonction régulière en e/,

expression qui est bien de la forme demandée.

Si le second point {a, h) coïncide avec un autre point de ramification Cy, on a 6 = o et l'intégrale devient

' J -2 \z — ei z — ejj

pouvant s'écrire, sous forme finie,

^ rnf = log(^— et)'^ — log(^ — ejY + const.,

où les conditions requises sont évidemment remplies.

36. Quand l'un des points (a', b')^ («, h) s'éloigne indéfiniment, l'intégrale formée précédemment devient infinie si /i > o.. On la remplace alors par l'une des intégrales suivantes convenant à toutes les valeurs de n.

Soit d'abord n pair^ n^= ip -^ i. Prenons le point (a, b) au point 00, de Tun des feuillets caractérisé par

lim = v/A

zi'^^

pour ji? = co. L'intégrale

remplit encore les conditions demandées relativement aux deux points {a'jb') et od, . En effet, aux points de ramification et au point (a',b'), elle se comporte comme nous venons de le voir, l^our étudier cette intégrale à l'infini, écrivons-la

J a V^ — a' u / J iu{z — a)