W^'''{Z, II

au point (a, b).

Il est intéressant de remarquer que les modules de périodicité de l'intégrale normale Z de deuxième espèce sont des fonctions rationnelles de (a, b) : cela résulte de l'expression même que nous venons de trouver pour ces modules de périodicité. On peut s'en rendre compte a priori en se rappelant que l'intégrale élémentaire de deuxième espèce, Ç étant une fonction rationnelle de (<2, b), comme nous l'avons vérifié (n° 46), ses modules de périodicité, qui sont les différences des valeurs de l'intégrale aux deux bords d'une coupure, sont des fonctions rationnelles de (a, 6). Les coefficients Vi, Vo, ..., v^, définis plus haut, sont donc aussi rationnels en (a, b) et, par suite, l'intégrale normale Z est une fonction rationnelle de (a, b) et a pour modules de périodicité des fonctions rationnelles de (a, b).

76. Les considérations précédentes ne s'appliqueraient pas sous la même forme aux intégrales hjperelliptiques de troisième espèce, car ces intégrales,, à cause de la présence des points singuliers logarithmiques, ne sont pas des fonctions uniformes de leur limite supérieure sur la surface découpée T^ de Riemann. Mais elles deviennent des fonctions uniformes de leur limite supérieure si l'on modifie la surface T^ de façon à exclure les points critiques logarithmiques. C'est ce que nous allons démontrer en détail pour l'intégrale élémentaire de troisième espèce (n° 35)

f f{z,u)dz.

Cette intégrale est régulière en tous les points de la surface primitive T de Riemann, excepté aux deux points (a, b) et (a', U). Dans le domaine du point (a, 6), elle est de la forme

Txi{z, II) —- — log(z — a) -h fonction régulière;

dans le domaine du point (a', 6'), de la forme

Trf(2, II) — log(s — a') -\- fonction régulière.

Si l'un des points, (a, b) par exemple, coïncide avec un point de ramification e/, il faut remplacer dans la première expression z — a par ^z — ei; si (a, b) est un point simple à l'infini, il faut remplacer z — a par -; enfin, si (a, b) est un point de ramification à l'infini, z — a par -— • Dans tous les cas, d'après les défini-

tions posées précédemment^ la fonction rationnelle /(^, u)^ dont rn{z, II) est l'intégrale, a, sur la surface de Riemann, tous ses résidus nuls, excepté les résidus relatifs aux points (a, b) et (a^, b'), qui sont respectivement — i et + i. La valeur de l'intégrale

f{z, u)dz,

prise dans le sens positif sur la limite du domaine du point (a, 6 }, est égale à — 2.T,i, et, sur la limite du domaine du point (a', 6'), à -t- 2 7:;.

L'intégrale tj5(z, u) n'est pas une fonction uniforme de (^, u) sur la surface de Riemann P, rendue simplement connexe par les coupures «a, bk, Ck- Pour obtenir une surface sur laquelle elle soit uniforme, il faut transformer la surface T' par le procédé suivant.

Marquons sur la surface de Riemann {Jig. 55) les points (a, b) et («', b') que nous supposons pour fixer les idées dans le feuillet supérieur en des points ordinaires. Partons d'un point (a, 3) du bord d'une des coupures de T', de ap par exemple, et faisons dans un

Fis. 55.

feuillet de la surface de Riemann une fente / aboutissant au point (rt, 6), sans franchir aucune coupure, puis une nouvelle fente m de {a, b) à {a' , b'), sans franchir aucune coupure. Dans la Jig. 55, nous avons élargi cette fente dans le voisinage des

l58 CHAPITRE III.

points («, /;) et {a' , b')^ de façon que ses bords prennent la forme de deux petites circonférences o- et o-' de centres (a, h) et (r/, 6') ; mais il est supposé que la largeur de la fente et les rayons de oet 0-' sont infiniment petits. Gomme nous l'avons fait précédemment, pour les coupures, nous distinguerons le bord positif et le bord négatif de cette fente /+ 7n. Soient 0 et x les points où les bords du petit cercle a-' rencontrent les bords de la fente m : nous choisirons les bords positifs et négatifs de m de telle manière qu'un mobile parcourant la circonférence a-' dans le sens positif autour de (a', 6') (sens contraire de la flèche) conduise du bord négatif de m au bord positif. Le bord négatif est donc celui qui aboutit en X, le bord positif celui qui aboutit en Q. Le bord négatif de la fente m -\- l se prolonge ensuite, par continuité, de x jusqu'en p, et le bord positif de ô en a. On a marqué du signe 4- et de la lettre "k le bord positif, la lettre p étant mise en face de A sur le bord négatif.

Désignons par T" la nouvelle surface de Riemann déduite de la surface T', en ajoutant au système de coupures <2^, Z>/f, c/i la fente l-^ m, qui n'est qu'un prolongement du bord positif de la coupure ap. Le contour de cette surface simplement connexe T" est formé par les bords des coupures cik, bk, Ch et de la fente /-t- m. Si un mobile décrit le contour de cette surface T'' dans le sens positif (aire enveloppée à gauche), il parcourt les bords des coupures a^, b^^ ca, comme dans la fig. 5o, avec cette seule différence que, lorsqu'il arrive en a sur le bord positif de la coupure cip {fig. 55), au lieu d'aller directement en ^ et de continuer, il va de a en o, s, 0, le long de la fente / ^- m, puis revient par G , T., 7|, V jusqu'en p, d'où il continue son mouvement comme auparavant.

Revenons maintenant à l'intégrale

^a,'/. '(-^' ") = / f{^, U)dz.

Sur la surface simplement connexe T% la fonction rationnelle f{z, II) est uniforme et n'a que des résidus tous nuls, car la fente l -^r m a précisément supprimé les seuls points (a, b) et {a', b'), où les résidus n'étaient pas nuls. L'intégrale m{:z, u) est donc une fonction uniforme du point analytique {z, u) sur la

surface T'^ de Riemann. Si l'on compare les valeurs qu'elle prend

aux points correspondants des deux bords d'une coupure, on

trouve, en répétant identiquement ce qui a été dit au n° 63

pour les intégrales de première et de deuxième espèce, les résultats

suivants. La différence ^(a) — ^(p) ^ "ne valeur constante le

loDg de chacune des coupures «a. 6a, Ch et des fentes l et m.

On a

Le long de «a-, tîî(X) — ^(p) = ^^k I

Le long de 6a-, t!t(X) — Tn(p) = llbA- \

Le long de c/j, w(l) — rjs(p) = o;

Le long de /, ^0') — ^(p) = -Cj

Le long de /??, Tn{X) — vj(p) = DTL.

Les constantes A^a? '^''^à- sont les modules de périodicité de l'intégrale de troisième espèce w sur les coupures «a et ^a- Nous allons déterminer les valeurs des constantes S^ et OIl, et montrer que

J^= o, Ole = 2t:î.

En effet, commençons par DTl; cette constante est la valeur de la différence tjsO.) — ^(p) le long de la fente m : on a donc en

particulier

Oit = m{f)) — cî(x),

ce qui montre que DTi, est la valeur de l'intégrale 1 f{z^ u)dz,

prise de x en 0 le long d'un contour quelconque ne franchissant aucune fente ni coupure, par exemple le long du cercle a-' dans le sens positif autour de («', b') (sens contraire de la flèche sur la fig. 55). Or cette intégrale est égale à 27:1 multiplié parle résidu de/(^, u) au point (a', b')^ qui est i. Donc Olu est bien égal à 2-/. On a ensuite

.C-nT(5)-C0(v);

-Ç^est donc la valeur de l'intégrale / f{z^ u)dz, prise dey en 0 sur un contour quelconque G, ne franchissant aucune coupure ni fente, par exemple sur le contour yo-TiX^GîTO : le contour doit être regardé comme fermé, car o est infiniment voisin de y. D'après le théorème de Gauchj, celte intégrale est égale à 2-/

l6o CHAPITRE III.

multiplié par la somme des résidus de /(s, u) relatifs aux pôles situés dans le contour d'intégration que nous venons d'indiquer : les deux seuls pôles situés dans ce contour sont les pôles (<2, 6), (a\ b') avec les résidus — i et + i dont la somme est nulle. Donc 4^ est bien nul. ^

On peut donc dire que l'intégrale élémentaire de troisième espèce admet ip -h i modules de périodicité,

cAai, oRfl,, . . . , cilojy sur les coupures afc\

2 7ri sur la fente m.

Si l'on supprimait le système des coupures et des fentes, l'intégrale nT(^, u) ne serait plus une fonction uniforme de (^, u) sur la surface T de Riemann. Elle prendrait en chaque point (^, u) une infinité de valeurs qui se déduisent toutes de l'une d'elles par l'addition et la soustraction des 2/?+i modules de périodicité. Ainsi, l'une des valeurs étant tj5^ (^, u)^ la valeur la plus générale de l'intégrale sera

TÀ5{z, u) = mi{z, u) -+- nii JUi -+- m2<Jl£)2-4- ... -h mpA>p

+ /Il lILl ^ 712 1112 + • • • + 'î/j lAîp -4- 2 71 t: i,

in^ , wzo, . . . , nip, /11, 712, ' • 1 rip., n étant des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls. C'est ce qu'on voit, comme précédemment, pour les intégrales de première et de deuxième espèce (n" 63).

Nous avons fait la figure en supposant que les points («, Z>), {a! ^ h') sont des points ordinaires à distance finie. D'après les définitions données du domaine d'un point quelconque de la surface de Riemann (n°46-17), on sait comment il faut modifier les cercles a- et a-' formant les domaines des points (a, 6), (a', h'), quand l'un ou l'autre devient un point de ramification ou s'éloigne indéfiniment. Nous avons figuré dans l'angle de la fig. 55 la nouvelle forme ^\ que devrait prendre cr' si le point (a', h') était un point de ramification ei.