Prenons maintenant l'équation

où e,, e-i, 63, ^4 désignent quatre constantes différentes et A. une constante différente de zéro. A chaque valeur de z répondent encore deux déterminations z/, et 112 égales et de signes contraires. Posons

z — es= r3(cos63

tsin6i), tsinôj), tsiaôs),

z — ^4 = ^4(00564-1- i sin64).

Si nous figurons les points fixes e,,^2, <^3»^4 elle point z,

Fig. 8.

/•, est la distance <?, z et 0, Fangle de «^, c avec la parallèle e, j:, à l'axe Ox; de même pour /.>, 0^, .... On a

«1 = ^n r.2 /'3 7-4 y/ A f cos ^ -r- i SHi J '

l \/A co>

;i„(«-l^^^rtliZl^„.)]

OÙ y/ A désigne Tune des déterminations de la racine da nombre réel ou imaginaire A. Ces deux déterminations u^ et u^ ne peuvent devenir égales à distance finie que si elles sont nulles, car la somme ffs -h U2 est nulle ; elles ne deviennent donc égales qu'aux quatre points e,, ^2, <?3, C/,.

Lorsque z décrit une courbe fermée entourant un seul des

points

C't , Ui et 11-2 ne font que s'échanger. Pai

exemple, si ^décrit la courbe fermée {^/fg'. 8) G entourant une fois le point <?|, lorsque z est revenu au point de départ, Q, a augmenté ou diminué de 27r, 8^1 ^3, ^4 ont repris leurs valeurs primitives. La valeur w, suivie par continuité s'est donc changée en 11-2 et inversement lu en 11^. Si z décrit une courbe fermée entourant une fois deux des points e^, e^, ^3, ^z,, par exemple C, chacune des deux déterminations Ui et ^^o reprend sa valeur primitive, car deux des arguments 9,, 8^, B^, 84 reprennent la même valeur, chacun des deux autres étant augmenté ou diminué de 211.

En général, si 5 décrit une courbe fermée quelconque, les valeurs de i/\ et (f2 restent les mêmes ou s'échangent entre elles suivant que le nombre total de tours faits par la variable z autour de chacun des points Ci , <?o, r^^, e,, est pair ou impair, c'est-à-dire suivant que la variation de 8, -+- 8;, + 83 + 8., est un multiple pair ou impair de 211.

7. Voici maintenant comment on forme la surface de Riemann correspondante. Prenons deux jîlans séparés P, et P.

ï^ig- 9

CAo-f)) limités Tun cl l'autre par un cercle de rayon très grand R décrit de l'origine des coordonnées comme centre : sur chacun de

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. iJ

ces plans marquons les points ^,, ^o, ^3? ^ij puis enlevons des deux plans les bandes infiniment étroites

eiaié-o^i, CaYi^iOi, eia.e.S,, esT^^^^s

comprises entre les points e^ et ^o d'une part et les points e^ et C't d'autre part. jNous avons ainsi percé dans les deux plans quatre ouvertures de forme linéaire deux à deux égales; nous supposerons que la variable z ne puisse pas franchir ces ouvertures.

Supposons que l'on parte du point Co du plan P, avec une détermination u^^ : comme z ne peut plus passer entre ^i et ^o ni entrées et 64, quelque soit le chemin que suives pour revenir au point de départ, on obtiendra toujours la même détermination finale de a, car toutes les courbes fermées tracées sur Pj entourent nécessairement un nombre pair de points (?i, e.i, <?3, e-,. Plus généralement, quel que soit le chemin que suive z pour aller, sur P,, du point :^o à un autre point z, la détermination finale lit est toujours la même. Ainsi les deux chemins G et C conduisent en z à la même détermination de u. En effet, soit iii la détermination obtenue en z par le chemin G ; pour trouver la valeur que prend u au même point quand z parcourt le chemin G', on peut faire décrire à z la courbe fermée ^^o^'^G^o suivie du chemin :?oC:?, car cela revient à ajouter au chemin G' le même chemin zCzq parcouru deux fois de suite en sens contraire ; la courbe fermée ^oG'^G^o ramène en ^0 1^ détermination u J, puis le chemin zCzq donne en z la détermination ?/, : donc le chemin G' donne la même détermination u^ en z que le chemin G.

Gette détermination ?/, est une fonction uniforme de :; sur le plan P, avec les deux ouvertures Cj^o et 63^4. On peut remarquer qu'aux deux bords opposés de l'une des ouvertures les valeurs de iii sont égales et de signes contraires. En effet, soit Ut (a,) la valeur de W| en a, ; si la variable z pouvait parcourir à partir de oLi le chemin a, DD'a, entourant une fois le point ^i, la valeur initiale de u étant w,(a,), la valeur finale au point a, serait — M, (a, ); mais la variable z ne peut pas revenir jusqu'en a, : elle s'arrête sur le bord de l'ouverture ei<?2 au point p^ situé en face de a, . Getteouvertureei Co étant infiniment étroite, la valeur z/, (^t) trouvée en ^j diffère infiniment peu de celle qu'on trouverait en

a, si l'on achevait le tour : on a donc

wid^i) = — wi(a, ).

De même, sur le plan Po, la détermination u.,^ obtenue en un point de ce plan en prenant pour valeur initiale de u en z■^^ Vautre détermination ul^ est une fonction uniforme de z quand on a pratiqué dans le plan Po les deux ouvertures e^e^iC^e', égales à celles du plan P,. La valeur de 11-2 en un point z quelconque de Po est égale à la valeur de u^ au même points de P, changée de signe. On a en particulier aux points a^ et a^, ^\ et ^j-^

et comme

ou a

Supposons, comme dans l'exemple précédent, que l'on ait inscrit en chaque point z du plan V^ la détermination correspondante de u^ et en chaque point de Po la détermination correspondante de 11-2' L'ensemble de ces deux plans formera le tableau complet des valeurs de u^ chacune n'étant inscrite qu'une fois. Nous j30uvons réunir ces deux plans en une surface unique par le procédé suivant, identique à celui qui a déjà été employé dans l'exemple n*' 1.

Plaçons le plan V^ au-dessus de Po de façon à faire coïncider les points ^<, Co, ^3, Cj de l'un avec les mêmes points de l'autre. Soudons, par une petite bande de surface, le bord e^ a, <?o de l'ouverture Cl Co du plan V^ au bord opposé e,, ^oPo de l'ouverture <?, e^ du plan Po; et, inversement, soudons par une petite bande de surface le bord e^ p, Co de l'ouverture du plan P< au bord oppose'' e,ao Co de la même ouverture de Po. Ces deuxbandes se croiseront suivant une ligne allant de e, en eo, la ligne Ljo qui sera une ligne de passage pour passer d'un plan à l'autre. Nous ferons la même opération pour souder les deux bords de l'ouverture e^e,, du plan P< aux bords opposés de la même ouverture du plan P2, à l'aide de deux petites bandes de surface qui se traverseront suivant une ligne de passage Lg^.

Nous obtenons ainsi une surface unique formée de deux feuillets superposés et soudés comme nous venons de le dire.

Cette surface est analogue à celle qui est représentée pai- \di Jîg. 10, avec cette différence que, dans la réalité, les deux feuillets sont infiniment rapprochés et les ouvertures infiniment

Fie. 10.

étroites. On a figuré la surface telle que la verrait un observateur debout sur le feuillet supérieur. Les droites joignant les points correspondants des deux plans parallèles P, et Po sont supposées perpendiculaires à ces plans, par exemple ^i^,, e2(^2cette dernière seule est tracée.

et la droite zii

A chaque point de cette surface de Riemann correspond une valeur de u (celle qui est inscrite en ce point) et réciproquement. En appelant point analytique {z^ii) l'ensemble formé par une valeur de z et Vune des déterminations de w, on peut dire qu'à chaque point de la surface correspond un point analytique [z, u) et un seul. Quand le point z se déplace d'une manière continue sur la surface, la valeur correspondante de u varie d'une manière continue.

On a représenté la courbe suivie par le point de la surface de Riemann ou point analytique, quand z tourne autour du point ^3^ on part du point (3, w,) du feuillet supérieur, puis z décrivant la courbe C, arrive en y, sur le bord de l'ouverture e^e-^) le point

analytique descend alors par la bande qui joint le bord y< de ^4 e^. au bord opposé Oo de l'ouverture e^d, du plan inférieur et arrive en 02, d'où il suit enfin une courbe Co qui l'amène au point (s, u>^ placé au-dessous du point de départ (2, w<).

On a figuré également le chemin suivi par le point analytique pour remonter de (^, ^^2) en (5, w<) quand z tourne autour de ^o- Les quatre points <?<, ^o, ^3? ^\ sont les points de ramification de la surface. Les lignes de passage sont représentées en L,2 et L34; les deux nappes qui se traversent suivant ces lignes sont regardées comme absolument indépendantes l'une de l'autre. Une courbe qui part d'un point de la ligne de passage et aboutit en ce même point n'est considérée comme fermée que si son premier et son dernier élément sont dans la même nappe. C'est ce que nous avons expliqué en détail à propos de l'exemple L

wSi l'on convient de représenter la surface de Riemann par sa projection sur le plan P2, telle que la verrait un observateur placé très loin au-dessus de Pi, on obtient la figure ci-dessous {fig- 1 1),

Fig.

où sont représentés les quatre points de ramification et les deux lignes de passage. Les chemins situés sur le feuillet supérieur sont en traits pleins, les chemins situés sur le feuillet inférieur sont ponctués. C'est ainsi que les deux chemins figurés dans la fig. 10 sont représentés sur cette nouvelle figure. On a figuré aussi une courbe C partant d'un point (:;', u\) du feuillet supérieur et revenant à ce point après avoir tourné plusieurs fois autour des points e^^e!,\ on remarquera que chaque fois qu'on traverse une ligne de passage on change de feuillet : deux lignes qui se croisent sur la figure ne se rencontrent que si elles sont

tracées près du point de croisement toutes deux en traits pleins ou toutes deux en pointillé, car autrement elles se trouvent dans des feuillets dififérenls.

Point X. — Faisons 3 = - j nous aurons

y/A -j- \A • ~ fi;')n — e-iz' ){\ — c-iz' )\\ — <^-',) — ^t; ^C-^')-

Dans le voisinage de ^'=0, le radical qui figure dans celte formule a deux déterminations qui sont l'une et l'autre régulières, c'est-à-dire développables en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières de z' . Par exemple, celle des déterminations du radical qui se réduit à -f-y^A- pour z'^=o est donnée par une série de la forme

o(z')=v/Â [i — { {e^-\- Ci-r- e-i^ e-^) z' -^ X.z'-^ ^ \iz'^ -^ . . .\;

l'autre est donnée par la série — 'f (^')- On a donc pour «, dans le voisinage de c'=o, les deux déterminations

oiz') o{z')

uniformes toutes deux ; en outre le point c'= o est un pôle de second ordre pour chacune d'elles. On peut donc dire que les deux déterminations de u sont uniformes dans le voisinage du point x qui est un pôle du second ordre pour chacune d'elles : d'après la convention spéciale faite pour le résidu au point oc (voir Introduction), le résidu relatif au point x est — A3 pour la première déterminalion et -h A3 pour la seconde.

Les deux feuillets de la surface de Riemann sont donc entièrement distincts à l'infini, car on ne passe pas d'un feuilleta l'autre en tournant autour du point c'= o. Le point x n'est pas un point de ramification de la surface : ce point est, dans chaque feuillet, un pôle du second ordre de la fonction u.

8. Si nous représentons la surface de Hiemann sur la sphère (^g. 12), comme nous l'avons fait dans le premier exemple, nous aurons, sur la sphère, une surface formée de deux feuillets super-

l8 CHAPITRE I.

posés avec quatre points de ramification s,, s^, ^3, ^o images des points e<, <?2, ^3, <?/,, etdeuxlignes de passages A,2 etAj... On a tracé sur la sphère les chemins correspondants à ceux de \^ fig- ii, dont ils sont les images sphériques.

Fig. 12.