Il est essentiel de remarquer que toute coupure faite

dans une surface simplement connexe la découpe en deux morceaux distincls. En effet, après la réduction de la surface à un feuillet plan à contour simple {fig- 28), toute coupure deviendra une coupure telle que pmcj partant d'un point du bord pour re-

venir en un point du bord ou pour se couper elle-même; dans les deux cas, cette coupure sépare évidemment la surface en deux morceaux. Nous ne tracerons pas de coupures sur les surfaces simplement connexes. Les coupures que nous employons plus loin ont pour but de transformer des surfaces qui ne sont pas simplement connexes en des surfaces simplement connexes.

Enfin une dernière propriété des surfaces simplement connexes est la suivante : Toute ligne fermée tracée sur une suif ace simplement connexe peut, par déformation continue sur la surface^ être réduite à un point. Gela se voit immédiatement sur le feuillet plan à contour simple dans lequel on peut, par déformation continue, transformer la surface. Ainsi la ligne MoGMo peut être réduite au point Mq {fig- 2g).

Fi g. 29.

o4. Voici maintenant des exemples de surfaces non simplement connexes ou surfaces à connexion multiple : nous allons voir que ces surfaces, parmi lesquelles se trouvent les surfaces de Riemann à deux feuillets et à plus de deux points de ramification,

io8

peuvent toujours, à l'aide de coupures convenablement tracées, être rendues simplement connexes.

i" Considérons d'abord un feuillet plan circulaire percé d'un trou {fig- 19, p. 100). Cette surface n'est pas simplement connexe; on ne peut pas, par déformation continue, sans déchirer la couronne comprise entre le trou et la circonférence, la réduire à un feuillet plan à contour simple. Actuellement le contour se compose de deux courbes distinctes : ce seul fait permet d'affirmer que la surface n'est pas simplement connexe. Il existe des lignes fermées MoMNMo {fig- 19, p. 100) tracées sur la surface, qui ne peuvent pas, par déformation continue sur la surface, être réduites à un point : ce seul fait permettrait aussi d'affirmer que la connexion n'est pas simple. Mais, dans cet exemple, à l'aide à^une seule coupure, nous obtenons une surface simplement connexe. En effet, traçons la coupure AE allant d'un point de la circonférence à un point du bord du trou et ajant pour bords afi et oy {fig' 3o) : nous obtenons une surface simplement connexe

Fi^. 3o

dont le contour parcouru dans le sens positif, à partir de P, est PajSQRôySTP :1e sens de ce parcours est indiqué par des flèches ; on remarquera que les deux bords de la coupure AE sont parcourus en sens contraire. On ramène immédiatement à ce cas la surface formée par une sphère percée de deux trous : il suffit de tracer une coupure réunissant les deux trous.

2** Prenons maintenant un feuillet circulaire avec des trous, trois par exemple. Il faudra tracer trois coupures pour rendre celte surface simplement connexe, comme le montre la y?^. 3i. Après le tracé de ces coupures, la surface est limitée par un con-

loiir simple; si un mobile parcourt ce contour dans le sens positif, indiqué par les flèches, les deux bords des coupures sont parcourus

Fig. 3i

en sens contraires. On ramène immédiatement à ce cas une surface connexe, comme une sphère avec quatre trous, en traçant trois coupures réunissant un trou aux trois autres.

00. Les deux exemples précédents nous montrent des surfaces non simplement connexes, avec des bords formés de plusieurs lignes distinctes. [1 ne faudrait pas croire que ce fait se présente nécessairement pour toute surface qui n'est pas simplement connexe. Dans les exemples que nous allons donner maintenant, et qui comprennent les surfaces de Riemann, les bords de la surface sont formés d'une seule ligne continue.

i'' Prenons deux sphères extérieures reliées par deux tubes cylindriques L, et Lo, Vendroit ou côté positif de la surface étant l'extérieur [fig. Sa). La surface est fermée; nous l'ouvrirons en

Fig. 32.

y pratiquant une petite ouverture /dont les bords formeront les bords de la surface. Au point de vue de la connexion, cette surface est identique à un tore percé d'un petit trou ; car on peut

lÔ

évidemment, par déformation continue, en faire un tore. Cette surface n'est pas simplement connexe, car il existe sur elle des contours fermés, tels que Imnl, qu'on ne peut, par déformation ■continue sur la surface, réduire à un point. On la rend simplement connexe à l'aide des deux coupures suivantes.

Partons du bord du trou f et traçons une première coupure h entourant la base du cylindre L, , sur la sphère de gauche, de façon à détacher ce cylindre de cette sphère, comme le montre la figure supérieure 33, où les deux bords de la coupure b sont appelés b' et b" . La surface est encore connexe sans l'être simplement : elle est, au point de vue de la connexion, identique à un tube ouvert aux deux bouts, ou à une sphère percée de deux trous, ou à un feuillet circulaire plan percé d'un trou; cela revient au même, comme le montre la comparaison des Jig. 33 et 34, car le tube, ouvert aux deux bouts, peut se déformer en un cylindre droit ouvert aux deux bouts, et cette dernière surface en une sphère percée de deux trous, ou en un feuillet plan circulaire percé d'un trou.

Comme nous l'avons déjà dit, la surface obtenue parle tracé de la coupure b (première surface de la Jig. 33) n'est pas simple-

Fij?.

ment connexe, car la ligne fermée Imnl ne peut pas encore être réduite à un point par déformation continue. Traçons alors une nouvelle coupure a allant d'un des bords b' de la première cou-

pure à TaiUre bord h>' en suivant le cylindre Lo. Cette nouvelle coupure est figurée sur la deuxième surface de \di Jig. 33 ; elle est figurée également sur les différentes surfaces qu'on peut déduire de cette surface par continuité, tube ouvert, cylindre, sphère avec deux trous, feuillet plan avec un trou {Jig. 34).

Après le tracé des deux coupures a et 6 la surface est devenue simplement connexe. On peut, en effet, par déformation continue, appliquer cette surface T' {fig- 33) ou une des surfaces dérivées (/?^. 34) sur une aire plane à contour simple. C'est ce qui est réalisé sur le feuillet plan de ln/ig. 34; on pourrait aussi développer le cylindre de \di fig. 34 pour transformer cette sur-

Fis. 34.

face en un feuillet rectangulaire dans lequel les côtés opposés proviennent des bords opposés des deux coupures. Au mobile qui parcourt le contour de ce rectangle dans le sens positif (le côté positif du rectangle provenant de l'extérieur du cylindre) correspond sur le cylindre et, par suite, en remontant, sur la surface découpée T' de la. Jig. 33, un mobile parcourant le contour de cette surface constitué par les bords des deux coupures dans le sens positif. Ce sens est indiqué par les flèches; on voit que les deux bords de chaque coupure sont parcourus en sens contraire.

2° Le cas de deux sphères, dont l'une est intérieure à l'autre, reliées par deux tubes cylindriques L, et Loj est identique au précédent auquel on le ramène d'ailleurs immédiatement. Nous prenons pour côté positif de la surface l'extérieur de la sphère extérieure. Supposons une petite ouverture /dans la sphère intérieure et traçons, en partant de f, une coupure b qui entoure la base du cylindre L, sur la sphère intérieure, de façon à détacher la sphère du cylindre L, {Jig. 35 a). Nous retirerons alors le cylindre L, vers l'extérieur en le retournant comme un doigt de gant et il restera à l'intérieur une sphère avec un trou b'' que nous retournerons aussi, à travers le cylindre Lo, comme un gant. Nous aurons

ainsi ramené la surface à l'état de la surface précédente après le tracé de la première coupure {fig> 35 [3). Pour la rendre simplement connexe, il faudra tracer la coupure a {fig. 36 a) qui permet

Fig. 3c

de développer la surface sur un rectangle, comme on l'a vu dans l'exemple précédent. Il est important de figurer ces coupures en place sur la surface primitive : c'est ce qui est réalisé ci-dessous {fis- 3^ ?) ; on a en outre marqué par des flèches le sens du mou-

Fig. 30.

Ca)