INTÉGRALES H YPE RE LL I PT I QUE S

de trouver,

(x = 2 aa2

En différentiant par rapport à <2 et remplaçant «, ^ par ;, r,, on obtient le développement

alable dans le domaine du point ce.

44. Étant donnée une intégrale hyperelliptique quelconque, on peut l'exprimer à l'aide d'intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce.

Soit

une intégrale abélienne, p désignant une fonction rationnelle de z et u. Comme nous l'avons vu, cette intégrale est régulière en tous les points où elle reste finie. Les points où elle devient infinie sont de deux sortes, des pôles ou des points singuliers logarithmiques.

Supposons qu'il j ait q points singuliers logarithmiques (a,, ,3, ), (ao, j3o), ..., {oLç, Pq)\ dans le domaine du point (a^, ^a), on a

I = Rk log(z — %,,)-h Of,{z, m),

c3a(z, u) désignant une fonction uniforme dans le domaine du point (a/t, j^a), pouvant admettre ce point comme pôle. D'après

les conventions antérieurement faites, il faut remplacer ^ — a/^

par (-3 — e/)" quand le point (a^, J^/f) est un point de ramification eij par - quand (a/j, j^y^) est un point ordinaire à l'infini et

go CHAPITRE II.

par I - j quand il est \\n point de ramification à l'infini. Le coefficient R/( est le résidu de v relatif au point (ay^, [3yt).

On sait que la somme de tous les résidus d'une fonction rationnelle V de z el u est nulle. Donc

Bl-+- R2 4-. . .+ Ry = o.

Considérons alors l'intégrale

. dz - R, Ti.^;$;(^, u)- R2<;'|;(^, ^)-. . .- r,, r^i^-^

l-Oi "0)

-fV'

obtenue en retranchant de 1 certaines intégrales de troisième espèce multipliées par R, , R2, . . . , R^i .

Cette nouvelle intégrale ahélienne J n'a plus de points singuliers logarithmiques. En eff'et, dans le domaine du point (a< , (3<), on a

V dz = Kl log(2 — ai)H- 0]{z, u),

donc

^a'}i ~ log(-^~ ai)H- fonction régulière;

V dz — Kl w^"L' = ^1(^5 w)+ fonction régulière

(Zû> «0) ^ '

puisque les autres intégrales de troisième espèce retranchées sont régulières au point (a,, p,), la différence est uniforme dans le domaine du point (a,, p<) comme la fonction cp, (5, u) et peut admettre ce point pour pôle, la partie principale étant la même que celle de çp,(^, u).

On voit de même que J n'a plus aucun des points singuliers logarithmiques (as, ^2), • • • , (a^, , P^0- Q^ant au dernier (a^, p^), il disparaît également, car, dans le domaine de ce point, on a

J = R^log(5 — a^)+cp^(^, u)

+ (Ri+ R2 + . .+ R^y i)log(5 ~ a^)4- fonction régulière,

et comme

Ri + R2 + .. .-+- R^ = o,

ie terme logarithmique disparaît encore. La proposition est donc établie.

INTÉGRALES H Y P E R E L L I P T IQUE S. Qï

L'intégrale J, qui n'a plus de points singuliers logarithmiques, peut avoir encore des pôles. Nous allons faire disparaître ces pôles en retranchant de J des intégrales de deuxième espèce. Supposons que dans le domaine d'un pôle (a, b) d'ordre v, on ait

At A2 Av /•.•'!•«

J = ! 1 h. . .H- !- fonction resruliere,

z-a (2 — a)2 {z — ay

où il faut remplacer z — a par [z — ei)- ou - ? ou ( 3 ) > suivant

que a coïncide avec un point de ramification, un point ordinaire à l'infini, ou un point de ramification à l'infini. Dans ces conditions, la difTérence

J — Ai^(2, w; a,b)~P^,'Ç{z,u\ a,b) — .. .— kyV-''~'^\z, u\a,b) est régulière au point ( <7, ^), car, dans le domaine de ce point, on a Ç (z, w; a, 6) = 2 ^~ fonction régulière,

C(-5, «; a, b) = — 4- fonction régulière,

V"^~'^Uz, u: a, b)= h fonction réf^ulière.

^ ^ {^z — af^

D'ailleurs, comme les fonctions Ç, Ç', ... sont régulières partout, excepté au point {a, b), la différence ci-dessus a les mêmes pôles que J, moins le pôle (a, b). On a donc extrait, pour ainsi dire, le pôle (a, b).

En opérant de même pour tous les pôles, et retranchant de J des sommes d'intégrales de deuxième espèce correspondant à tous les pâles de J, on obtiendra finalement une expression,

H = J - :S[Air(2, a; «, b) -+- A,r(-, u: a, b) -r- .. .-i- Ay^^''-'^\z, ir.a, b)\

(où le signe S s'étend à tous les pôles), n'ayant plus de pôle, c'est-à-dire partout régulière. Cette expression H est d'ailleurs une intégrale abélienne, car c'est une somme d'intégrales abéliennes : comme elle est partout régulière, c'est une intégrale de première espèce, c'est-à-dire une expression de la forme

H = Xi M^i -h )v2 «^2 H- . . . -i- Xp Wp -T- const.

Remplaçant H par cette valeur et J par son expression, on obtient enfin pour l'intégrale abélienne I l'expression

i> dz = > Ryî: HT

,ait'Pfc

H- Xi MP-i + X2 W2 "*-•••+ ^/> w^P + const.

Toute intégrale abélienne peut donc être mise sous la forme d'une somme d'intégrales de première, deuxième et troisième espèce.

On remarquera que les coefficients R^et A/ sont connus immédiatement, si l'on connaît les points singuliers de l'intégrale et les parties principales. Il n'en est pas de même des coefficients Al , À2, • • • 5 AjE,.

45. Une première application importante de cette formule est la représentation dhine fonction rationnelle v de z et u par une somme d^ intégrales de première et de deuxième espèce; ou, en d'autres termes, la décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle de z et u.

Une fonction rationnelle p de -3 et w est une intégrale abélienne

-J- étant une fonction rationnelle de z et u. dz

Comme v n'a pas de points singuliers logarithmiques, la formule

générale ci-dessus appliquée à (^ ne contient pas d'intégrales de

troisième espèce et donne la formule

V = 2[Ai^(s, u: a, b) -f- A2C(5, u\ «, b) +• • •+ Av^^^-i^^, u\ a, 6)] + Xi p^i + X2 «^2 H- • • • H- ^/j Wp + const. ,

le signe S indiquant une sommation étendue à tous les pôles de r. Les coefficients A,, A2, ..., Av sont les coefficients de la partie principale de v dans le domaine du pôle (<:/, ^),

A, A, Av

a)2 ' "* i^z — ay

fonction régulière.

INTÉGRALES II Y PE R E LLl PT I Q U E S. 98

Cette formule est d'une haute importance; elle donne la fonction rationnelle v sous une forme mettant en évidence les pôles et les parties principales correspondantes de cette fonction. Elle est analogue à la formule de décomposition d'une fraction rationnelle de z en fractions simples, à laquelle elle se réduit d'ailleurs quand n ^= i ou 2, c'est-à-dire quand la courbe

ii^' = \(z — ei)(z — e2)...{z — en)

est unicursale (p = o). On appelle cette formule formule de décomposition en éléments simples : les éléments simples sont les intégrales de deuxième espèce Ç^^^(:î, u ; a, h).