INTÉGRALES II Y PE R E LLI PT IQ L ES

les coefficienls ^(r, z/; ;, r»),.. .,^^^^(5^,^; ^,r,) étant les intégrales de deuxième espèce précédemment formées. C'est ce qu'il est facile de vérifier en calculant le coefficient de - — ^— dans le développement ci-dessus. On a

"'" ,1, , nu z — a J, . iu z— a

Or, dans le domaine du point (^, r,), I I t a — \ (a — ?)v

développement obtenu en appliquant à 6 la formule de Tajlor. Dans le produit ; — ^— — , le coefficient de {a — ^Y'^* est donc

c'est-à-dire (p. 74)

Le coefficient de ^ ~ ^ dans le développement de t«5"''/'' est

par suite

/ T ?/ -T- rv + i ,

ce qui est bien ^^''^ {'-^li] ?? '^^i )•

D'après le développement (i), les intégrales Ç(3,w;i,7i),

^'(g,w; ;,r,), ... sont les dérivées successives de cr^;^*' par rapport au paramètre (?, Tj), à des facteurs numériques près :

d'où il résulte aussi

Par conséquent, si l'on donne à ^ un accroissement infiniment petit A, et si l'on appelle k l'accroissement correspondant de yj, on a

Supposons maintenant que dans l'intégrale tij^'I'/' le point (a, h) soit dans le domaine d'un point de ramification ei. La fonction Tïî^;f , de {a^b)^ étant régulière au point <?;, est, dans le domaine de ce point, développable par la formule

(3) <f = </^' -^{a~ei)h{^,u\ei) + ...

procédant suivant les puissances croissantes de (a — e/)^. Dans ce

développement, le coefficient de -^ — ^ — — — est encore l'intégrale

appelée Ç^^^ (5, f^; et).

En efî'et, dans le domaine dn point e/, on a

z — a z — et— {a— Ci) z — ei {z — af (-e,-)"^+i

h={a — ei)^ [E^"^ + E'/) (a — et) + E^'' (a - e/)2 + . . .].

Dans le produit ou — — ; -, calcu-

^ ia z — a 'i{z — a) iiiyz — a)

Ions le coefficient de ^ — — ? en remarquant que le développement de — -— ne contient que des puissances entières de

a — et, et celui de ; seulement des puissances frac-

' lui^z — a) i

tionnaires. D'après cela, si v est impair et égal à 2 p. — i , il n'y a qu'un terme en - — ; — '-^ et son coefficient est

{^z-et)^-

INTÉGRALES H YPE RE LLI PTIQ UES- 85

dans le développement de l'intégrale ^"jf', le coefficient de ^^^^^^ est donc - a f^^'"- ^^^, c'est-à-dire Ç(2l^-^^(^, «,e.).

2JX-t-l

Ensuite, si v est pair et égal à 2 a, le coefficient de — ^ ' ^ — est

■lit \{z~ei)V-^' ' {z~ei)\^ ou, d'après les notations antérieures (p. 77)

'2U (z — ei)V-+^' donc enfin, dans le développement de nsf^l;' , le coefficient de

--e^-^ - est-^^^^ f^ ^^^^, c'est-à-dire La formule (3), difFérentiée par rapport à a, donne

on a donc, en faisant a =ei^h, b = k, h étant suffisamment petit,

formule à rapprocher de (2).

On obtient de même les intégrales U''^{z, 11; ce), relatives aux points àfinfini, comme coefficients du développement de la fonction

du point {a, b), dans le domaine du point x.

Si n est pair et égal à 2/? -h 2, la fonction Tsàe{a,b) est, dans le

domaine d'un des points à l'infini, co^ par exemple, développable en une série procédant suivant les puissances entières décroissantes

de ^/, danslaquellelecoefficientde — - est l'intégrale t!J^^~^^(^,w; oc,).

En effet, dans le domaine du pointooi, on a

Dans l'expression

iu{z — a) 9.{z — a) iu{z — a)'

le développement de est

c'est-à-dire, en posant comme plus haut

'^u -lu ' ' ' ' lit a 111 ' ' ' a"' iu

Dans le développement de l'intégrale t^I'/I,' nous aurons donc un premier groupe de termes

J ^U J lU J '2 11

contenant les puissances positives de a et dont les coefficients sont des intégrales de première espèce, car ^ Q^ , ^2Q ^ ^ , , ^ ^ zP'^Qp^^ sont des polynômes de degrés i , 2, . . ., (/. — i) en ^; puis vient le terme indépendant de a

f^'"U u^b^^zj>q,i^

qui est une intégrale de troisième espèce avec les deux points singuliers logarithmiques {a', b') et 00, ; puis viennent enfin les

INTÉGRALES H Y PE RE LL l PT IQU E S. 87

termes contenant les puissances négatives de a dans lesquels le

coefficient de — -est h,

c'est-à-dire X}'^-^\z^ u\ oc,).

On a donc le développement

nj:;;f = aP Wi -i- a/^-i W2 + . . . -f- a Wp 4- t^t'^';^'

W, , Wo, . . ., W^ désignant des intégrales de première espèce. En différentiant cette relation par rapport à a et remplaçant a, h par ?, Tj, on trouve

développement valable dans le domaine du point oc, . Dans le domaine du point oco, on aura de même

Si n est impair et égal à 2/? + i , l'intégrale

considérée comme fonction du point analytique {ci^h) est, dans

le domaine du point oc, développable en une série de puissances

décroissantes de d' . Les coefficients de cette série sont encore,

partir du terme en (- j , des intégrales de deuxième espèce qui

ont pour pôle unique l'infini. En effet, dans le domaine du point