TABLEAU DES PERIODES

2TC \l— I

2Ti: \/— I

avec la condition a^/^ = a^;^.

74. Voici une dernière propriété des modules de périodicité relatifs aux coupures b.

Le déterminant

«jolj «p2j • • • 5 «/;/^

est le discriminant de la forme quadratique

P F *ï> ( JUi , ma, . . . , nip ) = ^ ^ ^hk nij, m/, = a^ mf h- . . . h- 2 aia mi ma -^ .

Séparons, dans les modules de périodicité, la partie réelle et le coefficient de y/ — i

^hk = ^hk + "J-hk si - i et posons

<j;(mi,m2, ...,m/,)=2^a;;^m^m;ti

nous avons

*(mi, . .., nip) = cp(m,, . . ., nip) -^ ^ — i 'l{mi, .. .,mp)^

'Z){7ni, . . ., nip) et 6(/?i,, . . ., nip) étant des formes quadratiques à coefficients réels. Attribuons aux indéterminées m^, m.2, ---t rrip des valeurs réelles et appliquons la formule de Riemann (n" 70)

^(av?;-a;^j >o

à l'intégrale de première espèce

On a ici, en mettant en évidence les parties réelles et imaginaires des modules de périodicité de W,

\!j = 2 ( nii %'l., — ma a'^^ — . ■ . -t- rUpT.'')

/'^ ^ d/?iv

et la formule de Riemann devient

1 -T-^ H- . . . H- mj3 -— ^ = 4 -? /«i, • • • . '^^/j) < ^• diiiY ^ àmpj

La forme quadratique cp(/?i,, ..., m^) est donc négative pour toutes les valeurs réelles des indéterminées /??, , mo, . . . , nip. C est une forme définie et négative.

Cette propriété^ qui est la généralisation évidente de la propriété rappelée plus haut pour le rapport des périodes de l'intégrale elliptique de première espèce, est fondamentale pour Finversion. Pour le moment, nous en déduirons seulement la remarque suivante. Il peut se faire que les ip périodes de quelques-unes des intégrales de première espèce se ramènent à un moindre nombre; mais cela ne peut avoir lieu en même temps pour les ip systèmes de périodes simultanées des p intégrales de première espèce. En d'autres termes, il est impossible d'avoir, entre les

l54 CHAPITRE III.

ip périodes A4 , Ao, . . . , A^, B, , . . . , B^ de chaque intégrale de première espèce, une relation de la forme

mi Al + . . . -f- nip Ap -1- /Il Bi -+- . . . H- Zip B/; = o ,

m^^ ...,77ip, ?if, . . . ^ ?ip étant des nombres entiers, la relation devant être la même avec les mêmes entiers pour toutes les intégrales de première espèce. En effet, s'il existait une pareille relation, on aurait en particulier pour l'intégrale normale w^^^(z, u)

p 1 nth-K \J— I H- 2 \^ rik^hu — o

ou, en prenant la partie réelle,

/ / , do

2nia/,i -f- 2n2a/^2 + ...-+- iripa'j^ij = —^ =:= o.

On aurait pareillement

et par suite '^{ji\, . . . , /^^) = o, ce qui est impossible.

75. Intégrales normales de deuxième espèce. — • Soit Ç(^, u\ a, U) une intégrale élémentaire de deuxième espèce avec le seul pôle simple (a, b) de résidu i. Soient A4, Ao, . . ., A^; Bi, Bo, . • ., Bp ses modules de périodicité. L'intégrale

Z — t{z, u\a^h)-\- Vi w^i^-f- V2W^2) . . . -i v^np(y>)

est encore de deuxième espèce, quels que soient les coefficients constants Vi, Vs, ..., v^. Nous déterminerons ces coefficients en écrivant que les modules de périodicité de Z le long des coupures a sont tous nuls. Nous aurons ainsi

Ai+ 2Vi7rf = o, A2+ SV^TTf = o, ...,

car le long de a^ le module de périodicité de Z est k^ + 2V|7ri, celui de w^"""» étant iizi et ceux de w^-\ ..., w^P^i étant nuls. L'intégrale Z , ainsi formée , a le long des coupures h^ , b^, .-., bp des modules de périodicité B'^ , B^, . . . , B' , les modules A'^, ..., A^ étant tous nuls : c'est l'intégrale normale de

deuxième espèce. Les modules de périodicité B, , . . . , B^ de cette intégrale ont des valeurs remarquables que Ton trouve comme il suit.

Associons cette intégrale Z à l'intégrale normale de première espèce

et appliquons à ces deux intégrales la relation du n°68, établie pour une intégrale quelconque de première espèce et une intégrale élémentaire quelconque de deuxième espèce. Cette relation est

(7) AiB; — Bi a; -+ AoB; — B.2 a; ^...~ A;,b;,— b^a;, ^—lirj^a, b),

f{a^ b) étant la valeur que prend la dérivée de l'intégrale de première espèce considérée au pôle («, b) de l'intégrale de deuxième espèce, valeur qui, dans la notation actuelle, est Ok(a, b). La relation (-) se simplifie beaucoup, car : i° les modules de périodicité A', , A.,, .... A' de Z sont tous nuls ; i^ les modules de périodicité A,, Ao, . . . , A^ de l'intégrale normale (v^^' sont tous nuls, excepté Aa ou akk, qui est égal à 2r.i. Il ne reste donc qu'un terme AaB^^c dans le premier membre de (7\ et Ton a

\/,B'/^.:^ — iiT.Of,(a, b);

d'où, comme A/,= 2^7:,

Ainsi, pour l'intégrale normale de deuxième espèce, les modules de périodicité relatifs aux coupures a sont nuls, et ceux relatifs aux coupures b sont respectivement

— oi(a,b), —02{a,b), ..., —Qp{a,b).

Nous avons supposé que (a, b) n'est pas un point de ramification, ni un pointa l'infini. S'il en était autrement, il faudrait dans le second membre de la formule (7) remplacer o^(a, b) par le

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résidu du produit

dZ{z, u)