Intégrales normales de troisième espèce. — Posons

(5, u) = î^«''^*' {z, U) + Xi W(l) + X2 W(2) i. . .+ \ wkp)

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l6l

)v, , Àoi • • -, ^^/j étant des constantes et (V^'\ iv^-^^ . . . , w^p^ les intégrales normales de première espèce. Cette intégrale II est, comme TU, une intégrale de troisième espèce. Pour obtenir l'intégrale normale de troisième espèce, on détermine les À de telle façon que les modules de périodicité de n le long des coupures a, , ao, . . . , ap soient nuls. Le module de périodicité de H le long de «a- est

car celui de m est ^l,A, et les modules de périodicité de tv^'^, (v^^)^ ^ iV^P^ sont tous nuls sur «a, excepté celui de {V^^\ qui est ir.i. On déterminera donc les X par les conditions

cW- -r- 2 Xyt - t = G (A- = I, 2, .. .,/>).

L'intégrale H ainsi obtenue est Vintégrale normale de troisième espèce avec les deux points singuliers logarithmiques (a, b) ei{a',b').

Cette intégrale admet encore les modules de périodicité suivants :

Sur b};, le module de périodicité IJlj'yt, Sur m, le module de périodicité i-i,

car, sur les deux bords de m, les intégrales w^'\ (p(-\ ..., w^P^ prennent les mêmes valeurs.

78. Les modules de périodicité oJb'^ ont des expressions remarquables. Pour les obtenir, considérons l'intégrale

Jj„ dz

oij w est une intégrale quelconque de première espèce, l'intégrale H étant prise dans le sens positif sur le contour de la surface T", contour formé par les bords des coupures a>;, hk-^ Ch et des fentes / et m. La fonction

dW

est uniforme sur la surface T" et a tous ses résidus nuls. En effet, les deux facteurs sont uniformes. Le premier est partout fini; le

l62 CHAPITRE III.

deuxième a tous ses résidus nuls, car l'intégrale II ne devient infinie qu'aux deux points (a, h) et («', 6'), qui sont exclus de la

surface T". Le produit {v -r- di donc bien tous ses résidus nuls,

et l'intégrale H est nulle. Nous allons évaluer directement cette intégrale.

Le contour de T'^ est formé du contour de T' (bords des coupures cik, bk, c/i), des bords de la fente /, des bords de la fente m et des bords des circonférences a- et a-' {Jîg- 55). L'intégrale H peut donc être divisée en cinq parties, l'une relative au contour de T', l'autre aux bords de /, la troisième aux bords de m, les deux dernières aux circonférences a- et a-', et l'on a, en désignant par les indices T', /, m, <j, a-' ces cinq parties,

Jt '"" ^^ " "^ J/ "*" .L "^ X "^ X'

La deuxième de ces intégrales est nulle : en effet, sur les bords de la coupure /, les deux fonctions iv et -^ prennent les mêmes valeurs et ces deux bords sont décrits en sens contraire : la somme des éléments relatifs aux deux bords de /, c'est-à-dire la deuxième intégrale, est donc nulle. On voit de même que la troisième de ces intégrales, celle qui est relative aux bords de m, est nulle. L'intégrale relative à la circonférence infiniment petite (t' décrite dans le sens positif par rapport à son extérieur T" (sens de la flèche) est égale à — itu multiplié par le résidu de la fonction intégrée

w -ji au point (a', h') : en effet, cette circonférence a-' entoure le domaine du point {a'^b') et dans ce domaine w{z^u)ç.si fini, -j- admet le seul pôle z =i a' . Evaluons le résidu de iv ^-r- au point (a', b') : on a dans le domaine de ce point

aj, ao, . . . étant des constantes.

dz

Po+?,(^-a')+P2(^-«')'

Po> Pn ••• étant des constantes. Dans le produit w -^, lecoeffî-

dz

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. î63

cient de , ou le résidu est donc (v(a', 6'). On vérifiera d'après

les définitions données que ce résultat est général et a encore lieu quand (rt', h') est un point de ramification ou un point à distance infinie. L'intégrale

w —r- az

est donc égale à — 2iTnv(a', b'). De même l'intégrale affectée de

cm

dz

l'indice a- est égale à 2iT.iv(a, b), car le résidu de -r: an point («, b)

est — I . L'équation (8) nous donne donc

J tp — c?-3 — 2i-[w{a',b') — w{a,b)]=o j. az

où il ne reste plus qu'à évaluer la première intégrale. Mais le calcul de cette intégrale est identique à celui qui a été fait (n° 6o) pour le calcul de l'intégrale appelée I, sauf le changement des intégrales F et F' en iv et II. Appelons A;t, B/f les modules de périodicité de w, 'X'f^^ iiî))^ ceux de II le long des coupures a/i et b/,- : l'intégrale I iv -Tz dz a pour valeur, en vertu du calcul du n'' 65,

A,Di,; - Bi .1,; -h AaDi; - B2 Ao'o + . . .-T- A^,\)i,;,- Bp.l,;,;

mais, comme II est l'intégrale normale de troisième espèce, les modules de périodicité z\,\, ^l.'.-,, . . ., <yl,' sont nuls (n'' 77) et la relation (9) s'écrit

(10) AïOll)'! -I- AaDb'a-F. . .-i- AplPo^;— 2«-[(p(a', b')— w{a, b)] = o.

Jusqu'à présent nous avons supposé que w est une intégrale abélienne quelconque de première espèce. Supposons en particulier que ce soit une intégrale normale w^^K Alors tous les modules de périodicité A,, Ao, . . ., A^ de cette intégrale relatifs aux coupures a sont nuls, excepté A^ qui est égal à 27:/. La relation (10) devient donc, en remplaçant w par tv^^^,

Q. T. i ^SVk —irJ[ w'^-^ ( a', b' )— w^f^-\a, b)]= o,