INTÉGRALES H Y P ERE LL I PTI Q U ES

avec p coefficients arbitraires )h , ^^2, •••7 ^/j- En effet, si deux intégrales de troisième espèce ont les mêmes points singuliers logarithmiques (a', b') et (a, ^), avec les résidus respectifs -f- 1 et — I, leur différence est partout finie; cette différence ne pourrait devenir infinie qu'en un des points {a', b')^ (a, b): dans le domaine du point («, b)^ les deux intégrales sont de la forme

— log(^ — a) -+- fonction régulière au point (a, b);

leur différence est donc évidemment régulière au point (a, b). De même au point (a', b'). Cette différence étant régulière partout est une intégrale de première espèce.

38. On peut former une intégrale unique de troisième espèce qui conserve un sens, quelle que soit la position des points (a', b') et [a, 6), à distance finie ou infinie. Pour cela, désignons par A une constante arbitraire essentiellement différente de a et de a', puis posons

Cette expression, dans le cas où (a', b') et (a, 6) sont à distance finie, ne diffère de l'intégrale

que par une somme d'intégrales de première espèce, car tous les termes, tels que

-^^^ dz (v = o, I, 2 .. .,/> — !,)

sont des intégrales de première espèce. L'intégrale W se réduit d'ailleurs à nj^;^ , si l'on fait ). infini, ce qui est permis quand (a', b') et (a, b) sont à distance finie, car \ est assujetti à la seule condition d'être différent de a et de a' . Mais cette intégrale W possède cet avantage de conserver encore un sens quand l'un ou

l'autre des points singuliers (a', b'), (a, b) ou tous deux s'éloignent à l'infini.

Pour le montrer, écrivons cette intégrale sous la forme plus simple suivante, où nous remplaçons les progressions géométriques

<i' — \ (a' — iy " (a' — l)P a — l ' {a—ly ' * ' {a — l)

par leurs sommes

puis faisons croîtrez indéfiniment, en considérant successivement les deux cas n pair, n impair.

Si n^=^ip -\- 2, faisons coïncider {a^ib) avec le point go, caractérisé par ce fait que

pour a =zca. Le second terme de l'élément différentiel

tend vers v^-^(^ — X)/' et l'on a

expression qui ne diffère de th^;^' que par des intégrales de première espèce.

Si le point {a\b') s'éloigne à l'infini dans l'autre feuillet, de façon à coïncider avec le point 002, on a

lim ~ — - = — /a

INTÉGRALES H YPE R ELL I P T IQ U E S. 7I

et un calcul analogue au précédent donne

expression qui ne diffère de mZ] que par des intégrales de première espèce et qui se réduit à Tn"| pour A = o.

Enfin , supposons n impair et égal à 2/> -^ i , et imaginons que le point (a, b) coïncide avec le point de ramification co. Alors le rap-

port —j^^ tend vers zéro, la quantité

.z — a tend vers zéro, et l'on a

expression qui ne diffère de ru^*' que par des intégrales de première espèce et qui tend vers tu^'^ quand on prend ). infiniment grand.

L'intégrale la plus générale de troisième espèce admettant les points singuliers («, b) et (a', 6') est encore

^'a/ô'' -+- >^1 ^^1 4- X, tV, -I- . . . -i- \p Wp.

39. Voici quelques propriétés des intégrales précédentes. On a

d'après l'expression même de rn etT, car la permutation de {a\ b') et (a, b) change le signe de l'élément différentiel. En particulier, si [a , b')^=[a^b) ^ les intégrales m et W sont identiquement nulles.

Soient u^ et Wo les deux déterminations de u correspondant à une même valeur de z. Les sommes

<:b\z, u,) -f- <'i'' {z, u,), <f{z, iH)-^W-;;t{z,u^)

ont respectivement pour dérivées

iu^\z~a' z-aj ^ 'iu\z-a' T^^)'

2 ai L z — a' z~ a J

ou, en réduisant et tenant compte de la relation u, ~\- u^ =. o,

donc, en intégrant, on a pour les deux sommes une expression de la forme

, z — a Zç. — a

log "L . + const.

40. Il nous reste à étudier les intégrales de deuxième espèce. Nous avons nommé ainsi une intégrale abélienne, finie en tous les points de la surface de Riemann, excepté en un point qui est un pôle de l'intégrale.

1° Le pôle est un point ordinaire. Soit d'abord (ç, t.) un point analytique situé à distance finie et distinct des points de ramification

V-A(^-eO(|-^,)...(^-e„), et -^ la valeur de ~ pour z = l,u = /;,

L'intégrale

Mz, u)

est l'intégrale élémentaire de deuxième espèce, avec le pôle