C II A P I T R E 1 1 I
remarque que B, ou F (y) — F(a) est égal à rinlégrale f{z,u) dz
prise sur le bord extérieur de la coupure «, de a à y, c'est-à-dire dans le sens indiqué par la flèche. Donc B, est la valeur de l'intégrale prise, dans le sens négatif, sur une courbe fermée entourant les deux points de ramification e< , 62/)+! et tracée sur les mêmes feuillets que la coupure a^.
Enfin le module de périodicité Go le long de C2 est nul. On peut le voir d'une première façon en prenant le point de croisement tyr^ des coupures bi et Cy qui donne
F(£)-F(rO=B„
F(yJ-F(s)^G2.
Retranchant les deux premières équations membre à membre, on trouve immédiatement que Go est nul. C'est ce qu'on peut aussi voir directement, car Go ou F('^)— F(£) est égal à l'intégrale I f(z, u) dz prise de s en y le long du contour suivant
{/Ig. ^2) : eb\o (bord extérieur de ^i), ôp^ (bord intérieur de «i), jSvia (bord intérieur de b^)^ aXy (bord extérieur de «< ) , enfin y 6'^ y (bord extérieur de Z>i). Gette intégrale est nulle, car, dans le chemin d'intégration que nous venons d'indiquer, les bords opposés des deux coupures ai et bi sont parcourus en sens contraire, et comme /(;î, u) prend les mêmes valeurs aux points correspondants des deux bords des coupures, les éléments de l'intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires. D'après cela, il n'y a pas de module de périodicité le long de Co ; l'intégrale abélienne F(z, a) de première ou de seconde espèce prend les mêmes valeurs aux deux bords opposés de Co, de sorte que, même si l'on supprimait cette portion de coupure appelée C2, l'intégrale F(:;, u) resterait uniforme sur la surface T^ ainsi modifiée.
Le même raisonnement montre que, sur chacune des coupures bh{k = 1, 2, ...,/?), l'intégrale admet un module de périodicité Ba, et que sur chacune des portions de coupures Ch{h = 1, . . ., p) le module de périodicité est nul; Ba est égal à l'intégrale
j /(^) u)dz prise dans le sens négatif sur une courbe fermée entourant les points e< , ^2, ^3, . . ., ^2^-,, e^p+i.
CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l35
L'intégrale F(:;, u), qui est l'intégrale la plus générale, coii*posée d'intégrales de première et de seconde espèce, a donc 2p modules de périodicité
Al, Ao, .... Ap,
Bi. B,, ..., Bp,
relatifs respectivement aux coupures ou portions de coupures
cil, CI2, . . . , dpt
bu ^2, • • , bp.
Cette intégrale est uniforme sur la surface de Riemann T' rendue simplement connexe par les coupures a^, bh et c^. Elle cesserait de lètre si l'on supprimait les coupures, ou, ce qui revient au même, si l'on permettait au point analytique {z , u) de franchir les coupures. Si nous continuons à appeler F(:;, u) la valeur unique que prend lïntégrale en un point {z ^ u) quand la variable (:;, u) ne franchit aucune coupure, la valeur la plus générale que puisse prendre l'intégrale en ce point , quand le point (;;, a) peut franchir arbitrairement toutes les coupures, est
F(^, u)-r- mi Al ~ m^X^,-^. . .— nipAp-^ /«iBi -f- /?2B2 H-. . .— fipBp.
m^, 771.2, ..., 77ip, /li, /?o, ..., 7ip étant des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls. En effet, chaque fois que le point (z, u) franchit une coupure, la différence entre les valeurs de l'intégrale
f ' f{z,u)dz et ¥{z.,u)
augmente ou diminue du module de périodicité correspondant. Ainsi, par exemple, considérons (/Z^-. 5o)le chemin Pop).p'A'(:?, u) qui franchit les deux coupures <7o, «3, en )., p et)/, p', avant d'arriver au point (^, n).
L'intégrale prise de Po en p estF(p) puisque la limite inférieure est au point Pq par hypothèse. Prise de p à X elle est 7iulle, car l'épaisseur de la coupure est infiniment petite. Prise de A à p' elle est F(p') — F().), de p^ à )/ elle est nulle; enfin de )/ en {z, u) elle est F(^, u) — F(>/). La valeur de l'intégrale de Po en {z, u)
l3fi CHAPITRK III.
le long du chemin considéré est donc, si l'on fait la somme des intégrales partielles ci-dessus,
F(p) + F(p') - F(X)-l- F(z, II) - F(X'),
c'est-à-dire
car, sur «25 on a
et, sur «3,
Remarque sur le calcul des modules de périodicité . — Nous avons vu qu'un module de périodicité tel que K^ est égal à l'intégrale / /(s, u) dz prise, dans le sens positif, sur une courbe fermée G quelconque partant d'un point du feuillet inférieur et entourant une fois les deux points de ramification e^ et e^ {fig- 53). On peut, en particulier, donner à cette courbe la forme suivante. Partant du point O du feuillet inférieur, on suit d'abord un chemin rectiligne O l jusqu'en un point / infiniment voisin de e\ , puis on décrit un cercle infiniment petit (7^ [autour de <?< , on revient de / en O, on décrit un second chemin rectiligne Om, allant de O (feuillet supérieur) en un point m infiniment voisin de e^-, un cercle infiniment petit 0-2 autour de ^2 et l'on revient de m en O (feuillet inférieur). Chacun des chemins 0 1(7^ 10, Om(j2mO s'appelle un lacet. La période Ai est donc la somme des valeurs de l'intégrale prise sur les deux lacets relatifs aux points e^ et e^ de la manière indiquée. Chaque période A/^ s'exprime, de la même façon, par la somme des valeurs de l'intégrale sur les lacets relatifs aux deux points de ramification entourés parla coupure ^a. Quant aux périodes B< , Bo, ..., B^, elles s'expriment, la première Bi parla somme des valeurs de l'intégrale prise dans le sens négatif sur les lacets relatifs aux points e^^ <^2p+\-, la deuxième B2 par la somme des valeurs de l'intégrale prise dans le sens négatif sur les lacets relatifs aux points e\, e^, e^, e2p+\, .... On a représenté dans la /ig. 53 les lacets relatifs aux points Ci , ^2, <?3, e2p+\ '• pour avoir B2, il faut faire décrire au point (z, u) la succession de ces lacets en commençant, par exemple, par le lacet ^2^0+1 qui doit être parcouru dans le sens négatif (sens de la flèche) en partant du point O du feuillet inférieur; après le lacet (?2/?+i viendra ^3,
puis e-2, puis e, ; cela résulte de ce qu'une courbe fermée entourant les points <?i, ^2, ^3, 62/7+1, comme le bord de la coupure «2, peut, par déformation continue, être amenée à l'ensemble de ces lacets successifs. Cette manière de calculer les modules de périodicité permet de comparer les résultats delà méthode de Riemann à ceux que donnent les méthodes de Cauchj [voir Briot, Fonctions abéliennes, Chapitre VI).
64. Dans tout ce qui suit, nous étudierons l'intégrale F(^, u) sur la surface de Riemann simplement connexe T' :¥{z^ u) est alors une fonction uniforme de {z, u) avec ip modules de périodicité. En particulier, toute intégrale abélienne de première ou de seconde espèce admet ainsi ip modules de périodicité. Nous allons étudier séparément ces deux sortes d'intégrales ; mais auparavant nous traiterons un exemple, en appliquant ce qui précède aux intégrales elliptiques de première et de seconde espèce.
Considérons la relation algébrique
où k est une quantité imaginaire quelconque. Nous avons actuellement quatre points de ramification H-i, — i, 4-t» — 7:
{fie' 54)- Nous conviendrons que, dans le feuillet supérieur, on ait pour V = o, z^ = I , et que les deux feuillets se raccordent le long des lignes de passage suivantes : la ligne droite L joignant les points
4-1, — î, et la ligne courbe U joignant les points -}- -,? — t*
La coupure b entoure entièrement les deux points + i et — i dans le feuillet supérieur; la coupure a part du point yo du bord externe de Z>, traverse U, tourne dans le feuillet inférieur autour
des points 4-t et -f- i, traverse la ligne de passage L et revient
aboutir au point a^S en face de ycJ. Nous supposerons le point O, (0,1) placé sur le bord positif de cette coupure b. Tci/? = i (figure analogue aiUiLjig. 4o et 4i)- H y a deux modules de périodicité pour chaque intégrale de première ou de seconde espèce correspondant à la relation algébrique considérée, c'est-à-dire
pour chaque intégrale elliptique de première ou de seconde espèce F(^, w)= //(^, z^) <i^,/ étant rationnel. Soient A et B ces d
eux
Fig. 54.
modules de périodicité le long des coupures a et h^ dont les bords positifs sont marqués des signes -}-. On a
A est donc l'intégrale elliptique considérée, prise de ô en y le long du bord externe de h, ou plus généralement prise dans le sens négatif sur une courbe fermée quelconque entourant les deux points +1 et — I dans le feuillet supérieur. On peut, en particulier, réduire cette courbe à une ligne G infiniment peu différente de la droite — i -{- i, ou à cette droite elle-même parcourue de — i en -f- I dans le feuillet supérieur, puis de + i à — i dans le feuillet inférieur.
La période B étant égale à F([^) — F(v) est égale à l'intégrale prise de y en ^ le long du bord externe de la coupure a, et, par conséquent, à l'intégrale prise dans le sens négatif sur une courbe
fermée quelconque entourant les deux points -+- i et + y , et, en
particuher, le long d'une courbe fermée infiniment voisine du
segment de droite -i- i + | parcouru de i à | dans le feuillet
supérieur, de \ à i dans le feuillet inférieur.
CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l39
Prenons, par exemple, l'intégrale de première espèce Appelons, avec Jacobi, K et îK.' les deux intégrales
prises dans le feuillet supérieur, la première suivant le segment
recliligne de oài, la deuxième suivant le segment i à y» L'intégrale
— j prise de — I à H- i dans le feuillet supérieur, est égale à
2K; si on la prenait de — i à -\- i dans le feuillet inférieur, elle serait — 2K, car les valeurs de u seraient égales et de signes contraires aux précédentes : donc la même intégrale prise de + i à — I dans le feuillet inférieur est 2K et la période A le long de a est 4K. De même, la période B le long de b est 2/K', car l'intégrale de T à I, dans le feuillet inférieur, égale l'intégrale de i à -r
dans le feuillet supérieur.
Prenons encore l'intégrale appelée par Legendre intégrale de seconde espèce,
qui est partout finie à distance finie. Pour des valeurs très grandes de z, on a, dans l'un des feuillets,
Dans le domaine du point ce dans l'un des feuillets, Z(^, u) est donc de la forme
Dans le domaine du point ce, dans l'autre feuillet, on aurait un développement de même forme, obtenu en changeant la valeur de
la constante et le signe de tous les coefficients. L'intégrale Z(^, u) est donc bien de seconde espèce d'après nos dénominations; elle a pour pôles simples les deux points à l'infini dans les deux feuillets. Si l'on pose avec Legendre
les intégrales étant rectilignes dans le feuillet supérieur, on voit, comme plus haut, que les modules de périodicité de l'intégrale Z, le long des coupures a et 6, sont
A =41, B' = 2iJ'.
Remarque. — La courbe G est composée d'une suite de deux lacets ; la courbe G' entourant les points i et -j peut être remplacée aussi par deux lacets partant de O et entourant successivement les points i et t ? comme on l'a montré dans la fig. 53 pour la courbe G' entourant les points e^ et ^2 de cette figure.
6o. Si F(^, II) et F'(^, II) désignent deux intégrales abéliennes composées comme les précédentes à l'aide d'intégrales de première et de seconde espèce, la valeur de l'intégrale
1= fF{z,u)dF'(z, u),
prise dans le sens positif sur le contour de la surface T' de Riemann, a une forme remarquable. Le contour de la surface T' est formé par l'ensemble des bords des coupures. Appelons Aa, B/f les modules de périodicité de l'intégrale F, A'^ et B'^ ceux de F' le long des coupures a^ el'bk'-) nous allons démontrer que l'intégrale 1 a pour valeur
1 = AiB'i — BiA'jH- AsB'a — B2A'2 ~ . . .-\- KpWp—Bpk'p.
En effet, évaluons, dans l'intégrale I, les éléments provenant des deux bords des différentes coupures. Prenons d'abord la coupure a^ , ). un point du bord positif, p le point situé en face sur le
bord négatit. Dans la somme d'éléments I, la partie provenant au bord positif de la coupure a, est {/ig'. Sa)
f F{l)dF'{l),
FÇk) et F'Çk) désignant les valeurs de F et F' au point )v, car le point 1 se déplace de a à y; la partie provenant du bord négatif est de même
/ ¥(p)dF'ip),
car, lorsque z parcourt le système des coupures, sur le bord négatif il se déplace de o en J5 dans le sens indiqué par la flèche. La somme de ces deux intégral es est, en intervertissant les limites de la seconde,
f\a)d¥'a)- f ¥{p)dF'(p).
Maintenant, comme la coupure a une largeur infiniment petite, pour faire varier \ de a à y, il suffît de faire varier p qui est en face de ^ à 8 ; on a de plus
F(X) = F(p)-i-Ai, dF'{l)^dF\p);
donc la somme ci-dessus devient
rV(p)-A,]rfF'(?)- f F{p)dF'(p), c'est-à-dire, en réduisant,
AiJ°^F'(p) = A,[F'(S)-F'(?)].
Mais cette dernière difl'érence F'(o) — F'(j3) est la différence des valeurs de F' aux bords positif et négatif de bt ; c'est donc B'^, et la somme des deux intégrales est A, B'^.
Cherchons de même, dans la somme des éléments I, ceux qui proviennent des deux bords de la coupure bi : nous allons trou-
l42 CHAPITRE m.
ver — B<A'^. Ed effet, appelons encore A et p les deux points opposés sur les deux bords de &< , nous aurons, comme précédemment, les intégrales
r'F()O^F'(X)- f F{p)dF'{p),
sur les deux bords de 6, . Or
et pour faire varier )^ de y à o il suffît de faire varier p, qui est en face, de a à [3. La somme des deux intégrales est donc
/ [F(p) + Bi]^F'(p)-/ F(p)^F'(p),
c'est-à-dire
bJ ^F'(p)-Bi[F'(P)-F'(a)J.
La différence F^(a) — F'(p) est égale à A',, car a est sur le bord positif, p sur le bord négatif de «4 ; donc, l'expression cidessus est
— BiA'i;
en résumé, la partie de l'intégrale I, provenant des bords des deux
coupures a^ et 6i, est
AiB;-BiA;.
De même, la partie provenant des bords des coupures a^^ ^2 est
A2B2 — B2 A'2, et ainsi de suite.
La partie provenant des bords d'une portion de coupure Ck est mille; car, sur les deux bords de c^, les fonctions F et F' prennent les mêmes valeurs et les deux bords sont parcourus en sens opposés. Donc, enfin, I est égal à
AjB'i - BiA'i +.. .-^KpB'p—Bpk'j,.
Le théorème est démontré.
CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l/jS
66. On peut évaluer autrement cette intégrale I. En effet, d'après le théorème de Cauchy, elle est égale à it.î multiplié par la somme des résidus de la fonction
sur toute la surface de Riemann. En égalant ces deux valeurs de l'intégrale I, on a une relation de la plus haute importance entre les périodes.
67. Cette relation, que nous n'écrirons pas ici pour le cas gé néral, prend une forme particulièrement simple quand F et F sont deux intégrales abéliennes de première espèce. Alors tous les résidus de la fonction
„ , , d¥'(z. II)
sont nuls. Tout d'abord cette fonction n'a que des points singuliers isolés, car il en est ainsi de chaque facteur F et ^ . De plus,
dz ^ ^
comme le premier facteur F est partout fini puisque c'est une intégrale de première espèce, les seules singularités sont celles qui proviennent du second facteur. A rinfmi, ce second facteur
-jz est infiniment petit de l'ordre de — ou de [-) ; il en est de
même du produit et le résidu est nul. Le facteur — devient
dz
infini aux points de ramification: au point ^/, il devient infini comme — ^ -, il en est donc de même du produit F ^, et le
résidu est encore nul. Donc tous les résidus sont nuls: l'intégrale I l'est aussi, et l'on a entre les modules de périodicité de deux intégrales de première espèce la relation
AiB'i-B,A;^-A2B', — B, a; +...-!- ApB;,-B^A;, = o.
68. Pour traiter un second exemple où le calcul de l'intégrale I se fait directement, supposons que ¥ {z^ u) soit une intégralede première espèce^ et F' (^, u) une intégrale élémentaire de seconde espèce ayant pour seul pôle le point analytique (a, 6), avec
l44 CHAPITRE III.
un résidu égala i. Nous supposerons (a, b) à distance finie et
distinct d'un point de ramification. On a alors, dans le domaine
de ce point,
F'(^, u) = — ^ hao + a,(^ — rt) +. .-,
OÙ les termes suivant le premier forment une série entière en
- — a. Donc, dans le domaine du même point,
dz {z — ay-
D'autre part, l'intégrale de première espèce F est régulière partout : on a dans le domaine du point (a, 6), par la formule de
Taylor,
oiif{Zj u) désigne la dérivée de F(z, u) par rapport à z, de sorte que
F{z,ii)=Jf{z,u)dz]
y'(^, u) est donc la fonction rationnelle de z et u dont l'intégration fournit l'intégrale de première espèce considérée. Le déve-
dT^'
loppement de F(;^, u) —p au voisinage de (a, h) est, par conséquent,
FC^., ft) fia, h) — -,, — '- r- une série entière;
iz — a)'^ z — a '
ce qui montre que le résidu est — /(«? h\
Tous les autres résidus du produit F(^, u) —,— sont nuls, car,
(XZ
aux points de ramification et aux points à l'infini, F' se comporte comme une intégrale de première espèce, de sorte qu'à l'infini
d'F' ■ n • • Il • T .^
-^ est mtimment petit comme — ou -^ et, en un point de ramifi- ** ^ z^
cation ei à distance finie, infini comme • La fonction F -^—
\/z-ei dz
n'ajant qu'un résidu non nul, — f{a^ b), l'intégrale I est égale à
— 2Tuf{a, b) et l'on a, entre les modules de périodicité des deux intégrales F(^, u) de première espèce et¥'{zj u) de seconde es-
CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l45
pèce avec le pôle simple («, //), la relation Al B; — Bi a; -+- AaB'a — Bg A'g -^ . . . + ApB^ — Bpk\, = — iT.if{a, b).
Nous n'examinerons pas comment il faut modifier le second membre quand le pôle (a, b) de l'intégrale de seconde espèce se trouve en un point de ramification ou à l'infini : on doit alors
calculer le résidu R du produit ¥{z, u) - — -^ — en ce point et
mettre dans le second membre, au lieu de — iT.if[a^ 6), le produit 27:/R.
69. De même que le théorème de Gauchj, la formule de Riemann relative à l'intégrale / ILdY peut être étendue aune surface à deux feuillets.
Soit ^(^, ?^) = X+ iY une fonction uniforme du point analytique (^, «), régulière en tous les points d'une portion simplement connexe S de la surface de Riemann, limitée par un contour G. U intégrale j HdY, prise le long du contour total G
dans le sens direct, a une valeur positive.
L'aire S peut s'étendre à l'infini et contenir des points de ramification. S'il en est ainsi, imaginons qu'on détache les points de ramification en entourant chacun d'eux d'un petit cercle et enlevant la portion de surface intérieure à ce petit cercle, et qu'on enlève de même les portions de cette surface extérieure à un ou deux cercles de rayons très grands. On déduit ainsi de S une nouvelle surface S' située tout entière à distance finie et ne renfermant plus de points de ramification. Gette surface S' peut être décomposée par des lignes auxiliaires, en morceaux n'appartenant qu'à un seul feuillet, à chacun desquels on peut appliquer la formule de Riemann. En faisant la somme des égalités obtenues, les portions d'intégrales provenant des lignes auxiliaires se détruisent
et Ton voit que l'intégrale / X<iY, prise le long du contour total
de S' dans le sens direct, est égale à l'intégrale double
ifm-m]'"-
étendue à Faire totale S'. Le contour de S' se compose d'abord du A. ET G. Jo
j46 ciiAPiTi'.E m.
contour primitif C et en outre des petites circonférences qui entourent les points de ramification et des grandes circonférences
que l'on a ajoutées pour limiter S'. Les intégrales / X<^Y provenant de ces lignes sont infiniment petites. Par exemple, lorsque (g, u) vient en un point de ramification (et, o), le point X + iY vient en un point A + Bi à distance finie; au petit cercle décrit autour de (e/, o) sur la surface de Riemann correspond, sur le plan où l'on représente X + /Y, un contour fermé infiniment
petit entourant le point de coordonnées A, B. L'intégrale / X clY
le long du petit cercle est égale à l'aire balayée par le rayon vecteur joignant le point (A, B) au point (X, Y). Donc, la valeur de
l'intégrale / X dY le long du petit contour entourant le point et est
infiniment petite; on peut la supprimer sans altérer le signe de
l'intégrale totale / X^/Y étendue au contour de S^ De même,
quand le point [z^ u) vient en un point à l'infini, le point X h- iY vient en un point (A, B) à distance finie. Quand {z, u) décrit sur la sphère un contour fermé infiniment rapproché du point O^ ou dans le plan un contour formé d'un ou deux cercles de rayon très grand, le point (X, Y) décrit dans le plan représentatif de X + iY une courbe fermée infiniment petite autour du point
(A, B). La valeur correspondante de l'intégrale / X <fY est égale à l'aire de cette courbe fermée, elle est donc infiniment petite et sa valeur n'influe pas sur le signe de l'intégrale totale / X dY étendue à
tout le contour de S'. L'intégrale / X <iY étendue au contour pri-
dc
mitif ne différant de / X <iY, étendue au contour auxiliaire, que
par des intégrales infiniment petites, ces deux intégrales ont le même signe, et le théorème est démontré.
70. Faisons l'application de ce théorème aux intégrales abéliennes de première espèce. Soit F(;^, u) une intégrale abélienne de première espèce; c'est, sur la surface simplement connexe T' limitée par les bords du système de coupures a^, 6/,, Ch une
CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l47
fonction partout régulière. Si donc on pose
F{z, u) = \^iY, l'intégrale
IxdY
étendue au contour de la surface de Riemann tout entière T', c'eslà-dire prise le long des bords des coupures, est positive. Soient
A A- = oc/, -r- fa'^., Ba- = 1^/, -H 1 8^.
les modules de périodicité de F(^, u) sur les coupures <7a, 6a, en mettant en évidence les parties réelles et imaginaires. Alors, sur les deux bords X et p d'une coupure «a, on a
F(X)-F(p) = Aa-, c'est-à-dire
X(X) - .-YO) - X(p) - A'(p) = aA.-^ .-a;-,
en appelant X( a), Y(a), ... les valeurs de X et Y au point )., . . .. On a donc
X(X) - X(p) = aA-, YfA) - Y(p) =. a'^.;
de même sur les bords de b/^^
Sur les bords des portions de coupures c/j, ces différences sont nulles. D'après cela, l'intégrale
J = / X dX
prise dans le sens positif le long des bords des coupures a pour valeur
J = 3fi ^3', — ^1 a'i — a, ^2 — 1^2 3t 2 -4- ... + oLp ^'p — 3y, a;, ;
c'est ce qu'on voit en répétant identiquement le raisonnement du n*^ 65 qui nous a donné la valeur de l'intégrale
fF{z,ii)dF'(z, u),
avec les conditions
F(X)-F(p) = Aa., F'(X)-F'(p)==A'a.
l48 CHAPITRE III.
sur les coupures «a, et
sur les coupures b^, les mêmes différences étant nulles sur Ch-
Donc, pour une intégrale quelconque de première espèce, la quantité J est positive. Il est, en particulier, impossible que toutes les quantités a^, a2, ..., a^, a',, ..,, a^^ soient nulles en même temps, c'est-à-dire que Ai, A2, ..., Ay, soient tous nuls. On peut faire la même remarque pour Bi, Bo, . . ., B^.
Par exemple, pour l'intégrale elliptique de première espèce que nous avons considérée au n" 64, les deux modules de périodicité correspondant aux deux coupures a el b (p ^= i) sont
A = 4 K = a -H ia', B = 2 iK' = ^ + i^'. On a alors
ce qui démontre que, dans le rapport -^, la partie réelle est positive; on a, en effet,
K ia — a' a'-^-i-a'-
71. Intégrales normales de première espèce. — Nous avons trouvé qu'il existe /> intégrales de première espèce linéairement indépendantes
Nous appellerons
Aa-i, Ax-2, .-., ^kp,
Bai, Ba-2, . . . , ^kp
les modules de périodicité de Wk le long des coupures a^.a^, . ■ ■ . ap et 6i, 62, . .., bp.
Posons, en désignant par k un des nombres i, 2, ...,/?:
Aj, Ào, . . . , X^ étant des constantes. La fonction w^^'^ est aussi une
intégrale de première espèce : ses modules de périodicité, que nous appellerons
«Al, Clkïj •••, «A/^, ^Al, ^A-2; ^A-pj
sont donnés par les équations
«Al = ^^1 An -t- X2A21 — . . . ^ Xpkpx^
«A^ ^= ^lAi2 "+~ A2A22 --' . . . -r- Ap\p->,
«A7J= ^1 Aiy,-T- X2A2/,
^P App,
/ ^^;;.i ^^ XiBh + X2B21 -- . . . -I- XpBpi, ) 6a-2-XiB,,-+-X2B22-|- ... -^XpBp2,
' ^A-p= XlBjp-i- X2B2P-7- ... -i- XyjBpp.
Tout d'abord, le déterminant des modules de périodicité A^ ^
An,
• ? Api
Ai/j,
• • 7 App
est différent de zéro. En effet, s'il était nul, on pourrait déterminer les constantes )h i ^^2, • - • ? ^^p de telle façon que les modules de périodicité ak\ , «as, • • - ' ciup donnés par {^) fussent tous nuls à la fois. Car on aurait, pour déterminer les constantes \^p équations linéaires et homogènes à p inconnues, le déterminant des coefficients étant nul : on aurait au moins un système de valeurs des \ non nulles toutes à la fois. Mais alors la fonction ^v^^^ {z, u) serait ime intégrale de première espèce pour laquelle tous les modules de périodicité relatifs aux coupures ai, ag, . . .^ap seraient nuls, ce qui est impossible, comme nous l'avons vu à la fin du numéro précédent.
Le déterminant A n'étant pas nul, nous déterminerons les X en écrivant que, dans l'intégrale w^^\ tous les modules de périodicité relatifs aux coupures a sont nuls, excepté celui qui se rapporte à la coupure Uk et que nous ferons égal à irù,
'^kh
0, {hXk)
cikk
IJO CHAPITRE III.
JNoiis aurons ainsi, pour déterminer À<, A2, • • • » ^/?? un système de p écfuations linéaires à/? inconnues, le déterminant des coefficients étant différent de zéro; nous trouverons pour les \ un seul système de valeurs. L'intégrale \v^^\z^ii)^ ainsi déterminée, est une intégrale normale de première espèce. Comme l'entier k a une quelconque des valeurs 1,2,...,/?, nous formerons de cette manière/? intégrales normales de première espèce
pour lesquelles tous les modules de périodicité relatifs aux coupures a sont nuls, excepté :
Pour w^i' le module a^ — iTzi,
Pour w^2) „ ^^^__27ri,
Pour (v^^-^ » «/,7c = 2 71^",
Pour (p(/^^ » app='2T.i.
Les intégrales \v^^\ (v^-\ ..., w'^P^ ainsi formées sont encore linéairement indépendantes, car s'il y avait entre elles une relation linéaire à coefficients constants \k^^ jjio, . . . , ui^ de la forme
^x^w^i) -1- [^2^(2) 4 . | r^XpW^P^ — const.,
tous les modules de périodicité du premier membre seraient nuls. Or le module de périodicité du premier membre sur la coupure a^ est 2u.i7Zi, carie module de (V^^^ est '>.tù et ceux de w^'^\ . , ., w^p^ sont nuls. On aurait donc jj-i — o. De même, en écrivant que les autres modules de périodicité sur les coupures a^, ...,ap sont nuls, on aurait
[a, = 0, [^3 = 0, . . . , ]Xp = o.
Il n'y a donc pas de relation de la forme supposée et les w^^^ sont linéairement indépendantes.
72. Les intégrales normales ainsi formées admettent le long des coupures />< , Z»o, . . ,,bp des modules de périodicité, qui sont, pour l'intégrale w^^\ bj,,, ^ao, . . . , b^p. Ces modules de périodicité étant
CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l5l
rangés en un tableau dans lequel les différentes lignes sont respectivement les modules de iv'^^K w^-K . . . , w^p^
bn. bi2. .... bip bi\i ^22r • • • . b^p
i bpi, bp2 bpp
forment un déterminant symétj^ique : c'est-à-dire que Ton a
bjik = bkh-
Pour démontrer cette importante propriété, appliquons aux deux intégrales w'^^^ et w'^^^ la relation générale établie au n*" 67 entre les modules de périodicité de deux intégrales de première espèce F et F'
AiB'i — BiA'i-^AaBo — B.A; -\- . . . -^ P^pWp -BpX'p = o. Nous aurons, d'après les notations actuelles,
(6) «/il 6/,i — bja a/,1 ~ a/i2 b^z — ^A2«a-2 -t- • • . -f- a^pb^p — bjipaj^p = o ;
mais tous les modules a sont nuls, excepté ceux qui ont les deux mêmes indices akk et a^, qui sont tous deux égaux à irJ. Il ne subsiste donc dans la relation (6) que les deux termes suivants :
ahhbkh — b/ikCf^kk = o et. comme
il reste
i>hk = bjcht ce qu'il fallait démontrer.
73. Comme résumé de ce qui précède, formons le tableau des modules de périodicité des intégrales normales de première espèce. En vue de la suite, il est plus commode de mettre en évidence dans les modules de périodicité bhk ^m facteur 2 en
posant
bhk = 'i^/ik'
la condition bhk^^kh entraîne alors évidemment :x.hk = ^kh'
CHAPITRK m,
Nous aurons le tableau suivant, où sont inscrits sur une même ligne horizontale les modules de périodicité de chaque intégrale pp(o^ ^(2)^ ^ ^ ^^ -^^ip) Qi g^J. ^^j^g même colonne les modules relatifs à chaque coupure a/i ou bk.
