Z — ^^+2 (^ MV
On a une formule analogue quand on calcule la somme des valeurs
I que prend une même intégrale de deuxième espèce aux deux F points superposés {z^u^) et (z, u-i)-
En effet, il vient, en tenant compte de la relation Ut -}- z/o = o.
dS dz
const.
4i . Voyons comment il faut modifier les formules précédentes quand le pôle est un point de ramification à distance finie.
Soit Ci un point de ramification à distance finie ; on peut écrire
w = (^ — e/)'^ M/, OÙ
Ui= y/A v/(^ — ei)...(^ — e/i)(z — e^+i ). . .(^ — e„);
Ui est une fonction régulière de z dans le domaine du point e/, et l'on a, dans ce domaine,
Ui = E|)''^ + (^ - e/)E'/' + . . . -u (5 - e,-)^Et'V . . . ,
E[f', . . . , EJ,'^ désignant des constantes.
Lorsque, dans l'intégrale Ç(5, w; ?, Tj), le point (?, ri) devient un point critique (<?/, o), cette intégrale devient infinie. Nous la remplacerons par la suivante :
u;ei)=— / f
intégrale finie partout, excepté au point et. Dans le domaine de ce point, on a
u — {z — eiY Ui^
et l'on peut écrire l'élément différentiel
'xui{z — ei)'^
ou, en ajoutant et retranchant m au numérateur,
L ^ uj-E^^^ .
i{z — eiY 2Ui{z—eiy d'où enfin, dans le domaine de e/,
Comme, dans ce domaine, ut — E[J' contient^ — ei en facteur, d'après le développement écrit pour ut^ cette dernière intégrale est
INTEGRALES H YPE RE LLI PT I Q U ES. 77
régulière au point et, et l'on a, dans le domaine considéré,
^{z, u; et) = j -r- fonction régulière.
On a donc ainsi une intégrale élémentaire de deuxième espèce finie partout, excepté au point et qu'elle admet comme pôle
d'ordre i, avec la partie principale '- ^•
Pour obtenir une intégrale qui devient infinie au seul point et qu'elle admet comme pôle d'ordre 2 avec la partie principale
, on prend simplement
Appelons d'une manière générale
dz
iz,,u,^^-^iy
L^^{z,ii;ei)
une intégrale devenant infinie au seul point e/, avec la partie principale
(z-ei)^
Si V est impair, v = 2 ;jl — i , il suffît de prendre
Si V est pair
on prend
Pji' désignant le polynôme en ^ — ei de degré a, obtenu en prenant les ([J.+ i) premiers termes du développement de ?//, suivant les puissances de :; — e/,
P[;'^ = E\j' -i-iz- et) E'/) -. . .^- (^ - eiy^ Eji'.
yS CHAPITRE II.
L'intégrale ainsi formée est finie partout, excepté au point d.
Dans le domaine de ce point, on a
u =z (z — ei)'^ Ui,
et l'on peut écrire l'élément différentiel, en ajoutant et retranchant ui au numérateur,
2[Jt-4-I Ui — {ui—P^^[^) 2[JL-4-I I (2[^-|- l){Ui — V^^[')
Comme, dans le domaine du point ei, la différence Ui — P^ contient (z — ei)^'^* en facteur, le dernier terme devient au
point Ci infini de l'ordre de ^^ et son intégrale reste finie.
On a donc en intégrant, dans le domaine du point ei,
^'2[J.) (z, u\ei) — — mTi~^ fonction régulière.
{z-eifr-
Si l'on calcule actuellement la somme
aux deux points superposés (^, u^) et (g, u^), on a évidemment, quand v est impair,
V = 2 U. — I , SoM-i = , r- + COnSt. ,
et, quand v est pair,
v='2[Jt, <iS2fx=o, Sâjx = const.
42. Nous avons, dans ce qui précède, supposé le pôle à distance finie : qu'arrive-t-il si le pôle est à V in fini?
Si n est pair, et égal à 2/? + 2, il y a deux points à l'infini oc, etooo, qui se distinguent analjtiquement en ce que, au point oo, , le
rapport — — tend vers une limite y^A et au point ooo vers la limite — y/A.
Formons, par exemple, l'intégrale de deuxième espèce finie par- , tout excepté au point oo, qu'elle admet comme pôle avec la partie
INTEGRALES HYPERELLIPTIQUES. 79
principale ^''+' ; on obtient l'intégrale élémentaire devenant infinie au seul point oc, , avec la partie principale ^, en faisant v = o. Dans le domaine du point oc, , on a
^ ^ /^ ^ Al ^ A2 ^
la fonction r étant régulière aupointcc,. Dansle domaine du point
Xo, on a de même
Appelons Qv+, le polynôme en - de degré v + i obtenu en prenant les v -|- 2 premiers termes du développement ci-dessus de r,
Qv^i = v/A- y-;^!--' — :,^- L'intégrale demandée est
''•"*w:;v i-v+/;+iQ,^^,
^(v)(^, f,:oci) = (v-i-i) / ^^^^-^dz,
où le terme ^^^+^+'Qv4.i est un polynôme en z de degré (v 4-/? + i ). Cette intégrale est finie en tous les points à distance finie. Au point oco elle est encore régulière. En effet, dans le domaine de ce point, on a
l'élément différentiel est donc
Mais le développement de r — Qv+i commence i)ar le terme en— ^; l'élément différentiel est donc au point cco infiniment
petit comme — et l'intégrale est régulière en ce point. Dans le domaine du point oc,, on a
U=iZP^'^V
8o CHAPITRE II.
et l'élément différentiel devient
qii on peut écrire
