IV
Le développement de ^ — Qv+i commençant par le terme en -^-^,
la seconde partie de celte expression esta l'infini de l'ordre de —
et son intégrale est régulière au point oo,. On a donc, dans le domaine de ce point, en multipliant par (v -\- \)dz et intégrant,
X}^\z^u] GOi)= s^+^H- fonction régulière.
En particulier, pour v = o, on a l'intégrale élémentaire
qui devient infinie au seul point oo^ , la partie principale en ce point étant z.
L'intégrale devenant infinie au seul point gco, avec la partie principale 5^+^ est
f "f 1 "^^^dz.
Donc
On trouve de même
^(^^(^,wi ;œi)+^M(^^i^2;=oi)= av+i-h const.
Si 11 est impair et égal à 2/? + i , le point co est un point de ramification. Nous appellerons encore
une intégrale devenant infinie au seul point oc et ayant pour partie
principale en ce point ^ '^ .
INTÉGRALES H Y PE R ELL I PT I Q U E S. 8l
Quand v est impair et égal à 2;ji. — i, on a immédiatement une intégrale remplissant ces conditions en prenant
Si V est pair et égala 2|jl, on procède comme il suit. On a, dans le domaine du point oc,
où V est développable en une série de la forme
Appelons encore (^j^ le polynôme en -
et posons
Cette intégrale est partout finie, excepté au point ce. Dans le domaine de ce point, on peut écrire
et l'élément différentiel devient
Gomme le développement de v — Qj^ suivant les puissances croissantes de \ commence par ( M^ , le développement de
Qtx
commence parle terme en (-V et l'intégrale de la seconde partie est régulière au point z/z. On a donc, dans le domaine du point oc,
Ç(2[Ji) (^z, u\^)= Z 2 -^ fonction régulière.
L'intégrale élémentaire s'obtient en posant jjl = o,
expression qui, dans le domaine du point go, est de la forme
s^ H- fonction régulière.
La somme Sv des valeurs de l'intégrale Ç^^^(^, z/;co) aux deux points superposés ( z, Ux ) et [z^u^) est 2 z^ quand v = 2 pi — i et «lie est nulle quand v =: 2[jl.
43. Les intégrales de deuxième espèce peuvent être déduites de •celles de troisième espèce et de l'intégrale élémentaire de deuxième espèce. Considérons l'intégrale de troisième espèce, dans le cas où les deux points singuliers logarithmiques sont à distance finie,
TH^'^" {z, u)= — , dz.
J^^^^^^^^2u\z — a' z-aj
Lorsque les deux limites (^o? ^^0) et [z, u) sont fixées, ainsi que le chemin d'intégration, Tintégrale est une fonction des deux points analytiques (a', b') et (a, h). Si l'on regarde le point (a'^b') comme fixe, elle est une fonction du point («,^), régulière pour toutes les positions de ce point k disidnice unie non situées su?' le chemin d^ intégration^ car l'élément différentiel est une fonction de (a^b) régulière en tous les points à distance finie, excepté au point a =^ z, b =^ u qui est un point du chemin d'intégration.
Soit (^, -ri) un point ordinaire de la surface de Riemann ; traçons le chemin d'intégration de façon qu'il ne passe pas par ce point. Alors la fonction inj^' du point (<2, b), étant régulière au point (Ç,T,), est, dans un certain domaine 8 de ce point, développable suivant les puissances positives croissantes de (a — ç) parla formule de Taylor. Ce développement a la forme suivante
