CP

vement d'un mobile parcourant, dans le sens positif, le contour de la surface finale rendue simplement connexe.

3° Surfaces de Riemana à deux feuillets et à quatre points de ramification. — Nous prenons, pour embrasser tous les cas, la surface sphérique à deux feuillets avec quatre points de ramification. Nous choisissons comme endroit ou côté positif de la surface l'extérieur des feuillets sphériques. Cette surface est formée de deux sphères, l'une intérieure à l'autre, se raccordant suivant deux lignes de passage e, e. et e^e, : elle oflre la plus grande analogie avec les surfaces précédentes; la seule différence est que

Il3

les cylindres de raccord des exemples précédents sont remplacés par des rubans de raccord se croisant le long des lignes de passage.

On suppose une petite fente faite dans la sphère intérieure en/" pour donner des bords à la surface. On trace, comme précédemment, une première coupure b {Jig- 3^ a) entourant la ligne de

passage e^ e-i-, de façon à détacher la sphère intérieure de la sphère extérieure le long de cette ligne : on peut alors retirer vers l'extérieur les bouts de ruban qui se croisent en e, e^ et qui rattachaient les deux sphères ; opération analogue à celle de la page i o5. Les deux bords de la coupure b sont alors b' à l'extérieur et b" à l'intérieur, 6'' formant le contour d'un trou dans la sphère interne {^fig> 37 P). Les deux sphères sont maintenant rattachées seulement par les rubans qui se croisent sur e^e^ comme dans l'exemple 6, page 104. On pourra, par déformation continue, faire sortir la sphère intérieure à travers la ligne de passage e^e^ : il

Fis. 38.

suffira d'opérer comme on l'a indiqué dans l'exemple 6, page lob. On a enfin la surface représentée dans \difig. 38, qui peut se ramener à une surface convexe avec deux trous b^ et b" ^ ou à une A. ET G. 8

Il4 CHAPITRE III.

surface circulaire plane avec un trou (exemple de la page m). Une dernière coupure a rend la surface simplemenl connexe en réunissant les deux trous. Il est important de figurer ces coupures en place sur la surface primitive de Riemann ; c'est ce qui est fait dans Xdijig. Sg. La première coupure b est tracée tout entière sur la sphère intérieure, elle entoure la ligne de passage e^e2\ elle est marquée en traits ponctués, le trait plein étant réservé pour les lignes tracées sur le feuillet supérieur. La seconde coupure a part d'un point a^ du bord de la coupure b^ traverse la ligne de passage ^3^4 à partir de laquelle elle passe sur le feuillet supérieur, sur lequel elle continue son cours jusqu'à la ligne de passage e^e^

Fig. 39.

qu'elle traverse en passant de nouveau dans le feuillet inférieur; elle vient enfin se terminer sur le bord de la coupure a opposé au point de départ a[S. Les deux coupures n'ont aucun point commun dans le voisinage du point P de la figure, car elles sont tracées dans des feuillets différents; a passe au-dessus de b au voisinage de P. Si nous figurons ces mêmes coupures sur la surface plane de Riemann, elles prendront la disposition de \^fig' 4o,oii le point e,, peut d'ailleurs être à l'infini. Nous appellerons ordinairement T' la surface de Riemann ainsi découpée, en réservant la lettre T pour la même surface sans coupures. On a indiqué par des flèches le sens du mouvement d'un mobile parcourant le contour de la surface finale simplement connexe T', dans le sens positif.

Il est important de distinguer le bord positif el le boî^d négatif des deux coupures a et b. La coupure a affecte la forme d'une courbe fermée entourant les deux points 62 et e^ : nous appelle-

Il5

rons bord positif àe cette coupure le bord extérieur \ marqué de signes + sur la Jîg. 4o, et marqué en traits plus gros sur la

fig. 4ï ; le bord négatif de a sera le bord intérieur p. Ensuite, pour la coupure b, nous choisissons comme bord positif le bord de cette coupure que doit suivre un mobile pour aller du bord positif ô de a au bord négatif y de a, en ayant à sa gauche la surface deRiemann (l'extérieur de la coupure) ; ce sens de circulation du mobile est indiqué par les flèches. Le bord positif de b est marqué de la lettre À et des signes -h dans \difig. 4o ; il est marqué en trait plus fort dans la /^. 4i. Le bord opposé p est le bord

Fig. 4i.

négatif de b. Quand un mobile parcourt les bords des coupures dans le sens positif (indiqué par les flèches), il décrit les bords opposés en sens contraires.

Il6 CHAPITRE III.

Il est bien entendu que la disposition seule des coupures est imj)ortante. On peut faire varier leur forme d'une manière continue comme on veut, ainsi que la forme des lignes de passage Ci e.2 et ^3^4. On peut aussi intervertir le rôle des deux feuillets : supposer par exemple la coupure b tout entière sur le feuillet supérieur, la coupure a dans le voisinage du point apyo sur le feuillet supérieur et dans le reste de son parcours entre les deux lignes de passage dans le feuillet inférieur. Pour avoir la figure correspondant à cette disposition des coupures, il suffirait de tracer en traits pleins ce qui est pointillé, et inversement.

56. On traitera de même le cas général d'une surface de Riemann à deux feuillets, avec un nombre quelconque de lignes de passage. Les surfaces sphériques correspondantes sont analogues au système de deux surfaces sphériques reliées par autant de tubes cylindriques qu'il y a de lignes de passage. Prenons, par exemple, pour traiter encore en détail le cas de six points de ramification, deux sphères extérieures, reliées par trois tubes cylindriques L|, Lo, L3. On fait d'abord une petite ouverture /"dans la sphère S ; puis on trace, en partant de cette ouverture et en y revenant, une première coupure bi entourant la base du cylindre Li sur la sphère S,

Fig. 4-

de façon à détacher ce cylindre (Jig: 42 a); il faut imaginer que cette coupure 6< tourne sur la sphère S derrière la base du cylindre L^ . Partant ensuite d'un point £ de cette coupure bi on trace une seconde coupure ec^r^b^bo^ venantse terminer sur elle-même en 0, de façon à entourer la base du cylindre Lo et à détacher ce cylindre delà sphère; cette seconde coupure, que nous désignerons

par Co-h ^25 se compose de deux parties, une portion de coupure Co de £ en t,, puis une autre portion ^o affectant la forme d'une courbe fermée comme b^. Après ces deux coupures, la surface n'est pas encore simplement connexe ; en la déformant un peu on lui donne la forme représentée dans lajig. ^2 j^.

Cette nouvelle surface est composée d'une sphère S avec un trou dont le bord b\ c'.-, b[, c"., est formé par les bords extérieurs de bi et 60 et les deux bords de Co, puis d'une deuxième sphère S' reliée à la première par un cylindre L3 et portant deux tubes cylindriques L, et Lo ouverts par deux trous dont les bords b\ et bl sont les bords intérieurs des coupures ^, et bo. Cette surface a donc trois trous distincts : elle peut, par déformation continue, être ramenée à une surface sphérique avec trois trous ou à un feuillet plan circulaire avec deux trous {Jig. 4^ bis).

Fig. 42 bis.

Pour rendre la surface simplement connexe, on se trouve ramené à un problème traité antérieurement: il faut réunir un de ces trois trous aux deux autres par deux coupures a, et «2, de façon à n'en faire qu'un seul trou. Nous joindrons par des coupures le

Fis:. 4

trou de S aux deux trous b'\ et b"., de S\ La coupure a, joindra un point de b\ à un point de b\ ; de même la coupure adjoindra un

ii8

point de b'^ à un point de b'., {fig. 43 a). La surface est alors simplement connexe. Il importe de figurer ces coupures en place sur la surface primitive; c'est ce qui est fait dans la deuxième y^^. 43 p. Si l'on trace les mêmes coupures sur la surface déformée comme dans Xd^fig. 42 bis^ on obtient les surfaces de Xd^fig. 43 bis,

Fig. 43 bis.

où il est évident que le tracé des coupures rend la surface simplement connexe.

Dans ce qui précède, les sphères sont extérieures. Si l'on avait deux sphères intérieures, réunies par trois tubes, L<, Lg, L3, on procéderait de la même façon. On commencerait par détacher de la sphère intérieure S les deux cylindres L< et Lo par deux coupures b^ et c- -h Z>2 entourant les bases de ces deux cylindres ; puis l'on retournerait la sphère interne, à travers le tube L3, comme un gant; on retournerait de même vers l'extérieur les tubes Li etjLo et l'on serait ramené identiquement au cas précédent {fig. 42 p).

57. Prenons maintenant le cas d'une surface de Riemann sphérique à deux feuillets et 'trois lignes de passage e^ e^^y <?3^4j ^s^c- Ces surfaces sont analogues aux précédentes, et nous les découperons de la même façon. La sphère intérieure est rattachée à l'autre par trois couples de rubans qui se croisent suivant e^e^-^ ^3^'o <?56c> et qui remplacent les cylindres L<, Lo, L3. Traçons sur la sphère intérieure, à partir d'une fente/, une première coupure ^^ entourant <?< Co de façon à détacher cette sphère de la sphère extérieure au voisinage de e^ e.^ ; puis retirons vers l'extérieur (comme dans l'exemple 6, p. io5) les deux bouts de ruban qui se croisent suivant e,(?o, de façon à les amener en l)\

{fig- 44 p).

Nous partons ensuite du bord extérieur b\ de cette coupure 6,,

et nous traçons une coupure Co+ 62 qui vient se terminer sur elle-même après avoir contourné sur la sphère intérieure la ligne de passage 63^4, en détachant ainsi la sphère intérieure de l'autre au voisinage de 63^4. Cette nouvelle coupure faite, nous pouvons retirer vers l'extérieur les rubans qui se croisent en e^ej^ de façon à les amener en b\ {fig- 44 ?)• On a ainsi ramené la surface

Fig. 44.

primitive T à deux sphères intérieures réunies encore le long d'une seule ligne de passage 6360 et percées, la sphère intérieure d'un trou b\ c-2 b[, Co, la sphère extérieure de deux trous b] et b[^. Si l'on fait alors sortir la sphère intérieure comme précédemment à travers la ligne de passage e-^ec, on a une surface représentée dans la Jîg. /\b^ qu'on peut, par déformation continue,.

Fig. 45.

transformer en une surface connexe, une sphère, par exemple^ avec trois trous, 1,2, 3, et qui est identique à la surface de la fig. 42 P ou 4'-^ bis. On la rendra simplement connexe par deux

coupures réunissant ces trois trous en un seul; une première coupure a^ joindra le trou 1 au trou 3 en allant d'un point de b\ à un point de b\ ; puis une deuxième coupure ûTo joindra le trou 2 au trou 3 en allant {fig. 4^) d'un point de b[, à un point de b\.

Fig. 46.

On a ainsi, comme dans l'exemple précédent, un système de quatre coupures, ^i , Cg -f- ^25 <^\ et «o, rendant la surface simplement connexe.

Il est important de figurer {fig. 47) ces coupures en place sur la surface sphérique de Riemann à deux feuillets. La coupure b^ en-

toure les deux points e^ et^a sur le feuillet inférieur : elle est figurée en traits ponctués; puis d'un point de b^ part une coupure Co -+- b.2 se terminant sur elle-même après avoir entouré les deux points ^3 et e, toujours sur le feuillet inférieur. Une première coupure r/, part d'un point a|3 du bord extérieur de ^,, suit d'abord

CONxNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l'il

le feuillet inférieur jusqu'à la ligne de passage ^5^0, passe ensuite sur le feuillet supérieur jusqu'à la ligne e^e-^^ repasse sur le feuillet inférieur et se termine sur le bord de 6, opposé au point de départ aj^. Une deuxième coupure «o part de même d'un point a'j^' du bord extérieur de 60, suit le feuillet inférieur jusqu'en ^5^0, le supérieur jusqu'en ^3^4, de nouveau le feuillet inférieur et se termine sur le bord de Z>2 opposé à a'[^'. Les coupures étant ainsi tracées, on s'assure aisément qu'un mobile peut parcourir la suite des bords des coupures d'un mouvement continu: le sens de ce parcours, supposé effectué dans le sens positif par rapport à la surface extérieure des spbères, est figuré par des flèches. Aux points tels que P les coupures passent l'une au-dessus de l'autre, car elles sont, l'une dans le feuillet inférieur, l'autre dans le feuillet supérieur.

La même figure, étant faite pour la surface plane de Riemann, prend la disposition suivante {fig- 4^) 7 0^1 nous avons mis les

Fig. 4

mêmes lettres et où le point eç, peut être à l'infini. Les coupures «, et rto affectent la forme de courbes fermées : le bord positif + marqué d'un trait plus fort est le bord externe. Pour les coupures b^ et 62, le bord positif est défini par la même convention que précédemment, page 11 5. Le bord positif de />, est

celui que suivrait un mobile pour aller du bord positif de a^ au bord négatif de a, en marchant, par rapport à la surface de Riemann, dans le sens positif (aire enveloppée à gauche, sens marqué par les flèches). Ainsi, en partant du point a (bord positif de a^) et marchant sur le bord extérieur de h<^ dans le sens de la flèche, on revient, en ne tenant pas compte de la coupure C2, au point p (bord négatif de «<). C'est donc, sur la figure, le bord extérieur de h^ qui est le bord positif. Si l'on parcourait le bord opposé dans le sens positif marqué par la flèche, on irait, au contraire, de Y sur le bord négatif Aç, a s. en 8 sur le bord positif. Pour la coupure ^o, le bord positif est de même le bord qu'il faudrait suivre pour aller du bord positif de «2 au bord négatif de a2 en marchant dans le sens positif. Ce bord positif est, dans X-à fig, 48, le bord externe de Z?2, qui conduit, comme on le voit, de a' (bord positif de <22) en ^' (bord négatif de a^^ dans le sens des flèches. Le bord positif de c^ est arbitrairement choisi.

58. Nous venons d'examiner en détail le cas de six points de ramification avec trois lignes de passage, qui est au fond identique à celui de deux sphères extérieures reliées par trois tubes. Si l'on prend la surface de Riemann correspondant à la relation

dans laquelle n=^ ip-\- 'i^ ou 2/> + i , il j a sur la sphère ou sur le plan p + i lignes de passage et ip + 1 points de ramification, dont un à l'infini quand n est impair. La surface sphérique de Riemann est, au point de vue de la connexion, identique à un système de deux sphères extérieures reliées par/? + i tubes cylindriques Li, Lo, . . ., L^^i.

En opérant identiquement comme dans l'exemple précédent, on rendra la surface de Riemann simplement connexe à l'aide des ip coupures suivantes, aue nous traçons sur la surface de Riemann plane. Tout d'abord on mène les coupures Z? et c + 6 toutes dans un même feuillet, le feuillet inférieur,' par exemple, comme il suit. On trace {fig. 49) une coupure fermée h^ entourant les deux seuls points de ramification ^4 , e^ ; puis, partant d'un point de />,, une coupure Co H- h^ venant se couper elle-même, formée

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. lïi

d'une branche Co et d'une boucle entourant les points ^3,64; ensuite, partant de même d'un point de b-i, on trace une coupure C3 4- bi venant se couper elle-même, formée d'une branche c-^ et d'une boucle 63 entourant les points ^5, e^, ... ; enfin, partant d'un point de bp i , on trace une coupure Cp+ bp venant se couper elle-même, formée d'une branche Cp et d'une boucle entourant les points Cop-i-, C-2P' Sur \dijig. 49? on a figuré ces coupures en siip-

Fig. 49.

■7/ ^sy^^s]

posant les points <?,, e^2^ . . ., e,i dans l'ordre dans lequel les rencontre un rayon vecteur tournant autour de l'origine O dans le sens positif des rotations. Le point e-ip^o est figuré comme étant à distance finie dans la surface plane de Riemann; il est à l'infini quand n est impair. Les lignes de passage sont tracées comme précédemment L,o, L3 4, . . . , l^2p+\,2p+2'

Pour achever de rendre la surface simplement connexe, il faut ensuite tracer /> coupures a. La coupure a^ part du bord de la coupure ^, en a^3 dans le feuillet inférieur {/ig- 5o), traverse la ligne de passage L,o pour monter sur le feuillet supérieur, traverse ensuite la ligne de passage ï^-2p+i,2p+2 pour revenir dans le feuillet inférieur et vient se terminer au point yo sur le bord de bi opposé au point de départ a[B {Jig. oo).

Dans la fig. 5o, pour ne pas surcharger, on a désigné les points de ramification par leurs indices seulement, en mettant 1, 2, 3 au lieu de ^i, eo, (?3, .... De même, la coupure a^ part du bord interne a^ de 60, traverse la ligne de passage L34 joignant les points e-^, ^4, tourne autour du point eo^+, en traversant la ligne

de passage L2p+i,2/?+2 et vient se terminer en yS sur le bord de Z>2 opposé au point de départ a[3. Les coupures «3, . . ., cip sont tracées de la même façon à l'égard des coupures ^3, ..., bp. Toutes ces coupures a franchissent la ligne de passage l^2p+\,-ip^'i

Fis:. 5o.

et affectent la forme de courbes fermées entourant le point e^p^K associé à d'autres points de ramification. Ainsi a^ entoure <?, et ^2p4-n «2 entoure <?< , Co, <?3 et <?2/>+i ? • • -, «a entoure <?,, <?2j <?3, •••, e-ih-x et <?2/j+i.

Comme dans les exemples précédents, nous nommerons bord positif des coupures a^, a.2^ . . . , ap le bord externe de ces coupures marqué d'un signe + ou de la lettre 1 : le bord positif d'une coupure telle que bi est le bord que doit suivre un mobile pour aller du bord positif de «, au bord négatif en marchant dans le sens positif (aire de la surface de Riemann à gauche). D'après cette convention, c'est le bord externe de Z?, qui est le bord positif : ce bord conduit en effet de v en 0 en tournant dans le sens positif. La même convention appliquée aux autres coupures b montre qu'elles ont toutes pour bord positif l'extérieur. Quant aux coupures Co, C3, ..., Cp, le choix du bord positif n'a pas d'importance. Nous prendrons pour bord positif de la coupure c^, celui qu'il faut suivre pour aller de bk^^ à bk en marchant dans le

sens positif. On a figuré par des flèches le sens dans lequel se meut un mobile parcourant dans le sens positif tout le contour de la surface de Riemann ainsi découpée T', contour formé par les bords des coupures. Il va de soi qu'aux points tels que P ces coupures n'ont aucun point commun, car elles sont dans des feuillets différents.

Il faut remarquer aussi que la forme des coupures ne joue aucun rôle : il n'j a d'essentiel que leurs positions relatives. On peut remplacer le système de coupures considéré par tout autre qu'on en déduirait par déformation continue. Par exemple, on peut déplacer d'une manière continue le point d'insertion a^Syo d'une coupure cik sur une coupure hk\ on peut aussi déplacer d'une manière continue le point d'insertion d'une coupure Ch sur les coupures hk-K et bh-, ou même le faire passer d'une coupure /; sur une coupure a. Ainsi, dans Xd, fig. 5o, on pourrait par continuité amener Co à occuper une position telle que c!, ou c[^ ; de même pour C3, . . ., Cp.

59. Théorème de Cauchy sur une surface de Riemann . — Ce théorème résulte immédiatement des définitions posées dans le Chapitre I. Soity(^, u) une fonction du point analytique (;, w), uniforme dans le domaine d'un point (:;,, Ui) de la surface de Riemann. Supposons que cette fonction soit régulière au point (;,, i^,), ou admette ce point pour point singulier isolé : on peut toujours prendre le domaine 0 du point (Zi,Ui) assez petit pour que, dans ce domaine, il n'y ait pas de point singulier placé autre part qu'en (j3,,;/i). Alors l'intégrale ff{z^u)dz^ prise dans le sens positif sur le contour du domaine 0, est égale à 2t:«R,, R, étant le résidu relatif au point (i;<, i^,); et cela est vrai que le point (^,, u^ ) soit un point ordinaire de la surface à distance finie ou infinie, ou un point de ramification à distance finie ou infinie.

Considérons maintenant sur la surface de Riemann une aire S finie ou infinie, simplement connexe, limitée par une courbe C formée nécessairement d'un seul trait et représentée sur la sphère par une aire finie simplement connexe S, limitée par une courbe F. Soit /(^, u) une fonction du point analytique (^, u), uniforme dans l'aire S, finie sur le contour C, n'admettant dans l'aire S

d'autres singularités que des points singuliers isolés, nécessairement en nombre fini. L'intégrale

f f{z.,u)dz, ^c

prise sur le contour C dans le sens positif, est égale à

•2-i(Ri-i-R24-...-+- R^),

R,, Ro, . . . , R^ désignant les résidas relatifs à tous les points singuliers situés sur S et aux points à l'infini si l'aire S est infinie. Pour démontrer ce théorème, découpons par des courbes transversales, en nombre quelconque, l'aire sphérique S en parties o-<, o-o, . . ., ^m assez petites pour que dans chacune d'elles il y ait au plus un point singulier ou un point de ramification. Comme à chaque point de la surface sphérique de Riemann correspond un point de la surface plane de Riemann et réciproquement, à cette division de l'aire sphérique S correspondra une division de l'aire plane S en parties s^, 5o, .. . , Sm dont chacune contiendra au plus un point singulier ou un point de ramification. L'intégrale ff{^, u)dzj prise sur le contour total G de S, est égale à la somme des valeurs de cette intégrale prises dans le sens positif sur les contours d , Co, . . . , Cm des aires .Çi , ^o, . . • , Sfm et l'on a

(I) ff^z,u)dz=^ ff{z,u)dz^ f f{z,u)dz-^...-^ f f{z,u)dz. ^^ ^Ci Je, Jc^

Cette formule est évidente, car, dans les intégrales du second membre, les côtés contigus des aires 5, , ^o, . . . , Sm sont parcourus chacun deux fois en sens contraires, et les portions correspondantes des intégrales se détruisent : il ne reste donc que les portions de ces intégrales relatives aux parties du contour primitif C qui ne figurent chacune qu'une fois dans la somme et dont l'ensemble constitue l'intégrale du premier membre. Mais, dans l'équation (i), chaque intégrale du second membre est prise sur le contour d'un domaine assez petit pour ne contenir qu'un point singulier ou un point de ramification au plus : chacune de ces intégrales est égale à itù multiplié par le résidu relatif au seul

point singulier qui peut être situé dans l'aire correspondante, et l'on a bien la relation fondamentale

(2) f f{z, ii)dz =i-î{Ri-\- R.-^ . . .-^ Rq),

quelle que soit la forme de l'aire simplement connexe S.

Le même théorème serait encore vrai, si l'aire considérée S n'était pas simplement connexe et était limitée par une ou plusieurs courbes dont l'ensemble formerait le contour C. La démonstration est la même.

00. Voici une importante conséquence de cette formule, ne s'appliquant qu'au cas où S est simplement connexe. Supposons que, dans l'aire S, les résidus soient tous nuls; l'intégrale ci-dessus est nulle. Considérons alors dans l'aire S deux points analytiques Po et P de coordonnées (zq^ Uq) et (^, u)^ et deux chemins PqMP, PqNP joignant ces deux points. Les valeurs de l'in-

f y*(^j u)dzj prises le long de ces deux chemins,

(^0, «0) sont égales. En effet, supposons d'abord que ces chemins ne se

coupent pas; la courbe fermée PqMPNPo, formée par ces deux chemins placés bout à bout, est une courbe fermée tracée sur une surface simplement connexe S; elle détache donc de cette surface une portion Sj, également simplement connexe. C'est ce qui résulte de ce que nous avons vu (n^' oO, o3) pour les surfaces

Fig. 5i.

simplement connexes. Rappelons-en rapidement la raison. La surface S peut, par déformation continue, être transformée en une surface formée d'un feuillet plan s à contour simple c; dans cette déformation, les points Pq, P et les chemins PqMP, PqNP deviennent {fig. Oi) Po, p, pomp^ p^np. Ces nouveaux chemins.

19,8 CHAPITRE m.

placés bout à bout , po^ipupo, forment un contour simple ne se coupant pas, limitant une aire 5<, simplement connexe, située dans s : donc, sur la portion de surface de Riemann S, la courbe PoMPNPo Hmite une aire S, simplement connexe, située tout entière dans S.

Comme, par hypothèse, les résidus de/(^, u) dans S sont tous nuls, cette fonction est uniforme dans S< et elle y a aussi tous ses résidus nuls : l'intégrale ff{z,u)dz, prise sur le contour PoMPNPo de Si, est donc nulle. Or la première partie de cette intégrale, le long de PqMP, est

/ f{z,u)dz,

«^Po MP

et la deuxième, le long de PNPq, est

fi^z,u)dz-

la somme de ces deux intégrales étant nulle, on voit que la valeur de l'intégrale ff(z, u)dz^ du point Pq au point P, est indépendante de la courbe le long de laquelle on la prend, pourvu que cette courbe soit située sur S.

Nous avons supposé que les chemins PqMP et PqNP ne se coupent pas ; s'ils se rencontraient en un certain nombre de points analytiques, il n'y aurait qu'à les comparer à un chemin ayant les mêmes extrémités et ne rencontrant aucun d'eux; et la conclusion serait la même.

En résumé, l'intégrale

F(5,«) = Ç ' f{z,u)dz

a une valeur unique, quel que soit le chemin suivi sur S entre les deux points limites. Laissant le point Po(^05 ^o) fixe et faisant varier le point P(^, ?/), on voit que cette intégrale définit une fonction du point analytique (^, u), F{z, u), uniforme dans l'aire S. Gomme/ est supposé n'avoir dans S que des points Ûvlguliers isolés à re5«(iw5 nuls, F(^, w) n'aura que des points singuliers isolés dans la même aire S.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l'2<^

61 . Le cas le plus important et en même temps le plus simple est le cas où Faire S se compose de toute la surface de Riemann simplement connexe T', dont le contour G est formé par l'ensemble des coupures a^, bk et c/i précédemment tracées. La fonction /(^, u) est alors supposée uniforme sur toute la surface T et ne possède que des points singuliers isolés. Dans ces conditions, l'intégrale

f{z,ii)dz,

prise sur le contour de la surface T' dans le sens positif, est égale au produit de 9.'Ki par la somme de tous les résidus de /. Dans cette intégration, les bords opposés d'une même coupure sont parcourus en sens contraire.

Exemple. — Si la fonction f{z, u). satisfaisant aux conditions précédentes, est uniforme, non seulement sur la suif ace T', rendue simplement connexe par les coupures a, bj c, înais aussi sur la surface primitive de Riemann T non découpée, la somme des résidus de cette fonction, sur toute la surface de Riemann (y compris Finfini), est nulle. Dire que /est uniforme sur la surface primitive T de Riemann, c'est admettre qu'elle ne change pas de valeur quand on franchit une coupure ou ocelle prend les mêmes valeurs sur les bords opposés de chaque coupure. Alors l'intégrale

ff{z,it)dz

est évidemment nulle, car les deux bords d'une même coupure étant parcourus en sens contraire et la fonction / prenant les mêmes valeurs sur les deux bords d'une coupure, les éléments de Tintégrale provenant des bords opposés de chaque coupure se détruisent deux à deux. La somme des résidus est donc nulle. Ce théorème s'applique en particulier à une fonction rationnelle de z el U] nous l'avons démontré autrement dans le Chapitre L

62. Supposons maintenant que l'aire simplement connexe S ibrasse toute la surface de Riemann T', et que, de plus, tous

em

i3o CHAPITRE m.

les résidus de f{z^ u) soient nuls. Dans ces conditions, si l'on prend sur la surface deux points analytiques, Vq{zq^ Uq) et P(^, ?^), l'intégrale

f{z,u)dz,

prise de Po en P le long d'une ligne quelconque tracée sur la surface T', c'est-à-dire ne franchissant pas le contour de cette surface constitué par Tensemble des coupures, a une valeur indépendante du chemin suivi (n° 60). La limite inférieure étant regardée comme fixe, cette intégrale est donc une fonction uniforme de sa limite supérieure (^, ?/), F(^, ?/), sur la surface de Riemann T'. Cette fonction F(^, u) n'a d'ailleurs pas d'autres points singuliers que les points singuliers de /(g, w), car, dans le voisinage de tout point où /(^, u^ est régulière, il en est de même de F(^, w), sauf, peut être, pour le point à l'infini.

Si l'on suppose que /(^, u^ est wne fonction rationnelle de z et u avec des résidus nuls, F(^, ?/) est une intégrale abélienne composée avec des intégrales quelconques de première et de deuxième espèce. Donc une somme d'intégrales de première et de deuxième espèce, ayant même limite supérieure (^, «), est une fonction uniforme de(^, u) sur la surface de Riemann simplement connexe T'.

63. Laissons de côté le cas o\if(z, u) serait une fonction transcendante, et supposons que/(^, u) est une fonction rationnelle de z et u avec des résidus tous nuls. L'intégrale

F(z,u)=. f ' f{z,u)dz

^ I-.. Il A

est alors, comme nous venons de le voir, une somme d'intégrales abéliennes de première et de deuxième espèce : c'est une fonction uniforme de (5, u) sur la surface T' ; la fonction rationnelle /(^, u) est une fonction uniforme, même sur la surface primitive T sans coupures, de sorte que /(z, u) prend les mêmes valeurs sur les deux bords opposés d'une même coupure, car l'épaisseur d'une coupure est toujours supposée infiniment petite.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l3l

Voyons quelles relations il existe entre les deux valeurs de F(^, II) aux deux bords opposés d'une coupure. Prenons, pour fixer les idées, la coupure a, : soient A un point du bord positif, p {fig- 52) le point situé en face de \ sur le bord négatif, a et ^ les

Fiff. 52.

deux points où le bord négatif de la coupure 6, rencontre les bords de «,. La valeur de l'intégrale F(r, u) en un point analytique étant indépendante du chemin d'intégration, pour avoir la valeur de F(<5, u) au point À, nous pouvons aller de Pq en a, puis de a en X le long du bord positif de la coupure ; alors

F()0 = F(a)- / f{z,u)dz,

la dernière intégrale étant prise sur le bord positif de la coupure «, de a à A. De même, pour avoir la valeur de F(::, u) en p, allons de Po en fi, puis de ^ en p le long du bord négatif

f^ f{z,ii)dz

Dans la figure, le point Pq est supposé sur le feuillet supérieur, et l'on a tracé un chemin allant de Pq en a sans franchir de coupure. Mais les deux intégrales / f(z,u)dzet I f{z, u)dz sont

égales y car a diffère infiniment peu de ,3, A de p, et les chemins d'intégration de a à a et de ^ à p difî'èrent infiniment peu; enfin,

l32 CHAPITRE II [.

la fonction rationnelle prend les mêmes valeurs aux deux bords de la coupure. Les intégrales sont donc composées identiquement des mêmes éléments, et Ton a

Comme "k et p sont deux points quelconques en face l'un de l'autre sur la coupure a,, la différence F(X) — F(p) est constante tout le long de <2,, depuis a, ^ jusqu'en v, 8. Cette différence constante, que nous appellerons Ai, est le module de périodicité de l'intégrale F{z^u) le long de la coupure «<. Pour calculer effectivement cette constante A, , remarquons que F (a) étant la valeur de l'intégrale en a le long du chemin figuré Pq^, pour avoir F(p), il suffit de prendre l'intégrale de Pq en a sur le chemin précédent, puis de a en [3 le long du bord interne de la coupure b^. Donc la différence F(a)^F(P) est la valeur de l'intégrale

//(^, u) dz prise de (3 en a le long du bord interne de b^ ; le

module de périodicité Ai est donc la valeur de l'intégrale prise sur une petite courbe fermée tracée dans le feuillet inférieur de la surface et entourant les deux points de ramification <?< et ^2 {Jlg. 53); cette petite courbe fermée peut être supposée placée

en G' infiniment près de la ligne de passage Ci ^2, car les valeurs de l'intégrale le long de deux courbes fermées quelconques C et C, entourant les deux points Ci et 62 sur le feuillet inférieur de la surface primitive T, et pouvant se réduire l'une à l'autre par continuité sans franchir aucun point de ramification, sont égales entre elles. Cela résulte de ce que, dans l'aire comprise entre les courbes C et G', la fonction /( 5, m) est uniforme et a ses résidus tous nuls.

CONXKXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l33

De même, si l'on appelle ). et p deux points en face l'un de l'autre sur les deux bords d'une coupure quelconque «/,, X sur le bord positif, p sur le bord négatif, la différence F (À) — F (p) a, le long de cette coupure, une valeur constante A^ égale à l'intégrale //(^, II) dz^ prise dans le sens positif le long d'une courbe fermée entourant les deux points de ramification e^k-Ki ^ik sur le feuillet inférieur.

Une coupure telle que h^ est partagée en deux parties par le point d'insertion y£ de la coupure Co et le point d'insertion aj^yS de Œk {fi g. 02). Nous appellerons provisoirement ces deux parties b\ et b'\. En vertu du raisonnement précédent, sur la portion 6',, la différence F(a) — F(p) est une constante B'^ et sur la partie b'\ une constante B^ ; enfin sur Co cette même différence est une constante Co- Nous allons démontrer que

En effet, le point de croisement des coupures «i et 6i donne

( F(a)-F(P) = A„ ^ ( F(Y)-F(o)=Ai;

les points a et p, y et 8 sont en face l'un de l'autre sur les bords de ^1, a et y sur le bord positif, j3 et S sur le bord négatif. De même y et a, étant en face sur les bords de b'[^ on a

puis 0 et ^ sur les bords de b\ , on a

Retranchant ces deux dernières équations membre à membre,

il vient

équation dont le premier membre est nul en vertu des relations (3). Donc B'^ = B'^ ; nous appellerons alors Bi la valeur commune de ces deux quantités, c'est-à-dire la différence constante F()v) — F(p) tout le long de 6, ; B, est le module de périodicité de V intégrale le long de 6,. Pour calculer effectivement Bi, on