INTÉGRALES H Y PE RE LL I PT IQ L E S
simple (?, r,), la partie principale de l'intégrale relative à ce pôle
étant
Dans cette intégrale, le numérateur est w + P, , P< désignant le polynôme du premier degré en z
obtenu en prenant les deux premiers termes du développement de u en série par la formule de Tajlor dans le domaine du point (i,r,).
L'intégrale ainsi formée est finie à l'infini, car, pour ^ infiniment grand, l'élément différentiel est, en -, infiniment petit d'un
ordre supérieur à i. A distance finie, l'élément différentiel devient infini aux points de ramification, mais l'intégrale reste finie. Enfin le dénominateur de l'élément différentiel s'annule pour la valeur ^ = ; à laquelle répondent deux valeurs de u^ =b r,, différentes de zéro. Au point (ç, — t,) l'élément différentiel est régulier, car dans le domaine de ce point on a, par la formule de Taylor,
Le numérateur u -+- ?< contient donc (z — ;)- en facteur, et l'élément différentiel est fini au point (?, — r.). Mais dans le domaine du point (?, 7^) on a, par la formule de Taylor,
Écrivons l'élément différentiel comme il suit
l'intégrale devient dans le domaine du point (i,vi), G étant une constante d'intégration,
t(z,u;lr^)= ■ -, +C^ / -^dz;
comme u — P< contient [z — ^)2 en facteur, l'élément
iu{z — ^)
est une fonction régulière au point (ç, -/;), et l'on a, dans le domaine de ce point,
Ç(^,w;^,rJ = ^ -+- fonction régulière.
C'est ce que nous voulions démontrer.
On formera de même une intégrale Ç^^^ (^, u\ \, Yj) finie partout, excepté au point (sTA)? qu'elle admet pour pôle d'ordre (v -h i), la partie principale relative à ce pôle étant
Pour cela, désignons par Pv|i le polynôme de degré (v -H i) en ^ obtenu en prenant les v + 2 premiers termes du développement de u dans le domaine du point (^, 7|), suivant les puissances de
L'intégrale
Ç<v)(., »; ^, , ) = - (V + X) j^''""«^L dz
est l'intégrale demandée. En effet, elle est finie aux points à l'infini et aux points de ramification ; elle est finie au point (?, — Y,), car dans le domaine de ce point on a, parla formule de Tajlor,
de sorte que l'élément différentiel est une fonction régulière au point (^, — -^i). Enfin, pour étudier l'intégrale dans le domaine du point (i,'^), on écrit comme précédemment
dz
(So. «0)
integrales hyperelliptiques.
Puisque, dans le domaine du point (ç, t^), u est développable par Ja série de Taylor, sous la forme
le numérateur de la deuxième intégrale
u — Pv+l
contient {^z — \y^- en facteur, et cette intégrale est régulière au point (5, 't^ : on a dono bien, dans le domaine de ce point,
— rvjTi "^ fonction régulière.
L'intégrale ^^^^ {z, u]'^^ — r^) est de même
lM(z,ii:l-T,) = -(^-\-i)
— Pv
dz.
Il convient de remarquer la formule
, r-^^"' __dz__ i
