INTÉGRALES II V PE R E LL I PT IQU ES

Maintenant la seconde intégrale est régulière aux deux points éloignés indéfiniment oc, et ooo. Quant à la première, on a dans le domaine du point ce,

z — a' z Z-' z^ >J'kzP I ^1 P2

~ir-~z^'^-~^j^~^-"'

d'où

0)2)'^' = — log - -f- fonction régulière en ocj ;

dans le domaine du point ooo, on a. au contraire,

sfkzp • 2i â! --iT- 'z" z^- z^ ••"

le terme en - disparait dans la combinaison

1 \/\zP

z — a II

et l'intégrale est régulière au point ooo.

Lorsque, n étant pair, les points {a\ b') et (a, b) sont à l'infiui dans des feuillets différents, {a\ b') au point oco pour lequel

lim = — i/A

et (a, b) au point oc, pour lequel

lim — - = -h /a , on a une intégrale remplissant toutes les conditions en prenant

En effet, cette intégrale est finie à distance finie; dans le domaine du point oc,, on a

Il Z Z- ' z'^

d'où

TO*2 = — log - -h fonction régulière.

Dans le domaine du point ccs, on a de même

7îj*f = log - -t- fonction régulière.

/ri -r . est

une intégrale de troisième espèce, attachée à la relation u-^=.\ — z-, avec deux points singuliers logarithmiques à l'infini.

Enfin, supposons n impair et (a, h) placé au point de ramification infiniment éloigné, l'intégrale

TH^'''^' = / -, dz

J 'lu Z — a

remplit encore les conditions requises. Elle se comporte à distance finie comme l'intégrale primitive m^''/" à l'égard du point (a', b'). Écrivons-la

, A, r I 7 r b'dz

TiT«''*'= / — r.dz^ / r-r,

nous voyons que la seconde intégrale est régulière à l'infini et que dans la première on peut faire, pour z très grand,

il z — a') -iz

d'où

^a',b- log ( - ) + fonction régulière.

37. Nous avons ainsi formé une intégrale de troisième espèce pour toutes les positions possibles des points singuliers logarithmiques; l'intégrale de troisième espèce, la plus générale, correspondant à une position déterminée des points singuliers logarithmiques, est égale à l'intégrale que nous avons formée, augmentée d'une intégrale de première espèce

Al Wi -f- X2 W'2 -t- . . . -h X/j Wp,