Donnons un exemple de cette formule. Soit

(?, Ti) étant un point fixe, à distance finie, distinct d'un point de ramification. Cette fonction v n'a que des pôles du premier ordre qui sont :

I** Les points de ramification à distance finie, car u s'annule en ces points;

2° Le point (^, r,).

Dans le domaine d'un point de ramification et, on a. en adoptant les notations antérieures,

u = {z- eiY Ui = (z- e,p [EJ,'' + E(/'(^ - e,)-. • •],

EJ étant différent de zéro. D'après cela, dans le domaine du point <?/, la fonction ç est de la forme

-,s77i ^ r -+- ionction régulière,

où le coefficient de P est la constante — rV-. ^.

Dans le domaine du point (;, r,), on a

par suite

V = ç -\- fonction i

La formule de décomposition en éléments simples est donc

où il ne reste "plus à déterminer que les coefficients des intégrales de première espèce >., , Ao, •••, '^'p- Nous allons montrer que ces coefficients sont jiuls et vérifier en même temps la formule. En effet, en remplaçant les intégrales Ç par leurs expressions et X, , ).2, • • • 7 ^^/> P^r zéro, on a à vérifier la formule

y ?^ + '^i -^ (- — 0 -TF

•lu z — \ J(z,,u,) iu{z — :^f

Or cette formule résulte immédiatement de ce que la dérivée du premier membre, par rapport à z, est nulle. En eflet, cette dérivée est, après des réductions évidentes.

T df]

I 1 du

Z-l II dz

{^ — ei)(z — e

expression identiquement nulle, comme on le voit en décomposant en fractions simples la fraction rationnelle en z

I I du z — ^ u dz c'est-à-dire

INTÉGRALES II YP E R EL L i P T IQ U E S. qS

et remarquant que le résidu de cette fraction rationnelle au pôle

z = q est

I / I I 1 \ i chi

'ou encore - -j^

Gomme toutes les intégrales s'annulent quand (c, u) coïncide avec la limite inférieure (^oj "0)5 la constante G, qui figure dans la formule (A), a pour valeur

G = -L ^^izt^' .

iuq ^0 — ;

En écrivant la formule ainsi obtenue sous la forme

on arrive à cette conséquence remarquable que ^intégrale élémentaire de deuxième espèce est une fonction rationnelle du paramètre (i, r,).

47. Voici une deuxième application de cette même formule de décomposition en éléments simples.

Quand nous avons défini le genre de la relation entre u et ^, nous avons, entre autres, établi le résultat suivant. Pour une relation de genre/?, il existe une fonction (^rationnelle en z et u^ admettant pour pôles simples (/>-!- i) points analytic/ues arbitraires (a,, 3,), (ao, j'jo), (^'-/j+i, ?/;+i); soient

z — OL^' z — OL.y' Z Xp+i

les parties principales de ^' relatives à ces différents points. La formule de décomposition en éléments simples donne

V — Al l{z, u; oci, ^1) -+- X2^[z, u; ao, ^2) -t-- • •

4- A/;+i ^j, U] oLp^i, ^p+i) -i- Xi Wi -^ l,w,~...— IpWp -i- const.

Gette formule montre que l'intégrale élémentaire v(:?, ?/; a,, 3,), avec un pôle arbitraire (a,, [^,), peut toujours s'exprimer linéairement à l'aide d'une fonction rationnelle r, d'intégrales de première

espèce et de p intégrales de deuxième espèce, ayant pour pôles des points donnés arbitrairement (as, ^o), •-•, (^p+n P/j+i)- ^e même raisonnement s'applique d'ailleurs à une intégrale quelconque î^^'^^ de seconde espèce.

48. La décomposition d'une intégrale lijperelliptique en intégrales des trois espèces fournit aussi Vexpression d\ine fonction rationnelle v de z et u à V aide d^ intégrales de première et de troisième espèce.

Appelons Vq la valeur de v au point (sq^ ^^o), on a

dv , — dz.

L'intégrale figurant dans cette formule est une intégrale abélienne : on peut donc lui appliquer ce que nous avons dit de l'expression générale d'une intégrale abélienne par une somme d'intégrales de première, deuxième et troisième espèce. Actuellement cette expression ne contiendra pas d'intégrales de deuxième espèce. On reconnaît facilement que tous les points oii l'intégrale devient infinie sont des points singuliers logarithmiques : aucun d'eux n'est un pôle. L'intégrale considérée est donc une somme d'intégrales de première et de troisième espèce. Formons cette somme : supposons d'abord que la fonction (^ n'ait que des zéros et des pôles simples; soient

(«1,^1), («2,^2), •••, (a^, è^) les zéros, («1, Pi), (a,, P2), •■•, (ocr/, ^q) les infinis,

qui sont en même nombre que les zéros. Dans le domaine du point [a^ , &^ ), on a

t^ = (-5 — <^i) [Ao-f- Ai(^ — ai) + A2(z — «1)24-. . .],

où Ao est différent de zéro, z — a^ devant être remplacé par V-^ — Gi si (a^^ bi) est un point de ramification <?/, par - si ce point

est un point ordinaire à l'infini, et par ( - j si c'est un point de ramification à l'infini. Par conséquent, l'expression de l'intégrale.

INTÉGRALES IIYPERELLIPTIQUES. 97

dans le domaine de ce point, est donnée par la relation log— =log(j — «1)+ fonction régulière.

Dans le domaine du point (a,, |3<), qui est un infini simple, on a de même

[Bo-l-B,(..-aO--...],

loii — = — log(:3 — 3:1) H- fonction régulière.

La conclusion s'applique à tous les autres points, zéros ou infinis. La différence

est donc partout régulière et, comme c'est une intégrale abélienne, c'est une intégrale de première espèce

Xttvi-i- }.2«'2-+-. • .+ )^/>«>-T- const. On a enfin

^'^^ r ^ ^ ^av' ,3v"^ ^^1 *'^i + X2 ^2 + . . • 4- Ip IV p -f- const.,

(5) v = kç,e ■ ' "-^^ '"-'^'- V?v,

A- désignant un facteur constant.

La fonction ç est ainsi exprimée, à l'aide d'intégrales de première et de troisième espèce, par une formule mettant en évidence les zéros et les infinis de la fonction rationnelle r.

Elle est analogue à la formule qui donne une fonction rationnelle de z sous la forme du quotient de deux polynômes décomposés en facteurs du premier degré. Elle se réduit d'ailleurs exactement à cette formule élémentaire, quand on suppose que la relation

u^ = >l{z — ei){z — e.) . . .{z ~ en) se réduit à

ce qu'on peut réaliser en supposant que /i = i, que A tende ver:

gS CHAPITRE II. — INTÉGRALES II V PERE LLIPT I Q U ES.

zéro et que et augmente indéfmiment, de telle façon qucAci tende \ers — I .

En effet, en supposant u = \, rintégrale de troisième espèce

devient

s — a, Zftdz — loî

^ — ai <Zo— <^i

car u = bi=^ Pi= i. U n'existe pas, dans ce cas, d'intégrales de première espèce, car il n'y a pas d'intégrale de fonction rationnelle de z qui puisse rester partout finie; on a donc

. (^ — «i)(^ — a,)- • •(- — «7) V = fonction rationnelle de z = /cvq — ■ ?

{z — cci) {z — a.J . . . (z — a^ )

ce qui est bien la formule élémentaire.

JNous avons stipposé, pour établir la formule générale, que tous les zéros et les infinis étaient simples. Si le zéro («i,^t) était d'ordre m, il suffirait dans la formule de supposer (^a.,^ ^2)5 • • •? (<^/«, àm) identiques à {a^yb^)', si le pôle (a^, p^) était d'ordre [i., il suffirait également de supposer (ao, JB2), ..-, (ocu,, [^(j,) identiques à (a.), [^1 ).

La formule (5) est donc générale, pourvu qu'on répète dans cette formule chaque zéro et chaque infini autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. PÉRIODICITÉ: DES INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES (i).

Connexion des surfaces de Riemann à deux feuillets. — Coupures. — Théorème de Cauchy sur une surface de Riemann.— Modules de périodicité des intégrales hyperelliptiques. — Relations entre ces modules. — Intégrales normales de première, deuxième et troisième espèce. — Modules de périodicité des intégrales normales.

49. Dans ce qui suit, nous considérons les surfaces comme des feuillets sans épaisseur, de sorte qu'un point ou une ligne tracée sur la surface seront visibles pour un observateur placé d'un côté ou de l'autre. Les surfaces seront en outre regardées coinme parfaitement élastiques et indéchirables.

Une surface est dite connexe lorsque, ajant pris sur cette surface deux points quelconques, on peut les joindre par un trait continu situé tout entier sur la surface. Nous ne considérerons que des surfaces connexes.

Une surface est fermée quand elle n'a pas de bords : tels sont la sphère, le tore, un plan indéfini, une des surfaces de Riemann précédemment étudiées, plane ou sphérique. Une surface est ouverte quand elle a des bords : par exemple, un cercle, une calotte sphérique, une sphère avec des trous, etc. Les bords d'une surface ouverte peuvent être constitués par une seule ligne continue ou par plusieurs lignes continues distinctes. Ainsi le bord d'une calotte sphérique est formé d'une circonférence unique, c'està-dire d'une ligne continue ; les bords d'une sphère percée de

(') Ouvrages à consulter : Riemann, Théorie der Abelschen Functionen. — Neu- MANN, Vorlesungen uber Riemann's Théorie der Abelschen Intégrale. — Simart, Thèse de Doctorat, 1882.

trois trous ne se touchant pas sont formés de trois courbes fermées distinctes. Si, dans un feuillet circulaire, on fait un trou ne touchant pas la circonférence, on obtient une surface connexe kfiS' ^9) dont les bords sont constitués par deux lignes fermées, la circonférence du cercle et le contour du trou.

Fi!

Nous 11' envisagerons que des surfaces avec des bords : si l'on a une surface fermée, on commencera par lui donner un bord en y faisant une petite ouverture, par exemple une fente avec des ciseaux; les deux bords de cette fente formeront une ligne continue constituant la limite ou le bord de la surface.

50. On nomme coupure une section faite avec des ciseaux dans la surface, partant d'un point d'un bord et venant aboutir en un point d'un bord. Cette coupure a deux bords. Ainsi l'on part d'un point A du bord CD {fig. 20), on coupe dans la surface

Fis:, ^o.

avec des ciseaux suivant AB jusqu'en un point B de l'intérieur; on a ainsi, non une coupure, mais un commencement de coupure avec deux bords infiniment voisins qui peuvent se séparer jusqu'en B. A ce moment l'ancien bord de la surface qui était continu de C en D se trouve remplacé par la nouvelle ligne continue

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. lOI

GaB|3D. Continuons à couper avec les ciseaux plus loin que B; la coupure sera terminée quand nous serons arrivés en un point d'un bord, que ce soit un point des bords primitifs ou un point des bords nouveaux déterminés par le passage des ciseaux.

Ainsi, en prenant un feuillet circulaire percé d'un trou {^fig- 19), on a une surface avec des bords formés de deux courbes distinctes P et P^ Partons d'un point A ou A' du bord P, nous pourrons ^fig' 21) tracer une coupure ACB ou une coupure ADE

Fi£f. 21.

aboutissant en un autre point d'un bord; nous pourrons aussi tracer une coupure telle que A^FGH ou A'KLM venant se terminer sur elle-même, c'est-à-dire sur un bord créé par le passage des ciseaux.

Voici les effets produits par ces coupures : les coupures ACB, A'FGH, A'KLM découpent chacune le feuillet en deux morceaux distincts : de sorte que, une de ces coupures étant effectuée, le feuillet n'est plus connexe. L'effet de la coupure ADE est tout différent. La surface est encore connexe après cette coupure, mais sa limite, qui était formée de deux courbes distinctes PetP', est maintenant formée d'une seule courbe continue qu'on peut parcourir complètement d'un seul trait. Dans ce parcours, que nous supposons effectué dans le sens positif, les deux bords de la coupure sont parcourus en sens contraire, comme le montrent les flèches indiquant le sens du parcours. Pour suivre ce parcours, il faut imaginer que la coupure ADE existe seule et que la coupure A'KLM n'est pas tracée (voiry^o^. 3o).

Nous verrons plus loin un grand nombre d'exemples de coupures : on remarquera que nous n'aurons jamais à tracer de cou-

pures décomposant la surface en morceaux séparés, c'est-à-dire détruisant la connexion.

51. La connexion d'une surface peut être plus ou moins compliquée : on dit que la surface est à connexion simple ou encore €st simplement connexe quand on peut, en déformant cette surface, supposée parfaitement élastique et indéchirable, la réduire à un feuillet plan limité par un contour simple ne se coupant pas lui-même, par exemple à un feuillet rectangulaire, circulaire ou elliptique. La nature de la courbe limitant le feuillet plan final n'a aucune importance : l'essentiel est que cette courbe soit continue et ne se coupe pas elle-même.

D'après cette définition, les bords d'une surface quelconque simplement connexe se composent nécessairement d'une seule ligne continue ne se coupant pas, puisque, après la déformation, les bords de la surface deviennent le contour simple du feuillet plan. Citons d'abord quelques exemples de surfaces simplement connexes.

1° Une calotte sphérique. Cette surface peut évidemment être déformée de façon à devenir un feuillet circulaire, la circonférence de base de la calotte devenant la circonférence du feuillet circulaire.

i"^ Un ruban rectangulaire allongé se traversant lui-même autant de fois qu'on le veut, à la manière des deux feuillets <Vune surface de Riemann {fig- 22). On suppose, bien entendu.

■comme pour les deux feuillets d'une surface de Riemann se croisant en une ligne de passage, que les difi'érentes parties du ruban se traversent librement et que le long d'une ligne de passage, telle <[ue ^1^2, les deux nappes qui se croisent, et par conséquent les bords du ruban, n'ont aucun point commun. Le ruban peut alors

s'étaler sur un plan et donner un rectangle : il constitue une surface simplement connexe.

S*" Domaine d'un point de ramification de la surface de Riemann à deux feuillets. Ce domaine a été représenté précédemment {fig- 17) : on peut vérifier aisément qu'on peut, par déformation continue et sans déchirure, l'appliquer sur une portion de plan à contour simple. 11 suffît de relever les bords du plan P| en pliant ce plan suivant une droite OA partant de O pour placer ces bords relevés dans le prolongement des surfaces de raccord des deux feuillets : on obtient ainsi la figure suivante 23 a; ensuite, on opère de même pour le plan inférieur Po, ce qui donne lâfig. iZ h.

Fiff. 23.

On a ainsi comme les deux pages d'un livre se traversant suivant la ligne L. Comme, par convention, ces deux pages n'ont aucun point commun sur L, on peut les ouvrir sans les déchirer; les deux feuillets se traversent librement et Ton a finalement la figure plane 28 c, limitée par un contour simple ne se coupant pas.

4° Soient deux sphères extérieures l'une à Vautre, reliées par un cylindre (haltère). La surface de ce solide est fermée : si l'on y pratique une fente y, on a une surface ouverte dont le bord est formé par le contour de la fente {fig- 24 a). Cette surface est

Fis.

simplement connexe. On peut, par déformation continue, la réduire à un ellipsoïde avec un trou {fig- 24 b)\ puis, en écartant

les bords du trou, à une sorte de calotte sphérique, et finalement à une aire plane à contour simple.

5^ Si l'on prend deux sphères dont Vune est intérieure à l'autre, j-éunies par un cylindre, on a une surface fermée, qui, après le tracé d'une fente /, devient simplement connexe {fig. 20 a). La fente étant supposée tracée dans la sphère inté-

rieure, on peut, par déformation continue, retourner cette sphère à travers le canal cylindrique/?^ comme on retourne un doigt de gant {/ig. 25 b) : on est alors ramené au cas précédent.

6° Surfaces de Riemcuin à deux feuillets avec deux points de ramification. Cet exemple est presque identique au précédent. Prenons les surfaces de Riemann sphériques à deux points de ramification considérées au début du Chapitre I. Elles sont formées par deux feuillets sphériques intérieurs l'un à l'autre réunis le long d'une ligne ^i (?2, comme il a été expliqué {fig. 26 a):

(cuj

on a figuré des chemins conduisant de la sphère extérieure à l'autre, à travers celte ligne e^ e^ : le long de cette ligne la surface de la sphère extérieure se prolonge par celle de la sphère intérieure, comme les deux nappes d'un ruban qui se croise lui-

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. Io5

même {fig- 22). Partout ailleurs que sur la ligne <?, e-y les sphères sont indépendantes. On voit l'analogie avec l'exemple précédent : le mode seul de réunion des deux sphères est changé; le raccord par un cylindre se trouve remplacé par le raccord à travers la ligne de passage e^e-2' Faisons une fente infiniment étroite dans la sphère intérieure pour donner des bords à la surface. Cette fente a une longueur arbitraire : pour simplifier, traçons-la suivant une ligne voisine du grand cercle allant de <?, à ^o- Les deux bords de cette fente que nous écartons dans la Jig. 16b sont e^7.e> et e, ^eo.

La portion de sphère intérieure S,, située à gauche de la fente, peut, par déformation continue, être retirée vers la droite à travers la ligne de passage comme un ruban et être amenée en S\ : la portion de sphère So peut de même être retirée vers la gauche à travers la ligne de passage et être amenée en S'^. Cette opération serait analogue à celle qui consisterait à retirer dans la fig. 11 les deux portions de ruban S, et So à travers la ligne de passage 6^62- Après cette opération, l'ensemble des deux sphères sera transformé en la surface de la fig. 26 c, où Ton a un peu écarté les deux parties S', et S!,. C'est une surface simplement connexe. On peut, par déformation continue, l'amener à la forme d'une sphère avec un trou, puis l'appliquer sur un feuillet simple. Ainsi la surface de Riemann à deux feuillets et deux points de ramification, percée d'une fente, est simplement connexe.

Nous avons dans ce qui précède, pour être plus clair, supposé la sphère intérieure fendue du point e, au point e^. Mais cela

Fig. 27.

n'est pas nécessaire. Si l'on fait seulement dans la sphère intérieure une petite ouverture / (yt^. 27 a), on peut imaginer que

l'on fasse passer celte sphère à traders la ligne de passage, car les deux feuillets qui se croisent suivant eie.2 sont supposés n'avoir aucun point commun : il n'y a donc aucun obstacle à la sortie de la sphère intérieure; après cette opération on aura lajîg. 27 6, constituée par deux sphères extérieures reliées par un tube. Il faut remarquer que la partie Si de la sphère intérieure qui était primitivement à gauche est venue à droite en S\ après la sortie de la sphère, et inversement la partie droite S2 est venue à gauche en S2. D'ailleurs l'extérieur de la sphère interne 8182 est resté à l'extérieur de la sphère externe S\ S'^.

52. Pour définir le sens positif du contour d'une surface simplement connexe, il faut distinguer l'une de l'autre les deux faces de la surface. La surface est un feuillet analogue à une pièce d'étoffe avec un endroit et un envers. Faisons choix d'une face qui sera appelée V endroit ou le coté positif de la surface, puis déformons la surface et appliquons-la sur un plan horizontal, Vendroit étant au-dessus : alors le sens positif du contour du feuillet plan ainsi obtenu est le sens dans lequel se meut un observateur debout sur le plan et décrivant le contour en ayant l'aire à sa gauche.

A ce sens correspond, sur le contour de la surface primitive simplement connexe, un sens déterminé qu'on appelle aussi sens positif de ce contour. Ce sens est marqué par des flèches dans les exemples précédents, où l'on a choisi comme endroit les faces suivantes ; pour le ruban de l'exemple 2° la face supérieure du bord 8, ; pourle domaine d'un point de ramification de l'exemple 3, la partie supérieure des plans V ^ et P2 ; pour les sphères de l'exemple 4°? l'extérieur de ces sphères ; pour les sphères de l'exemple 5° l'extérieur de la sphère extérieure et, par suite, l'intérieur de la sphère intérieure ; enfin pour les surfaces sphériques de Riemann de l'exemple 6^^ l'extérieur de ces surfaces.

Pour toutes les surfaces de Riemann dont nous nous occuperons par la suite, V endroit ou côté positif de la surface sera la face extérieure des feuillets sphériques ou la face supérieure des feuillets plans supposés étalés sur un plan horizontal.