CHAPITRE III. — CONNEXION DES SURFACES, ETC

formule qui donne enfin la valeur de ill));.,

En résumé, les modules de périodicité de l'intégrale normale de troisième espèce U'^^'j^' sont

Le long de «/. o,

Le long de 6/. w^^^a', b')— w^^^'^ (a, b),

Le long de m iTzi.

Nous ne poursuivrons pas plus loin, pour le moment, l'étude particulière des intégrales hjperelliptiques. Nous avons voulu seulement développer, sur un exemple simple, la conception de Riemann, avant d'aborder la théorie générale des fonctions algébriques.

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE

LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE ET LES SURFACES DE RIEMANN CORRESPONDANTES (»).

Continuité des racines d'une équation algébrique. — Points singuliers. — Méthode de Puiseux. — Surfaces à m feuillets. — Point analytique. — Propriétés générales des fonctions uniformes sur une surface de Riemann.

79. Nous supposons connues les propriétés élémentaires d'nn polynôme entier par rapport à une variable «, et en particulier le théorème fondamental de la théorie des équations.

Tout polynôme de degré m en u, à coefficients quelconques,

P ( w) = Ao zi'" ^ Ai u'«-i -h . . . -h A,n est décomposahle en un produit de m facteurs linéaires

P{U) = Ao( W Ui){u— Ui) . . .{u — ll,n)'

Il résulte immédiatement de cette décomposition que la variation de V argument du polynôme P(«), lorsque u décrit le contour d'une aire dans le sens positif, est égale au produit de it, par le nombre des racines du polynôme comprises dans cette aire, chaque racine étant comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité. Car l'argument d'un facteur // — Ui revient à sa valeur initiale si le point ui est à l'extérieur de l'aire considérée et augmente de 27: si ce point est à l'intérieur de l'aire. On suppose cette aire limitée par une seule courbe.

(') Auteurs à consulter : Puiseux, Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques {Journal de Liouville, t. XV). — Briot et Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodigues, Liv. I.— Simart, Thèse de Doctorat.— E. Picard, Traité d'Analyse, t. II.

SoitF(::. u) un polynôme entiei* à deux variables z et u^ de degré m en u^ qui, ordonné par rapport à u^ s'écrit

F{Z, u) = Oo{z)-^ UOi{z)-r-...-r-U'

les coefficients 'f/(^) étant des polynômes entiers en valeur de :r. l'équation

A une

fait correspondre m valeurs pour u, à moins que le polynôme-. Om{^) ne soit nul pour celte valeur particulière de z. Ces m valeurs de u varient en général avec .3 d'une manière continue. C'est ce qui résulte du théorème suivant :

Si pour z= a l'équation (2) a n racines égales à 6, pour une valeur de z voisine de rt, elle a n racines vçisines de b.

En remplaçant :; par a -j- z, el u par b -\- u, on est ramené au cas où, pour ^ =: o, l'équation a n racines nulles. Les polynômescpo(^), 'f I (^)j • • • T ?«-< {^) sont tous nuls pour ^ = o, mais 'fn(oX n*est pas nul. L'équation (^1) peut s'écrire .

en posant

On-^-l

^ On U"-

?n-hi

lini-n

Du point ^ = o comme centre, décrivons une circonférence de rayon p laissant à l'extérieur toutes les racines du polynôme o,t{z). Soit A une limite inférieure du module de o,,(w) et B une: limite supérieure du module des polynômes o«^, (^), . . . , 'f mV^) lorsque z reste à l'intérieur de ce cercle, de telle sorte que l'on a, lorsque |:j| <; p,

Si l'on prend pour z un point à l'intérieur de ce cercle et pour u une valeur dont le module r est inférieur à l'unité, on a

|Pi<X('-

CHAPITRK IV.

l'unité décrit du point ç = i comme centre. Cette courbe ne peui donc contenir l'origine à son intérieur, et l'argument de v revient à sa valeur initiale. Par suite, l'argument de F(^, u) augmente d^ 2/?.-; l'équation F(z, u) = o a donc bien n racines de module inférieur à r lorsque le module de z est inférieur à p^

80. Si, en particulier, Inéquation (2) a une seule racine égale à b pour z = a, elle admet une seule racine voisine de 6, pour une valeur de z voisine de a.

On peut alors, des points z = a el u = b comme centres, décrire deux cercles C, C, de rayons 0' et r respectivement, tels que pour toute valeur de ^ comprise à l'intérieur de G l'équation (2) ait une racine et une seule à l'intérieur de G,. Cette racine u est donc une fonction uniforme et continue de ;: tant quecette variable reste comprise à l'intérieur du cercle C. Pour démontrer que c'est une fonction analytique de z dans ce domaine, il suffit de prouver qu'elle admet une dérivée. Attribuons à z un accroissement A^ et soit à.u l'accroissement correspondant de u^ on a

,. F{z-h ^z, u-^ lu) ~-F{z, u) — o,

ce qui peut s'écrire

'f\ et r/ tendant vers zéro en même temps que ^u et A:^. On en

déduit

àF

lu dz '

àz

ùF

Nous venons de voir que, lorsque As tend vers zéro, il en est de ^ même de \u^ et, par suite, de r^ et de r/; le rapport — a donc une

limite

àF du dz in ~~ 'W' du

FO>-CTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 1 69

En réalité, cette dérivée admet, comme u^ m valeurs pour chaque valeur de z: mais on obtient sans ambiguïté la valeur qu'il faut prendre, en remplaçant dans le second membre u parla racine dont on cherche la dérivée. Tant que la variable z reste à

d¥ l'intérieur de C, le dénominateur — ne peut être nul, puisque Ja

racine considérée est racine simple de l'équation (2). La dérivée est donc elle-même une fonction continue de i: dans ce domaine. Il suit de là qu'à l'intérieur de C la racine u est développable par la formule de Tajlor

uz=: b -^i^{z — a)-f- '7.^{z — a)' -h. . . ,

et le ravon de convero^ence de cette série est au moins és^al à o' mais peut lui être supérieur.

De même, si,.pour ;3 = «, l'équation (2) a m racines simples bi^ b2j . . ., bniy on peut trouver un cercle C de centre a et de rajon assez petit pour qu'à l'intérieur de ce cercle les m racines soient des fonctions uniformes et régulières. Les m racines sont alors représentées par m développements distincts : on a, par exemple, pour, la racine w/ qui se réduit à bi au point z = a,

Ui = bi -h aV'(^ — a) -h 'xf{z — a)^ -h. . . .

Les rayons de convergence de ces différentes séries sont, en général, inégaux.

Nous avons ainsi défini un élément de fonction algébrique. Pour définir cette fonction lorsque la variable z décrit un chemin quelconque, on étendra la définition de proche en proche. Supposons que le polynôme F (.s, u) soit indécomposable, c'està-dire ne soit pas le produit de deux autres polynômes entiers en z et u. Alors l'équation F(^, u) =0 n'aura de racines multiples que pour des valeurs de z en nombre fini. On obtiendra ces valeurs de z en éliminant u entre les deux équations

marquons dans le plan des z ces valeurs de z^ ainsi que les racines de l'équation 'fm(>^) = o. On appelle ces points les points singuliers. Cela posé, prenons deux points non singuliers Zqj Z, et un

chemin L joignant ces deux points et ne passant par aucun point singulier. Soient «,, «o? •••5 "m les m racines simples de l'équation F(iïo? f^) = o ; si l'on part de Zq avec une de ces racines, a^ par exemple, la valeur de cette racine sera fixée tout le long du chemin L par la condition de continuité. En iin point ^ii voisin dez^^ l'équation F(i:,, z/) = o admet une seule racine u^ voisine. de «, ; en un point z-i voisin de z^^ l'équation admet une seule racine u^ voisine de w', , et ainsi de suite. On arrive au point Z avec une valeur de u déterminée sans ambiguïté.

Nous devons maintenant étudier l'influence du chemin suivi par la variable. La proposition suivante est fondamentale :

Soit A une aire plane limitée par un seul contour, ne renfermant aucun des points singuliers; si l'on va d' un point ^^ à un autre point X par deux chemins contenus tout entiers dans Vaire A, en prenant la même valeur initiale pour u, on arrive au point Z avec la même valeur finale.

Fig. 56.

Soient ZQmTj^ z^nTj {fig. 56) les deux chemins allant de Zq à Z. Joignons les deux points /tz et n ; nous formons ainsi deux contours fermés z^mnzoj nmXn. Si les deux chemins ^q'^^^î ^o^-^ i^e conduisent pas à la même valeur finale pour w, il v aura au moins un des contours fermés z^mn^o, nf?iZ n qui, décrit tout entier en prenant au point de départ une des racines de l'équation (2), ne ramènera pas cette racine. En effet, on peut remplacer le chemin z^mT, par le chemin z^mn -j- nmTj. Supposons qu'en allant du point ^0 au point n par les deux chemins Zomn, z^n on obtienne la même racine u' ^ puis que, partant du point n avec la racine u! ^ on aille au point Z par les deux chemins /iZ, nmX^ et qu'on arrive dans les deux cas avec la même valeur pour ;i-, alors les deuxchemins z^mT^ et ZquV^ sont équivalents. Si donc ces deux chemins n'étaient pas équivalents, il j aurait au moins deux des chemins {z^mn^z^n) et

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. I7I

{n'Li nnilj)^ qui ne seraient pas non plus équivalents. Supposons, par exemple, que les deux chemins z^mn et z^n ne conduisent pas à la même valeur de u au point n. Alors le contour fermé Zor?i/iZo, décrit avec la valeur initiale Ui pour «, ne ramènera pas celte racine. En décomposant de même le contour z^ninz-Q en deux contours plus petits, un de ces contours au moins devra changer une des racines de l'équation (2) quand il sera décrit tout entier. En continuant ainsi, on a une suite d'aires, toutes comprises les unes dans les autres, et, si l'on choisit convenablement les lignes de division, ces aires décroissent indéfiniment dans toutes leurs dimensions. Elles ont donc pour limite un point M, intérieur à A. Par conséquent, si l'on considère un cercle de rayon aussi petit qu'on le veut, ayant son centre en M, il devrait toujours exister à l'intérieur de ce cercle un contour c, ne ramenant pas à sa valeur initiale une des racines de l'équation (2). Le point M serait donc nécessairement un point singulier, ce qui est contraire à l'hypothèse.

81. Il nous reste à examiner ce qui se passe lorsque la variable indépendante z tourne autour d'un de ces points singuliers que nous avons mis de côté.

Soit ^ = <7 un point pour lequel Péquation F(:j, u) = o admet une racine u = b d'ordre n. En un point ^07 voisin de a, l'équation aura /z racines voisines de 6

lll, lU, .... Un.

Si la variable z part de ^0 ^^ décrit une petite courbe fermée G autour du point a, la fonction ayant la valeur initiale ;/,, cette fonction leprend sa valeur initiale, ou, comme sa variation ne peut être que très petite, sa valeur finale est une des autres valeurs de u qui, pour z = z^^ sont voisines de b. Dans le premier cas, la racine Ui est une fonction uniforme de ;: dans le voisinage de z z= rt, développable en une série procédant suivant les puissances entières et positives de z — a. Dans le second cas, soit Ui la valeur finale; si l'on décrit de nouveau la courbe G dans le même sens avec la valeur initiale z//, il est impossible que l'on retrouve la racine Uij car Je chemin inverse doit ramener «,. On obtiendra donc u, ou jLine autre des racines non encore obtenues. Si l'on re-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIVBLE. IJS

//,, 11-2^ ' -'1 fip sont des fonctions uni/ormes de .3^ En effet, si z' décrit une petite courbe fermée ne tournant pas autour du point z.'= o, ;; décrit une petite courbe fermée ne tournant pas autour du point a et chaque racine reprend sa valeur initiale. Si z' décrit une petite courbe fermée tournant une fois autour du point z'zzzo, z décrit une petite courbe fermée tournant p fois autour du point a, comme il résulte de la substitution : chaque racine reprend donc encore sa valeur initiale d'après la façon dont ces racines s'échangent. D'après cela, Wf, par exemple, est une fonction analytique de z' ^ devenant égale à b pour ^'= o, uniforme, finie et continue pour les valeurs de z' appartenant à un domaine suffisamment petit du point z' = o. Cette racine U{ est donc développable, par la formule de Tajlor, en une série procédant suivant les puissances entières et positives de ^,

ux = b ^biz ~ 62-'--+-. . . -f- év -'^ H-

Si l'on revient à l'ancienne variable 5, liée à z' par l'équation écrite plus haut, qui donne

on a le développement suivant pour w,

u^ = b-^bi{z — a)P^bi(z — a)f'-^..,-^b.,{z — a)P-^...,

j^ procédant suivant les puissances entières et positives âe (z — a)P . On obtiendra des développements de même forme pour «o^ //j, ..., iip. On peut d'ailleurs les déduire de celui de Ui en s'appuvant sur la loi même de permutation des racines. Posons

(jj = e P .

Prenons la racine w, définie par la série précédente et supposons que l'on fasse décrire à ^ un petit cercle autour du point z =^ a, dans le sens positif. La racine «1 devient z/o et

{z—a)P devient iû(z— a)P, car, l'argument de z — a augmen-

tant de 2-, celui de (z — a)P augmente de — • On a donc le déve-

loppement suivant pour ^^>,

u, = b-^ bi io{z — ay H- b. io2 (z — a)'' -^ . . . -^ 6.; a>v(^ — a)^ -h. . . . ..

Un nouveau tour de z autour du point a donnera «3 en chan-'

géant (:: — a)P en lo(z — a)^,

et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait obtenu toutes les racines w,,, iti^ ..., f^^. On voit donc que les/» racines appartenant à un même ;^ système circulaire sont représentées par une même série procé- "rî

dant suivant les puissances entières et positives de (:; — ^)^i '^

Il ~ b -^ bi(z — a)f^ -J^- bi{z — rt)^-^...,

les différentes racines z/,, Un, ..., Up étant obtenues en rempla-

çant successivement dans ce développement (-■ — a)P par ses p déterminations. ®

/ 82. Nous venons d'étudier les racines qui deviennent égales à --^ une valeur finie b quand z tend vers une valeur finie a. L'étude /^» des racines devenant infinies pour z ^=^ a nous conduira à la notion .^^g des pôles d'une fonction algébrique. Ordonnons Féquation " F(:;, z/.) = o par rapport aux puissances décroissantes de ?^,

Y{z,u)=.0,nyz)u'"

{^z)u'n-^-^.,,^^,^z)li-^'0^{z)^0.

Soit z =^ a une racine de l'équation Om {-■) =^ c» î lorsque z tend

vers rt, une ou plusieurs racines deviennent infinies. Pour étudief

ces racines, posons

l'équation (2) se change en une nouvelW équation il') . F,{z,a') = F(^z,L,yi''n=.o,

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. IJD

qui aura un certain nombre de racines nulles en même temps que z ^ a. Dans le cas général, ces racines se partageront en un certain nombre de systèmes circulaires, les racines d'un même système étant représentées par un développement de la forme

procédant suivant les puissances de (:; — a)P et contenant en facteur une certaine puissance de [z — «)^', car a' est nul pour z:=a. La série v qui multiplie [z — a)P est une fonction régu- Hère de {z — «)^qui n'est pas nulle pour z^= a. On en déduit

- sera aussi une fonction régulière de (:; — ^)^ •> de sorte que les

p valeurs de u seront représentées par un développement de la forme

u^{z—a) ^ [ao-f-ai(j — a)^ — a2(^ — a)^-l-...J.

C'est un développement de même forme que les précédents, sauf qu'il présente à gauclie un certain nombre de termes à exposants négatifs. Si /> = i , le point z = a est un pôle pour la racine considérée, au sens élémentaire du mot; si p est plus grand que i, c'est en même temps un point de ramification.

83. Pour étudier les racines de l'équation en u lorsque z devient infini, on pose

et l'on est ramené à étudier les racines de Péqualion transformée

pour les valeurs de z' voisines de zéro. Plusieurs cas peuvent se présenter suivant que ces racines ont des valeurs distinctes et finies, des valeurs égales ou des valeurs infinies. Dans tous les cas

possibles, les m valeurs de u sont représentées dans le voisinage de s' = o par un ou plusieurs développements de l'une des formes

suivantes

u = z' ^ \ao -4-ai^'^ + a2-s'^ +. . ./.

Par conséquent, les m valeurs de u^ pour des valeurs de z de module supérieur à une certaine limite, seront données par un ou plusieurs développements tels que

On peut résumer comme il suit tous les résultats obtenus :

Dans le domaine de tout point z=^ a^ les m racines de V équation (2) sont représentées pai^ un certain nombre de développements en série de la forme

u — {z — a) ^ Lao+ ai(^ — a)^H-a2(^ — a)^4-. . .J,

en convenant de remplacer z — 00 par -•

Il est essentiel de remarquer qu'il n'y a jamais qu'un nombre fini de termes à exposants négatifs.

84-. Nous voyons qu'une fonction algébrique n'admet que deux catégories de points singuliers : i" des pôles, c'est-à-dire des points où une ou plusieurs branches de la fonction deviennent infinies, de façon que les inverses restent des fonctions régulières dans le voisinage ; 2" des points critiques algébriques, c'està-dire des points autour desquels un certain nombre de valeurs de u se permutent circulairement, les valeurs d'un même système circulaire étant représentées par un même développement en

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DL'NE VARIABLE. I79

se permutent entre elles, et de chaque point ai tirons une ligne L/ s'étendant jusqu'à l'infini, de manière que ces lignes ne se croisent pas entre elles. Soient ^o un point distinct des points singuliers, et a,, ao, ...,a„f les m racines simples de Téquation F(^07 w) ^ o. Lorsque la variable z décrit un chemin quelconque sans franchir les lignes L/, les m racines de l'équation restent des fonctions uniformes de z. Quelques-unes de ces racines peuvent devenir infinies en certains points isolés, mais elles restent uniformes dans le voisinage de ces points. Désignons par u^^ i/o, . . ., Um les m racines qui se réduisent respectivement à a, , ao, . . ., a„, pour z = ^07 et appelons chemin direct de ^o à ^ tout chemin joignant ces deux points sans franchir aucune des lignes Lj.

Pour suivre la marche de la fonction u lorsque la variable décrit un chemin quelconque, il suffit de savoir comment s'échangent les m fonctions m,, ?/o, ..., Um lorsque la variable franchit une des lignes L/. Soient ai un point critique, Zi un point infiniment voisin; joignons le point Zf au point Zq par une ligne droite, et du point «/comme centre décrivons un petit cercle passant par le point Zi. Le chemin ZoZ-ininziZo s'appelle un lacet {fig. 5"); il peut être décrit dans le sens direct ou dans le sens rétrograde, suivant qu'on laisse le point ai à sa gauche ou à sa droite. On le

représente par la notation («/) ou («/)!, suivant qu'il est décrit dans le sens direct ou dans le sens rétrograde. On dit que le lacet («/) unit les deux racines w^, U]^ si, en partant du point ^o avec la racine a^, et décrivant le lacet, on revient au point de départ avec la racine a^ ; on dit qu'il est neutre par rapport à une racine, s'il reproduit cette racine.

Un chemin quelconque allant de ^o ^n -^ peut être remplacé par une suite de lacets suivie du chemin direct unissant ces deux points. Par exemple, le chemin Zo'xm'^n^pz {Jig. 58) peut être remplacé par ZQy,mzQ-[- ZQm'^nzQ-^ ZQn-(pzQ-{- Zopz] z^aniZo peut, à son tour, être remplacé par le lacet («i), ZQm^nzQ parle

i8o CHAPITRE IV.

lacet («o)-!? ZqTi^pZq par le lacet (aj).,, et z^pz est un chemin direct allant de ^o à ^.

Fig. 58.

Nous terminerons ces généralités par la remarque suivante. La racine ui^ qui se réduit à a^- pour z = ^oj est développable par la formule de Taylor dans le voisinage de ce point; quel est le rayon de convergence de cette série? Ce rayon est égal à la distance du point ^0 au point critique le plus voisin où la racine considérée devient infinie ou se permute avec une autre. Mais le cercle de convergence de cette série peut contenir des points où les racines, autres que w/, se permutent ou deviennent infinies.

87. Dans ce qui précède, nous avons établi a /?/'/o/7' l'existence des s^'stèmes circulaires et la forme des développements en séries des racines. Il nous reste à montrer comment on peut obtenir ces systèmes circulaires. Les valeurs de z, pour lesquelles l'équation F(^, u) = o admet des racines multiples, s'obtiennent en élimi-

d¥ nant u entre les deux équations F = o, -— = o. Soit z ^=- a une ^ ' Ou

valeur de z pour laquelle l'équation F (3, iC) = o admet une racine

h d'ordre n. En général, ~ ne sera pas nul pour z^= a, u--=b.

En langage géométrique, cela signifie que le point de coordonnées (a, b) de la courbe qui a pour équation F(^, u) = o est un point simple où la tangente est parallèle à Taxe des u. Mais, si l'on

a en même temps -— = o, le point (a, h) est un point multiple de

cette courbe. En définitive, les points critiques de la fonction algébrique u de z correspondent : i'^ aux points de la courbe où la tangente est parallèle à Vaxe des u; 2° aux points mul-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D UNE VARIABLE. l8l

tiples. Nous laissons de côté pour le moment les points à l'infini; leur étude se ramène, comme on l'a vu, à celle des points à distance finie.

Supposons d'abord que, pour ^ =: a, on ait une racine b

d'ordre /z, et que -^ ne soit pas nul pour z = a^ a = b. En remplaçant z par z -\- Cl et u par u H- b, ce qui revient à transporter l'origine au point (a, 6), F(-:, u) sera de la forme

(6) F = Az^Bu''-^uzo(z,u)^'l>{z, ii) = o,

6{z, u) ne contenant que des termes de degré supérieur à n par rapport à u et du second degré au moins par rapport à ;:; A et B sont des constantes différentes de zéro. Pour z =^ o, ona n racines nulles et n seulement, c'est-à-dire que l'axe des u rencontre la courbe en n points confondus à l'origine, qui sera un point ordinaire si /i tzi: 2, et un point d'inflexion si n est supérieur à 2. Si l'on pose

l'équation (6), divisée par ^''% devient

(7) X-^Bi-n^z'U{z',i>) = o.

Pour z'=o^ l'équation (7) admet n racines simples fournies par l'équation binôme

Soient

ces n racines rangées par ordre d'argument croissant, l'argument de chacune de ces racines étant égal à celui de la précédente,

augmenté de -^- Pour une valeur de z' voisine de zéro, l'équation

(7) admettra n racines qui seront des fonctions régulières de z' dans le domaine de l'origine et se réduisant respectivement à v^^ ^'2, •••? Vn pour ^'=:o. Ccs 11 raciucs pourront être représentées par

a,, ao, . . . , a,i étant des fonctions régulières de z\ qui sont nulles

l82 CHAPITRE IV.

pour z' = o. L'équation (6) admettra les n racines

pour savoir comment se permutent ces racines dans le domaine de l'origine, faisons décrire à la variable un petit cercle dans le sens

direct autour de l'origine; l'argument de 5" augmente de — ; le

produit v^z'^ devient donc V2Z"' et la racine u^ se change en

a', étant infiniment petit avec 5, car c'est, au facteur e" près, ce que devient la quantité a, quand on augmente l'argument de z' de

— • Cette racine doit faire partie des n racines w<, 1121 ..., Un-

Elle ne peut être égale quà u^, car, si elle était égale à u^ par exemple, on aurait

V'iZ"' -h a'. Z"- = i^^z'i -+- oLz^" '

et, en divisant par 5",

de sorte que la quantité finie Ço — ^3 serait égale à une quantité infiniment petite. On verrait de même que, après que z a décrit un petit cercle dans le sens direct autour de l'origine, 112 se change en ?^3, u^ en ?^/,, ..., u,i en w<. Les ii racines forment donc un seul sjstème circulaire.

Ces n racines peuvent être représentées par un même développement en série. La racine de l'équation (y), qui se réduit à ^i pour ^'=0, est régulière dans le voisinage de z'=o-^ elle peut donc être représentée par la somme d'une série convergente

telle que

pj + «i^'h- a^z'^-h ... ;

la racine correspondante Ui de l'équation (6) sera égale à la somme de la série

Viz~^-i- ai\z~i) -ha2\z~t) -+-....

Or, quand z tourne autour de l'origine, cette série prend n va-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. l83

leurs distinctes que l'on obtient en donnant à z'^ ses n déterminations; et, d'après ce que nous venons de voir, ces n valeurs représentent les n racines de l'équation (d), qui s'annulent avec ;.

88. Supposons maintenant que le point (a, b) soit un point multiple de la courbe F(:;, w) = o; nous porterons encore l'origine en ce point. Avant d'aborder le cas général, nous étudierons deux cas particuliers très simples :

1° L'origine est un point double à tangentes distinctes, et aucune des tangentes ne coïncide avec l'axe des u. Si l'on ordonne F(:?, u) suivant les puissances croissantes de u et de :;, on aura l'équation

(8) ¥ {z,u) = aii'^-\- -ibuz -{- cz--{- '■:i{z,u) = o, a ^ o, b- — ac ^ o,

o{z^ u) ne contenant que des termes de degré supérieur au second. Pour ^ = 0;, deux valeurs de u sont nulles; posons u = vZj l'équation (8) devient, en divisant par z-^

(9) aç^-{- ibi' -{- c -i- z^(z, v) = o,

et la nouvelle équation admet, pourr=:o, deux racines simples (^1, Ç.2' Dans le domaine de l'origine, l'équation (9) admet par conséquent deux racines qui sont des fonctions régulières de z,

t^' = Pi -}- ai ^ 4- ^1 -32 -+- . . . , Les valeurs correspondantes de u sont représentées par deux

l(l= ViZ -i- OLiZ^-h ^iZ^-i- . . . .

U,= Ç.2Z -\- «2^2+ ^iZ^-h

Chacune de ces racines est donc régulière dans le domaine du point ^ := o.

2" L'origine est un point de rebroussement, et la droite w ^ o est la tangente de rebroussement. L'équation proposée est de la forme

(10) F(^, u)= ut ^ au^ ^ bu'^ z ^ cuz^--h dz^-h cf(z, u) = o,

l84 CHAPITRE IV.

o(;î, u) ne contenant que des termes d'un degré supérieur au troisième. Si l'on pose

et qu'on divise par^'»*, Téquation devient

(il) v'^-^ d + z'^{z',v) = o.

Supposons que d n'est pas nul, ce qui aura lieu si l'origine est un point de rebroussement de première espèce. Pour z'=^o^ Téquation (i i) admet deux racines simples ±.\J — c/; pour d voisin de zéro, on aura deux valeurs de v régulières dans le domaine de l'origine et se réduisant respectivement à ±:y/ — d pour z'=^o. On en conclura, comme plus haut, l'existence de deux valeurs de Li^ racines de l'équation (lo),

Ux = \ v — d -+- OLi) z^ , 11=1 = ( — y/ — d -f- «2) z~^ ,

se permutant quand on décrit un petit cercle autour du point ^ = 0. Ces deux racines sont encore représentées par un même développement en série

u=^—dz^--\-az^--{-^[z'^) +..., dans lequel on donne à z'^ ses deux déterminations.

89. Après ces cas particuliers, arrivons au cas général, où l'origine est un point multiple d'ordre quelconque. L'équation en u ayant n racines nulles pour ^ = o doit contenir un terme de la forme Au^^ où A est une constante non nulle, suivi de termes parmi lesquels ceux qui ne renferment pas z contiennent u à des puissances supérieures à ii. Elle est donc de la forme

(1-2) ¥{z,u) =z Aii'^-\-ZAa^u^z^ = 0,

les exposants a et ^ étant des entiers positifs ou nuls assujettis à la condition que, si ^ est nul, a est supérieur à n. Alors, pour ^ = o, il j a bien n racines nulles. Nous emploierons, pour partager ces n racines en systèmes circulaires, la méthode donnée par Puiseux dans son célèbre Afémoire sur les fonctions algé-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. l85

briques ('). Admettons que chacune des valeurs infiniment petites de u est d'un degré infinitésimal déterminé par rapport à c, ou peut être mise sous la forme

|ji étant un nombre positif et v une fonction de z qui a une valeur finie et différente de zéro pour ^ = o. Remplaçons u par cette expression dans l'équation (12), le degré infinitésimal du terme général est aa + J^ et celui du premier /z a, expression qu'on peut faire rentrer dans aix + [i en faisant pour le premier terme a = /z, p = o. Soit m le degré du terme qui a le plus petit degré, après cette substitution. 11 y aura au moins deux termes de degré m^ car, s'il n'y en avait qu'un, en divisant par ^"% on aurait une quantité finie qui serait égale à une quantité infiniment petite. Il faudra donc qu'il j ait au moins deux termes

parmi lesquels peut être le premier, tels que

et tels que, pour tout autre terme P^^^n o^n u'^" z^' ^ on ait

|jLa"-i- 3"^ laa-h 3.

Pour trouver les valeurs de iji qui remplissent cette condition, on se sert d'une représentation géométrique dont le principe est dû à Newton. Traçons dans un plan deux axes de coordonnées rectangulaires Oa, O^ et marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants (a, P) des diff'érents termes de l'équation (12). Au terme indépendant de z correspondent les points de l'axe Oa; le premier, qui est fourni par le terme h^u^^ est d'abscisse n. De même, les termes de l'équation indépendants de u donnent des points sur l'axe O 3 {fig- Sg).

Ces différents points étant marqués dans le plan, pour avoir le degré aa 4- ^ en ^ qu'acquiert un terme AapM°'^P par la substitution u = çz"^, il suffit de mener par le point de coordonnées (a, j3)

(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. XV; i85o.

l86 CHAPITRE IV.

une droite A de coefficient angulaire — a

et de prendre l'ordonnée à l'origine Oo de celte droite : cette ordonnée est en effet |j.a + [i. Donc, si par tous les points marqués dans le plan aO^, on mène des droites A parallèles ajant pour coefficient angulaire — [Ji, les ordonnées à l'origine de ces droites donneront les degrés que prennent par la substitution

■^sA

ap

u^i^çz^ les divers termes de l'équation. Le terme de plus petit degré en z correspond au point (a, 8) situé sur la droite D dont l'ordonnée à l'origine est la plus petite ; comme il doit y avoir au moins deux termes ayant le plus petit degré, il faut déterminer jj. de façon qu'il y ait au moins deux des points (a, ^) sur celle des droites D de coefficient angulaire — [x ayant la plus petite ordonnée à l'origine. Le nombre — p. est donc le coefficient angulaire d'une droite joignant au moins deux des points (a, p), et laissant tous les autres au-dessus d'elle. Voici comment on détermine toutes les droites possédant cette propriété.

Concevons une droite mobile d'abord couchée sur O a. Faisons-la tourner de gauche à droite autour du point d'abscisse n sur Oa, jusqu'à ce qu'elle vienne rencontrer un ou plusieurs autres points; faisons-la ensuite tourner, toujours dans le même sens, autour du dernier de ces points, jusqu'à ce qu'elle vienne à rencontrer de nouveaux sommets du réseau, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne une droite passant par le premier sommet du réseau / situé sur 0[3. On a ainsi formé une ligne polygonale, allant du point n au point /, dont tous les sommets sont des points du réseau, et telle

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 187

que, si Ton prolonge un quelconque de ses côtés, on laisse tous les autres sommets du réseau au-dessus de ce côté.

Le coefficient angulaire de chaque côté de cette ligne polygonale, changé de signe, fournit une valeur convenable de |j.. Soient (a, [^) et (a', ^') les coordonnées de deux sommets du réseau situés sur un même côté, de coefficient angulaire — a. La droite, à laquelle appartient ce côté, a pour équation

et le point où elle rencontre O |ii a pour ordonnée ^ + u.a. Il est clair que l'on aura

^ -^ ua =3'+ aa',

tandis que, pour un sommet du réseau (a", ,3'') situé au-dessus du côté considéré, on a

Cela posé, considérons un côté G/ de la ligne polygonale allant du sommet (a,-, ^3/) au sommet (a/+,, [3/+«), et soit (a, P) un point quelconque du réseau situé sur C/, et (a', 3') un point quelconque du réseau situé au-dessus de G/. L'équation proposée pourra s'écrire

(i3) F(^, ^0 = Aa,p,^^^.^^' +21 ^a?"^-^

Soit u le coefficient angulaire changé de signe du côté G/; on aura

a/ jjL -h ^,- = a a -t- ^ = a/+ , ix + p^+i , a' |Ji -h ^' > cci [x h- §/ ;

on tire de là

La fraction — étant supposée irréductible, on a

l88 CHAPITRE IV.

k et ki étant des nombres entiers. Posons, dans l'équation (i3),

z = z'P, u = vzi\ elle devient

mais on tire des relations écrites plus haut

et, en divisant par z'^^i-^P^i^ l'équation devient (i4) v^i+^^{v) + z'W{z',v) = o,

^^\z' , ^) étant une fonction entière de v et de z\ et <I>((^) désignant le polynôme

Pour ^'= o, cette équation se réduit à

pa.u-i <î>((;) = o;

elle admet a/ — a/|., racines finies et différentes de zéro; pour une valeur de z' voisine de zéro, elle admettra donc a/ — a/^, racines respectivement voisines des précédentes et, par conséquent, l'équation en u aura le même nombre de racines de la forme

vzP , la quantité v tendant vers une limite différente de zéro lorsque z tend vers zéro. Le côté G^- de la ligne polygonale fournit donc

(a/ — ^iJr\) racines d'un même degré infinitésimal^- En opérant

de même avec chaque côté, nous obtiendrons un nombre total de racines

(n — ai)-4-(ai — a2)+ ... -+-(a„ — o) = n.

On retrouve ainsi les n racines de l'équation (12) voisines de zéro. Chacune de ces racines est donc bien d'un degré infinitésimal déterminé, et de plus ce degré est commensurable.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D UNE VARIABLE. 1 89

Considérons maintenant en particulier les racines du degré infinitésimal -? qui sont fournies par l'équation ^(c^') = o. Dans

le polynôme ^{^), tous les exposants sont des multiples de p;

ainsi

a/ — ^i+i = kip, a — a/^i = ( ki — k)p.

Si l'on pose r/* = X, l'équation 0(r) = o est remplacée par l'équation

(r5) n(À) = Aa,p,X^-. -i-^ Aa^)/<-^- + Aa,,.p,., - o.

Soit A une racine simple de l'équation (i5) et

les/? racines de l'équation vP = a, rangées dans un ordre tel que les arguments forment une progression arithmétique de raison

— ^- Ces racines sont racines simples de l'équation <ï>(r)i=o;

par conséquent, pour une valeur de z' voisine de zéro, l'équation (r4) aura/? racines voisines des précédentes, qui seront régulières dans le voisinage de z' =^ o. Soient

i^i -h ai, v-i-^i-i, ..., Vp-\-7.p

ces/? racines, a,, ao, . . . ^ oLp étant infiniment petits avec -3^ L'équation (ï3) admettra les p racines

et Ton verra, comme plus haut (§87), que ces p racines se permutent circulairement autour de l'origine. Supposons que la racine de l'équation (14)7 qui se réduit à r,, soit développée suivant les puissances croissantes de z'

V = ç>i -T- az -\- bz'^ -^ ... ; la formule

u = v,\zn ^a\zP) -^b[z") -f-...,

OÙ l'on attribue successivement à z^ ses p déterminations, représente les/? valeurs de u, qui se permutent circulairement. Ainsi, à

igo CHAPITRE IV.

toute racine simple de V équation (i5) correspond un système circulaire de p racines.

Si l'équation (i5) a ki racines simples, le côté C^- de la ligne polygonale nous fournira kt systèmes circulaires de p racines. S'il en est de même de loules les équations analogues pour les autres côtés, la séparation des racines en systèmes circulaires sera effectuée dès la première approximation.

Supposons maintenant que l'équation (i5) ait une racine multiple A d'ordre n' , et soit ç^ une racine de l'équation vP z=\\ v^ sera une racine multiple d'ordre n' de l'équation <ï>(r) = o. Lorsque z' tendra vers zéro, l'équation (i4) admettra n' racines voisines de Ti . Pour séparer ces n' racines, nous poserons (^ = t'i + v' , ce qui nous conduit à une nouvelle équation

(iG) F'(^>') = o,

ayant n' racines infiniment petites avec z' . Appliquons à cette nouvelle équation la méthode précédente, et supposons que ces // valeurs de v' se répartissent en systèmes circulaires dès Ja première approximation. Soit

un de ces systèmes circulaires àe p' racines. L'équation en u admettra la racine

u = z'^(çi -4- v') = z'^i [i^i-\- wi Kz'P'Y -+- . . .J ou

U = Vi \zl'l") + (Vi {zPi") -+-

On a dans le second membre un développement suivant les puis-

sances croissantes de zVP\ dans lequel les trois nombres qp', pp', q' ^ qp' sont premiers entre eux. Ce développement prend/?/?' valeurs différentes quand la variable z tourne autour de l'origine; il représente donc un système circulaire de pp' racines de l'équation en u. En effet, lorsque la variable z tourne autour de l'ori-

j gine, le radical zPP' prend pp' valeurs différentes. Après p tours, le premier terme se reproduit, mais l'argument du second aug-

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. I9I

mente de —L ?:; ainsi les p premières racines diffèrent par le premier terme, qui est la partie principale. Ensuite, de p en p, les valeurs obtenues diffèrent par le second terme. On a donc bieny?yo' valeurs différentes pour u.

90. Si les n^ racines de l'équation (i6) ne peuvent se répartir en svstèmes circulaires dès la première approximation, on opérera sur cette nouvelle équation comme on a opéré sur l'équation (i 3), et ainsi de suite. Au bout d'un certain nombre de transformations successives, on arrivera à des équations n'ayant plus que des racines simples, et, en remontant de procbe en proche, on voit que la séparation des racines de l'équation proposée en systèmes circulaires sera effectuée. Il ne pourrait en être autrement que si la suite des opérations conduisait toujours à des équations ayant des racines multiples. Il nous suffira donc de montrer que cette circonstance ne peut se présenter.

L'équation (i3) admet une racine nulle d'ordre n pour ^ = o, et l'équation (i6) admet une racine nulle d'ordre n' pour ^' = o. Or n^ est au plus égal à a, — a/^,, et par suite au plus égal à n. Si la séparation des racines de l'équation (i6) n'est pas effectuée dès la première approximation, on en déduira une nouvelle équation ayant une racine nulle d'ordre n pour -3'' = o, et /i^' sera inférieur ou égal à n! ; et ainsi de suite. On aura donc une suite de nombres entiers positifs a«, n', /i'^, . . . n'allant jamais en croissant. Si aucun des nombres de cette suite n'est égal à l'unité, il faudra évidemment qu'à partir d'une certaine équation tous ces nombres soient égaux. Supposons, pour fixer les idées, que cela ait lieu dès la première équation. Comme rî est au plus égal à rj.1 — ^•ijf.K'i il faudra qu'on ait

a/ = n , a,+i = o, ^z = o, ?i+i = nq ,

et la ligne polygonale se réduira à un seul côté, allant d'un point n sur l'axe Oa à un point nq sur l'axe O ^. Si l'on pose dans l'équation (i3) u =: vz'f, elle devient, par hypothèse,

et, par suite, les n racines infiniment petites ont une même valeur approchée

Posons ensuite v = ('0 + ^', l'équation en v' aura n racines nulles pour ^ = o et si l'on écrit v' = wz^' , q' étant choisi convenablement, elle devient, d'après l'hypothèse,

et les n valeurs de u auront encore même valeur approchée

En continuant ainsi, on voit que les n valeurs infiniment petites de u différeraient entre elles d'une quantité dont l'ordre infinitésimal serait aussi élevé qu'on le voudrait-, ce qui est impossible si l'équation est irréductible, et, par conséquent, n'admet pas de racines égales pour toute valeur de z. Imaginons, en effet, que l'on forme l'équation aux carrés des différences des racines de l'équation proposée; on aura une équation de même nature que la première, dont les racines nulles pour ^ = o seront d'un ordre infinitésimal déterminé.

En définitive, lorsque pour ^ -— a l'équation (2) admet az racines égales à ^, les n valeurs de a qui tendent vers 6, lorsque z tend vers a, sont représentées dans le domaine du point z ^=^ a par un ou plusieurs développements de la forme suivante

u — h-\- ai(^ — aY -\- CLi{z — aY h- . . . + a/(^ — aY -f-.. .,

OÙ l'on attribue successivement à (^ — ay ses p déterminations, et où l'on prend la même détermination dans chacun des termes. Quelques-uns des nombres entiers positifs ^,, ^o, ...^qi peuvent avoir des diviseurs communs avec p, mais il ne pourra pas arriver que tous les nombres qt aient avec p vin autre diviseur commun que l'unité, de sorte que le second membre aura bien/; valeurs distinctes.

Si l'on a un seul système circulaire de n racines, le points = a est dit un point de ramification d'ordre n — i ; pour n = 2, on dit aussi que c'est un point de ramification simple. Si l'on a plu-

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE

sieurs systèmes circulaires, au point ^ = a sont superposés plusieurs points de ramification distincts.

91. Exemple 1. — Considérons l'équation (*) u^ — 3 a -h 2^ = o.

Pour r = -i- I, on a deux racines égales à -f- i , qui forment un système circulaire, et une racine simple égale à — -2; de même, pour ^ = — I , on a une racine simple égale à 2 et deux racines égales à — i, qui forment un système circulaire. Pour toute autre valeur finie de z^ les trois racines de l'équation sont distinctes et finies. Traçons dans le plan des z deux coupures indéfinies suivant les lignes 1 h- oc, — i oc; les trois racines

deviennent des fonctions uniformes dans toute l'étendue du plan.

Appelons Uq, Ui, u-^ ces trois racines, qui se réduisent respectivement à o, -f- y^3, — y/s pour ^ = o. Si l'on construit la courbe représentée par l'équation précédente, on reconnaît que, z croissant de o à -f- I par valeurs réelles, u^ croît de o à + i, «, décroît de y 3 à 4- I, et u^ décroît de — y/3 à — 2. Par conséquent, quand on franchit la coupure L, on passe de ^/q à //,, de u^ à f^o, mais it-i ne change pas. De même, quand on franchit la coupure U, «„ et u^ se permutent, tandis que u^ ne change pas. Si l'on décrit de l'origine comme centre un cercle de rayon supérieur à l'unité, on revient à la valeur initiale après avoir décrit trois fois la circonférence et rencontré les trois racines. Ces racines forment donc un seul système circulaire dans le domaine du point ;: = cc; ce qu'on vérifie aisément par la méthode générale. - .. V; -r

Exemple IL — Soit Téquation (-)

(') Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. 5- (') Briot et Bouquet, loc. cit., p. Sg.

Pour ^ = o, OQ a la racine simple u =^ 3, et deux racines nulles. Si l'on pose/W= vz', Téquation devient

pour 3 = 0 elle admet deux racines simples -—, -— • Les valeur

de u qui tendent vers zéro avec z sont par conséquent régulière^ dans le domaine de l'origine et ont pour premier terme de leur développement

Ui =

Nous désignerons par Uq la racine qui se réduit à 3 pour z = c> Pour chacune des six valeurs de z données par l'équation z^ = \. on a une racine simple u =: — i et une racine double iiz=z 2, ei les deux racines qui tendent vers 2 se permutent autour du point critique. A partir de chacun de ces points de ramification, Ira— .^ çons une coupure indéfinie suivant le prolongement du rajon joignant ce point à l'origine; les trois racines deviennent des fonctions uniformes dans toute l'étendue du plan [Jig^ 61).

Fis. 61,

Pour voir comment se comportent les racines quand on fran« chit les coupures, il suffit de construire la courbe qui représentel'ensemble des solutions réelles de Téquation

on reconnaît aussitôt que, lorsque t croît de o à 2 par valeurs

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. igS

réelles, les trois valeurs de u vont respectivement des valeurs initiales Wo, W|, Ui aux valeurs finales 2, 2, — i. Donc, lorsque z décrit une des lignes 0<7,, 0^3, O^s, les trois racines ^^j, «,, u-^ tendent vers les valeurs 2,2, — i ; par suite, quand on franchit une coupure d'indice impair, on va de la racine Uq à la racine ?<,, de ?/, à Wo) mais Wo «^ change pas.

De même, lorsque z décrit un des rayons 0^2? Oa^, 0«6j t va de o à — 2 par valeurs réelles, et les racines Uq^ w,, 11.2 tendent respectivement vers 2, — 1, 2, de sorte que, en franchissant une coupure d'indice pair, on passe de Uq à ^/o? ^e u.2 à ?<0 7 mais u^ ne change pas. Les lacets («o), («4), («e) unissent donc les racines ?/o, if-i et sont neutres pour la racine «,, tandis que les lacets (rtj), («3), («5) unissent «0 et w,, et sont neutres pour la racine ^2- Si l'on décrit un cercle concentrique à l'origine contenant les six points de ramification, ce chemin équivaut à six lacets, et chaque racine revient à sa valeur initiale. La méthode générale montre, en effet, que le point à l'infini est neutre pour chacune des racines.

On peut faire l'étude complète des fonctions algébriques et de leurs intégrales au moyen des lacets. C'est la méthode employée exclusivement par Briot dans sa Théorie des fonctions abéliennes. Nous nous servirons, dans cet Ouvrage, du mode de représentation de Riemann (').

92. Suif aces de Riemann. — A toute relation algébrique irréductible à deux variables, telle que F(3, ?^) = o, on peut faire correspondre une surface plane à plusieurs feuillets, qui joue le même rôle que la surface à deux feuillets pour une équation du second degré en u.

Exemple I. — Considérons la relation

à chaque valeur de :; correspondent m valeurs de u qui se permutent circulairement quand la variable tourne autour de l'origine.

(') Le lecteur fera de lui-même le rapprochement entre le Chapitre I et les paragraphes suivants.

Soit

p(cos6 H- isin6), ol6<27c,

m = p'" ( cos h i sin —

cos

i sin

ihn = p'« cos

t(m — ï)tz . 0-f-2(m — 1

-^ — -h f sin —

Prenons m feuillets plans limités par une circonférence de centre O et d'un rayon très grand R, et dans chacun de ces feuillets traçons une coupure suivant l'axe réel; si à un point :; du feuillet P/f on fait correspondre la valeur Uk {fig- 62),

u,^ — p"w cos

[i±^ii^^] H- .-sin [i^llii^'i^]

Fig. 62,

on a ainsi sur ces m feuillets la représentation complète de tous les systèmes de valeurs de u et de z satisfaisant à la relation donnée W"-^=z. Plaçons maintenant ces m feuillets les uns audessus des autres, les indices se succédant dans leur ordre naturel, et le feuillet Pi étant le plus haut; puis réunissons le bord y<q, de \\ au bord 7.2 [^2 de Po, le bord ^.><>2 de Po au bord ag ^3 de P^, et en général le bord v/ô^ de P^- au bord a/.,., !^/^, de P/+,, puis le bordY,„o„, de P„, au bord a, [ii de P, par de petites bandes de surfaces. On obtient ainsi une surface ï à plusieurs feuillets dont la section par un plan perpendiculaire à la direction de la coupure olfrira l'aspect ci-dessous (/?^. 63).

La dernière bande de surface, celle qui joint YmO,„ et a, pj, traverse toutes les autres, mais nous conviendrons, comme plus

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE

haut, qu'il n'y a pas de connexion entre deux nappes de la surface le long d'une ligne double, de façou que deux courbes de la surface qui se croisent en un point d'une ligne double n'ont un point commun que si elles sont tracées sur la même nappe. La fonction

Fig. 63.

Il de z devient alors sur la surfaceTainsi obtenue une fonction jouissant des propriétés suivantes : i^à chaque point de T correspondent une valeur de 3 et une valeur de imparfaitement déterminées; 2** cette valeur de u varie d'une manière continue quand on décrit un chemin quelconque sur la surface ï. A chaque point d'une ligne double correspondent deux valeurs de u^ que Ton distinguera d'après la nappe de surface à laquelle ce point est censé appartenir. Le raisonnement est tout pareil à celui du n'^ 2.

Nous avons figuré {fig- 64) en perspective la surface obtenue en supposant le nombre de feuillets égal à 3 (m = 3).

Fig. 64.

Imaginons maintenant que le rayon R augmente indéfiniment et que les m feuillets, au lieu d'être à une distance finie les uns des autres, soient à une distance infiniment petite. Nous représenterons la surface par sa projection sur un plan avec la ligne de pas-

igS CHAPITRE IV.

sage o h 20, en marquant par un trait différent les chemins

situés sur les différents feuillets. Ainsi isijïg. 65 représente un chemin fermé entourant l'origine sur la surface à trois feuillets,

avec une ligne pleine pour les chemins sur le feuillet supérieur, une ligne formée de points sur le deuxième feuillet, de traits et points sur le troisième.

Si l'on projette sur la sphère, on aura une surface sphérique à m feuillets, avec deux points de ramification, le point O et le point O'.

Exemple IL — Reprenons l'équation étudiée plus haut

u^ — Zu ^'IZ — o,

qui admet les deux points critiques ^ = ±: 1 . Considérons trois feuillets dans lesquels nous tracerons deux coupures partant des points 4-1 et — i {fig. 6Q).

Appelons Uq^ ?/,, u^, les trois valeurs de a qui se réduisent respectivement à o, + y/S, — sj?> pour ^ = o, et sur chaque point du feuillet P^- marquons la valeur correspondante de ?//. Pour former la surface de Riemann, superposons ces trois feuillets; pour savoir comment on doit réunir les hords, reportons-nous au n° 91.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 199

Quand on traverse la coupure L, Uq se change en «,, //, en «0, mais 11.2 ne change pas. Il faudra donc réunir ao ,3o et v,ô,, a, j3, et Yo^oj p"is ao J^o et yoOo. De même, il faudra réunir, le long de la seconde coupure, Aq |jio et v^po, )^2 [-'•2 et Vopo) a, a, et V, p,. Lay?o-. 67 représente la projeclion d'une courbe fermée si-

Fig. 67.

tuée sur la surface. On a inscrit, à côté de chaque ligne de passage, les feuillets qu'elle réunit, et l'on a indiqué dans Tangle de la figure le trait employé pour figurer un chemin dans les feuillets o, I et 2.

93. Abordons maintenant le cas général. Soit F (3, ?/) = o une équation algébrique entière, irréductible, àe degré m en u. On peut former de bien des manières une surface T, composée de m feuillets superposés, correspondant à cette relation. Voici une méthode générale. Marquons dans le plan les divers points «,. <72, ..., a>' autour desquels plusieurs racines se permutent, et traçons à partir de ces points des coupures s'étendant jusqu'à l'infini, de façon que ces coupures ne se croisent pas entre elles. Soit ensuite Zq une valeur de z telle que l'équation

ait m racines distinctes et finies, 6,, 605 •••5 ^/«- Appelons z/,, 11-2^ ..., Uni les ni racines qui se réduisent respectivement à 6|, ^2, •••, l>ni pour :; = ^o, et qui restent des fonctions uniformes de Zj tant que cette variable ne franchit aucune coupure. Imaginons m feuillets plans superposés, admettant tous les mêmes coupures allant des points ai à l'infini. A chacun de ces feuillets atta-

chons une valeur de u et donnons au feuillet le même indice qu'à la racine correspondante. Il s'agit de voir comment on doit réunir les bords des coupures de ces diflérents feuillets.

Pour cela, considérons en particulier le point critique ai et une racine 11^. Si le lacet («/) ramène la racine Uh à sa valeur initiale, on supprimera la coupure aico dans le feuillet correspondant. On opérera de même pour tous les feuillets correspondant à des racines que le lacet («/) ne permute avec aucune autre. Les autres racines se partageront en un certain nombre de systèmes déracines se permutant circulairement autour du pointa/. Soit(?/a5 '^p? ••■1 '')o ^^]^) un de ces groupes; le lacet (a/) décrit dans le sens direct change Uy^ en ?/p, u^ en ii^, ..., u\ en u^. Réunissons le bord droit de la coupure sur le feuillet a au bord gauche de la même coupure sur le feuillet p, le bord droit de la coupure sur le feuillet p au bord gauche de la coupure sur le feuillet y, . . ., et enfin le bord droit de [ji. au bord gauche de a. Dans le voisinage du point <7/, les feuillets d'indice a, [3, ..., X, [x sont ainsi liés les uns aux autres, mais ils'sont complètement isolés des autres feuillets. Ils peuvent cependant les traverser, mais suivant des lignes doubles de la surface, et nous conviendrons toujours qu'il n'y a point de connexion entre deux nappes de surface le long d'une ligne double.

Opérons de même avec tous les feuillets et tous les autres points critiques. La surface Tainsi obtenue jouit des propriétés suivantes : i'' à chaque point de cette surface correspond une valeur bien déterminée de z et de u\ 2° à un déplacement infiniment petit sur cette surface correspond une variation infiniment petite de u^ sauf, bien entendu, dans le voisinage des pôles, qui sont en nombre fini. Cette surface T est la surface de Rieraann correspondant à la relation F(^, u) = o, étendue sur le plan des z. Projetons cette surface sur la sphère par le procédé déjà employé plusieurs fois (n° 5) ; nous obtenons une surface sphérique formée de m feuillets, qui peut remplacer la surface plane. Aux valeurs de z de module très grand correspondent les points de la sphère voisins du point O', et la liaison des feuillets autour du point O' résulte de leur liaison autour des autres points de ramification. Par exemple, si une racine est uniforme dans le domaine de ^ = go, quand on décrira un contour fermé sur la sphère autour du point O' en partant du feuillet correspondant à cette racine, il pourra

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'lNE VARIABLE. 20 1

se faire qu'on traverse plusieurs feuillets différents, mais, après un tour complet, on reviendra au point de départ sur le même feuillet.

Considérons une valeur a de :; pour laquelle a valeurs de u deviennent égales à h et forment un seul système circulaire dans le voisinage de ce point. Sur la surface T, on aura un système de ;j. feuillets liés les uns aux autres dans le voisinage de ce point, mais séparés des autres feuillets. Tls pourront les traverser suivant des lignes doubles, mais on ne pourra pas passer par continuité d'un de ces ui feuillets à un autre différent de ceux-là, en restant dans le domaine du point a. Nous dirons que ces a feuillets forment un cycle, et le point commun à ces a feuillets est le sommet du cycle; c'est un point de ramification d'ordre u. — i . Il peut se faire aussi que, pour z^^a^ on ait plusieurs systèmes circulaires de racines. Au-dessus du point :; = a du plan des ^, on aura sur la surface T plusieurs cycles distincts dont les sommets se projettent en ce même point. Par extension, on dira quelquefois qu'un point de la surface, par lequel ne passe qu'un seul feuillet, est un point de ramification d'ordre zéro. Un même point du plan des z peut être la projection de plusieurs points de ramification d'ordre zéro et d'autres points de ramification d'ordre supérieur. A un point double (a, h) de la courbe F(^,^/) = o, par exemple, correspon-

Fig. 68.

dent deux points de ï par lesquels passent deux feuillets tout à fait distincts : la surface ne présente rien de particulier en ces points. Ldijïg. 68 représente quatre feuillets superposés P, ,Po, P3, P^; le point a est un point de ramification d'ordre i pour les feuillets i

et 2, d'ordre o pour les feuillets 3 et 4; ces deux derniers feuillets sont entièrement distincts au point a ifig- 68).

Remarque I. — Quand on dit d'un point de T que ce point n'appartient qu'à un seul feuillet, on fait abstraction des lignes doubles. Pour un point pris sur une ligne double, il faut ajouter à quelle nappe le point est supposé appartenir.

Remarque II. — Il est clair que la façon de réunir les feuillets pour former une surface T n est pas unique. Par exemple, il n'est pas nécessaire de supposer que les lignes de passage sont des lignes droites; on peut leur donner des formes absolument arbitraires. Lorsqu'il n'y a que des points de ramification simples, on peut employer un procédé particulier dû à Luroth. ( Fo/r Picard, Traité d^ Analyse, t. II, p. 367 et suivantes.)

94-. On appelle point analytique {z.,u) l'ensemble d'une valeur de^ et d'une valeur de u vérifiant la relation considérée F (;j,w) = o. A tout point de T correspond un point analytique et inversement. Soit (a, b) un point analytique ; on a F(a, 6)= o et en général u ^=^h est racine simple de l'équation

S'il en est ainsi, le point de T qui correspond au point analytique (a, ^) estdéterminé sans ambiguïté. Il ne peut y avoir exception que si u = b est racine multiple de l'équation précédente. Supposons d'abord que les n valeurs de u voisines de b pour une valeur de z voisine de a appartiennent à un même système circulaire. Sur la surface T on aura, au-dessus du point z ^= a, un cycle de n feuillets, dont le sommet sera le point unique de T correspondant au point analytique (a, b). Il n'en est plus de même si les n valeurs de u voisines de b se partagent en p{p^ i) systèmes circulaires. On aura/? cycles sur T, dont les sommets correspondent au même système de valeurs z- = a, u = b. On aura en réalité p points analytiques (a^b), qu'il faudra distinguer les uns des autres. Mais ceci ne peut avoir lieu que pour un nombre fini de systèmes de valeurs de a et de b.

95. Nous nous proposons d'abord d'étudier les propriétés gêné-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. loS

raies des fonctions uniformes sur la surface T ou, ce qui revient au même, des fonctions uniformes du point analytique (^, a). Soit en premier lieu {a, b) un point à distance finie de la surface par lequel ne passe qu'un feuillet. Découpons un petit morceau de surface entourant ce point et situé tout entier sur un seul feuillet; lorsque le point de T restera sur cette portion de surface, le module de z — a restera inférieur à une certaine limite, et la branche de fonction considérée sera, dans ce domaine, une fonction uniforme de ^ — a. Il peut se faire que cette fonction ç soit, dans ce domaine, égale à la somme d'une série convergente

(> = Ao-i- Ai(^ — rt)-f-. . .-h kg{z — a)'7-f-.. . ;

alors la fonction r sera dite régulière au point (<7, b). Si

Ao= Ai =. . .= A^i — o,

sans que A^ soit nul, le point analytique («, ^) est un zéro d'ordre q. Si la fonction r n'est pas régulière au point ( a, Z>), ce point est un point singulier. Nous supposerons que c'est un point singulier isolé; alors, d'après le théorème de Laurent, on aura, dans le domaine de ce point,

V = Ao-F Ai(2 — a)^. . .-^ kg{z — a)l^.. .

z — a {z — ay^

S'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants négatifs, le point (a^b) est un pôle, dont Tordre est égal à la plus haute

puissance de dans le développement. S'il j a un nombre illimité de termes à exposants négatifs, le point analytique (<7, b) est un point singulier essentiel isolé. Dans les deux cas, le coefficient de est encore appelé i^ésidu.

Supposons maintenant que le point analytique (<7, ^) soit le sommet d'un cycle de a feuillets à distance finie. Découpons sur T un petit morceau de surface t ne contenant à son intérieur d'autre point de ramification que celui-là; t se composera de certaines portions des ijl feuillets qui passent par ce point, et sera li-

mitée par une courbe fermée qui, vue en projection sur le plan des z^ tournera [x fois autour du point z^=^a. (La figure représente cette courbe limite, pour p. = 3, la convention pour les traits ([ui figurent les chemins étant la même quey?^-. 65).

Fi g. 69.

C'est cette petite portion de surface que nous appellerons le domaine du point (rt, h). Il est facile de voir que cette surface peut se ramener à une portion de surface plane, située sur un même feuillet. Posons, en effet, s = « + ^^H- et représentons encore la variable ^' par un point dans un autre plan. Traçons les droites

issues de l'origine qui font entre elles des angles égaux à — ? et du

point ^' ^ 0 comme centre décrivons un cercle de rayon ;- très petit. On a ainsi une surface t\ composée de [jl secteurs circulaires égaux. Lorsque la variable d décrit un de ces secteurs, z décrit^ autour du point <7, toute la partie d'un feuillet aboutissant à ce point comprise à l'intérieur d'un cercle de rayon /'H-. A la surface t' correspond ainsi sur T un domaine entourant le point analytique (r/, ^), domaine que l'on peut prendre pour la surface t. Ces deux surfaces t et t^ se correspondent point par point et, sauf au point ^' = o, l'application est conforme. Toute fonction uniforme du point analytique {z^ ?/) pourra donc, à l'intérieur de ^, être remplacée par une fonction uniforme de z' à l'intérieur de i . Il suit de là que cette fonction sera dans le domaine de {a^b) une fonction uni-

forme de {z — a)^ , chaque détermination du radical correspondant à un des feuillets.

S'il n'y a pas, dans le voisinage du point [a, 6), une infinité d'autres points singuliers, la fonction v sera donc représentée, dans le domaine de ce point, par un développement ayant l'une des

FONCTIONS ALGEBKIQUES D UNE VV Kl A BLE.

formes suivantes

(II) r=yA,(.^--a)i^,

,111) ,^^^{^^^{--af'

Dans le premier cas, on dira que la fonction v est régulière au point (rt, 6); si Ao = A, = . . .= A^, --^ u, sans que A^ soit nul, le point ( rt, b) sera dit un zéro d'ordre q. Dans le second cas, le |)oint (rt, b) sera appelé un pôle d'ordre n, et, dans le troisième cas, un point singulier essentiel isolé. Dans ces deux derniers

cas, si les développements contiennent un ternie en ^?

un appellera résida le produit ;jlA[x. Il est facile de justifier ces définitions. Imaginons un contour Iracé sur T autour du point de ramification {a, b)\ puisque, par ce point, passent ;j. feuillets, ce contour doit faire a tours autour du sommet du cycle. Cela posé, considérons l'intégrale

prise le long de ce contour, de façon à avoir à sa gauche le domaine du point (V/, b). Le seul terme qui puisse donner quelque

chose dans celte intégrale est le terme en j

^dz.

et, comme Targument de z — a augmente de i^xr. quand on décrit le contour précédent, cette intégrale a pour valeur ^iir.'xk^,. On a donc, en appelant R (r/, b) le résidu,

R(rt, b) = — !-- V dz,

l'intégrale étant prise le long d'un petit contour entourant complètement le point (<7, b), de façon à avoir à sa gauche l'aire enveloppée, comme dans le cas d'un point («, b) qui ne serait pas de ramification.

Pour justifier la définition de Tordre d'un pôle ou d'un zéro, remarquons qu'un zéro d'ordre q àe, v donne toujours une variation de iqiz dans logr, quand la variable z décrit un contour fermé dans le sens direct autour du point analytique («, ^), tandis qu'un pôle d'ordre n donne une variation de — inr^ dans logç'. En d'autres termes, un zéro d'ordre q de r donne dans la dérivée logarithmique un résidu égal k -\- q^ et un pôle d'ordre n un résidu égal à — n.

Soit, en effet,

ç = {z-a)v\k^-^h,{z-af+...\, Ao^o.

On aura

ay^^kd^~af V...J,

, -Al (s — a!

i dv q !^

V dz [JL ( 2 — a) 1

Ao+ Ai(^ — rt)!^4-...

Le développement du second terme commencera par un terme de degré i ou de degré plus élevé; le résidu sera donc

^ X u. = ^. On verrait de même que, pour un pôle d'ordre n

de r, le résidu de la dérivée logarithmique est égal à — n.

Passons, maintenant, aux valeurs infinies de z. Pour plus de généralité, supposons qu'on ait à l'infini un cycle de a feuillets.

En posant ^ =z — , la fonction uniforme p se change en une fonction à[z')^ qui est uniforme dans le voisinage de 5'= o. Écartons le cas où cette fonction '^{z') admettrait une infinité de points singuliers dans le domaine de l'origine; dans ce domaine, ^(^')

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. lOJ

sera représentée par un développement de l'une des formes suivantes :

La fonction v sera donc représentée, dans le domaine du point à l'infini considéré, par un développement de l'une des formes suivantes :

(If) v=. 2 Av^-~i^;

(III) r= Va,., i^-.

Dans le premier cas, la fonction r est régulière au point à l'in-

fini; si le développement commence par un terme en z ^, ce point sera dit un zéro d'ordre q. Dans le second cas, le point à l'infini est un pôle d'ordre /?, et, dans le troisième cas, un point singulier essentiel isolé. Si le développement contient un terme en -,

'-^j on appellera résidu le produit — ;^-^-a- Ces définitions se

justifient comme précédemment. Le résidu de la fonction v pour un point à l'infini est égal à

l'intégrale étant prise le long d'un contour fermé limitant le domaine de ce point à l'infini, de façon à avoir ce domaine à sa gauche. Un zéro d'ordre q et un pôle d'ordre n donneront respectivement ^ et — n pour résidus dans la dérivée logarithmique.

2o8 CHAPITRK IV.

Remarquons encore une fois que la fonction peut être régulière à 1 infini sans que le résidu soit nul.

96. Soient ç une fonction analytique uniforme du point analytique (^, u) et Vi, {^2i ' • '■) <'m les m déterminations de cette fonction pour une valeur quelconque de z; il est clair que toute fonction symétrique de (^,, t'o, . • ., ^m sera une fonction uni/orme de z. Supposons que, pour z = a, quelques-unes des valeurs (^,, i'2, • ••, Vm ne soient pas régulières; alors la fonction p du point analytique (z, u) admettra comme pôles ou points singuliers essentiels quelques-uns des points analytiques [a^ h) qui sont superposés au point ^ = a du plan des z. La somme des résidus de la fonction v, relatifs à tous ces points singuliers^ est égale au résidu de la fonction v^-\- v^-^- - - - -^- t'm relatif au point z = a.

Si aucun des points analytiques (a, b) que la fonction ç admet comme points singuliers n'est un point de ramification, la démonstration est immédiate. Supposons que l'un de ces points soit un point de ramification d'ordre ]x — i; dans le voisinage de ce point, a des valeurs t^,, ('2, ..., v,n, seront représentées par un

même développement en série suivant les puissances de (^z — aj^ . Soit A p. le coefficient de dans ce développement. Dans la

somme c, 4- i'.. + . . . -f- r,,^ on aura le terme ' " ""' provenant des

a valeurs de v appartenant à ce système circulaire. En opérant de la même façon avec tous les points analytiques («, 6), on voit que la proposition est exacte avec la définition du résidu que nous avons adoptée. On reconnaît tout pareillement que la somme des résidus de la fonction v^ pour les points à l'infini deT, est égale au résidu de la fonction ^i + (^2 + • • • + ^'w pour ^ = oc.

Supposons que la fonction v du point analytique (3, u) n'ait sur T qu'un nomhve fini de points singuliers. La somme des résidus de cette fonction sur toute la surface T sera égale, d'après ce que nous venons de voir, à la somme des résidus de la fonction <') + <^^2 -l- • • • + <'w7 q^ii est une fonction uniforme de z, pour toutes les valeurs finies et infinies de z. Or cette somme

FONCTIONS ALGÉBUIQLES D ' U N E VARIABLE. 209

n'a évidemment qu'un nombre fini de points singuliers, et, par conséquent, la somme de ses résidus est nulle {voir Introduction). On a donc le théorème suivant :

Soit ç une fonction uniforme du point analytique [z. u) qui Ji admet, sur toute la surface T, qw un nombre fini de points singuliers; la somme des résidus de cette fonction sur toute la surface est égale à zéro.

97, Parmi les fonctions uniformes du point analytique (z, u)^ les plus simples sont les fonctions rationnelles de z et de u,

P etQ étant des polvnomes entiers en r et u. Dans le voisinage d'un point analytique [a, b) à distance finie, où u reste fini, le numérateur et le dénominateur peuvent se développer en séries ordonnées suivant les puissances de z — a, si parce point ne passe qu'un seul

feuillet, et de (:; — «j^si ce point est le sommet d'un cycle de a feuillets. Le quotient ne pourra donc contenir qu'un uovahva fini de termes à exposants négatifs, si le dénominateur est en z — a d'un degré infinitésimal supérieur à celui du numérateur. La fonction ç est donc régulière au point (r/, ^), à moins que ce point ne soit un pôle. Le raisonnement est le même pour les points de T où u devient infini et pour les points à l'infini de la surface. Par conséquent, toute fonction rationnelle de u et de z n'admet sur toute la surface de Riemann que des pôles.

Réciproquement, toute fonction uniforme du point analytique (;, «), qui y sur toute la surface de Bieman/t, n'admet d'autres points singuliers que des pâles, est une fonction rationnelle de z et de u.

iNous nous servirons, pour le démontrer, de la remarque générale suivante :

Toute fonction uniforme du point analytique [z, u) peut être mise sous la forme

Po(^), P| (c), . . ., P„,, [z) étant des fonctions uniformes de z. A. El G. i4

Par hypothèse, l'équation irréductible F(3, u) = o est de dégré m en u. Soient Ut, 112, . • ., Ujfi les m valeurs de 11 correspon-

dant à une même valeur de z, et ^,

les m valeurs de

correspondant respectivement aux points analytiques (:3, «,), (z, U2), . . ., (^, Uni)' Posons

^2 = Po— ^2 Pi H- ... -h ll'i^~^ P/n-U

t^.,.= Pr

on peut résoudre ces m équations par rapport à Pq, Pi, . car le déterminant

Ho

«^est pas identiquement nul. On en tirera, par exemple,

ou

1 Ui

. uf-^

Vm

Faisons décrire à la variable z un contour fermé quelconque^ les lignes du déterminant D se permutent d'une certaine façon. Mais, par hypothèse, les vt se permutent de la même manière que les Ui, de sorte que les lignes du déterminant D/ s'échangent entre elles exactement de la même manière que celles de D. Les deux déterminants sont donc multipliés par un même facteur, égal à dz I, et, par suite, P^ est une fonction uniforme de z.

Supposons maintenant que la fonction v du point analytique (3, u) n'admette que des pôles sur toute la surface T. Les développements des Ui et des r/ dans le domaine d'un point quelconque de la surface ne contiendront jamais qu'un nombre fini de termes

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. 2IÏ

à exposants négatifs. Il en sera évidemment de même de D et de D/, et, par suite, de P/. La fonction uniforme P/(^), n'admettant d'autres points singuliers que des pôles, est une fonction rationnelle; d'où résulte la proposition énoncée plus haut.

Toute fonction uniforme du point analytique (^, u), qui est régulière en tous les points de la suif ace T, est une constante.

En efîet, soient r,, r^, . . ., ^'m les ni valeurs de v correspondant à une même valeur de z. Les fonctions symétriques

sont des fonctions uniformes de z qui restent finies pour toute valeur, finie ou infinie, de cette variable. Ce sont donc des constantes et, par suite, v est racine d'une équation à coefficients constants.

98. Le nombre des zéros d' une fonction rationnelle v =i':i{z, u) sur toute la surface T est égal au nombre des pôles, chacun d'eux étant compté a^;ec son degré de multiplicité.

La dérivée logarithmique

d^ d'o du I dv dz du dz

est aussi une fonction rationnelle de :; et de u^ et les résidus de cette fonction proviennent des pôles et des zéros de r. Un zéro d'ordre /??/ de v donne 4- nii pour résidu, et un infini d'ordre n^ donne — /?a pour résidu. On a donc, d'après un des théorèmes précédents, Im/ — I/?^ = o ou -mi = ^n^.

Cette proposition donne lieu à quelques remarques.

L La fonction '^,(:^, «)=-— peut admettre d'autres pôles

que ceux qui proviennent des zéros ou des infinis de c. F^ar exemple, supposons que, dans le domaine d'un point de ramification d'ordre a — i , on ait

on en déduit

a 12 CHAPITRE IV.

Le point z^=^ a est un pôle d'ordre [jl — v pour -^, et, par suite, le résidu correspondant est nul.

II. On aurait pu aussi démontrer le théorème précédent en remarquant que la diflférence entre le nombre des zéros et celui des pôles de la fonction (^ est égale à la même différence pour la fonction rationnelle V\ ^o . . . Vm de z.

m. Soient V r= ^(^, w) une fonction rationnelle de z et de u, et N le nombre des infinis de cette fonction sur toute la surface. On dira que cette fonction est d'ordre N. La fonction C5(^, u) — Aa les mêmes pôles que cp(;3, w), quelle que soit la constante /.-. Elle a donc aussi IN zéros, et la fonction (^ = cp(5, it) passe N fois et N fois seulement par toute valeur donnée à l'avance.

Les propriétés précédentes rapprochent, on le voit, les fonctions rationnelles de z et de u des fonctions rationnelles d^une variable. Si l'on connaît, soit les pôles de la fonction rationnelle r = cp(:j, u), avec les parties principales correspondanles, soit les pôles et les zéros (qui devront être en nombre égal, en tenant compte de leur ordre de multiplicité), cette fonction ç sera déterminée, à une constante additive près dans le premier cas, à un facteur constant près dans le second. En effet, s'il existe deux fonctions rationnelles de z et u satisfaisant à ces conditions, leur différence dans le premier cas, et leur quotient dans le second cas, est une fonction rationnelle de z et de u, restant finie en tous les points de T, c'est-à-dire une constante; mais il n'en résulte pas qu'on puisse choisir arbitrairement les pôles avec les parties principales, ou les pôles et les zéros. Nous savons même (voir Ghap. I) qu'il n'en est pas généralement ainsi. L'étude des relations entre les résidus ou entre les pôles et les zéros sera faite plus loin.

IV. On emploie quelquefois l'expression ordre d'une fonction en un point (a, [3). Cet ordre est zéro, si le point (a, p) n'est ni un pôle ni un zéro; il est égal à -4- ii, si ce point est un zéro d'ordre n, à — n' si ce point est un pôle d'ordre n' . Le théorème sur l'égalité du nombre des zéros et du nombre des infinis peut alors s'énoncer ainsi : La somme des ordres d' une fonction rat ioiiiielle de z et de u sur toute la surface de Riemann est nulle ( ' ).

(') tÎRiOT et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. îi;,

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. 2l3

Lorsqu'il y a quelque ambiguïté à craindre, on peut dire que Vordre total d'une fonction est égal à N, si elle admet en tout ]N pôles, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité.

99. La définition des zéros et des infinis est purement analytique; on peut également la justifier par des considérations algébriques et géométriques. Étant données les équations de deux, courbes algébriques indécomposables

d'après la théorie générale de l'élimination, les abscisses des points communs aux deux courbes s'obtiennent en éliminant u entre ces deux équations. Le résultat de l'élimination est

iti, it-2j ' •', ihn désignant les m racines de l'équation (17). Soit (a, j3) un point commun aux deux courbes; lorsque z tend vers a, /•des racines de l'équation (17), U\, Ui, • • • ■> i^r, par exemple, tendent vers p. Le nombre des points d'intersection des deux courbes qui sont confondus au point (a, [3) est, par définition même, le degré du produit ^{z, «, ) . . . O (z, u,-) en (z — a). Il faut remarquer que A(;) peut contenir (z — a) à une puissance supérieure à celle-là, si les deux courbes ont d'autres points communs d'abscisse égale à a.

Cela posé, supposons d'abord que les /• valeurs de u égales à ^ pour z = x forment un seul système circulaire; ces /• racines sont alors représentées par un même développement

u = p-i- Ai(-3 — a)'- -h A^{z — a)'- ~-

où l'on attribue au radical [z — a)'' ses /• déterminations. Quand on remplace u par ce développement dans ^{z^ u), le résultat est nul par hypothèse pour ; = a, et l'on a un nouveau développement

Chacune des expressions <ï>(^,?^i), ..., <I>(5, «,) est donc du

degré ^ en (z — a) et, par suite, leur produit est du degré q. Or

q est précisément l'ordre du zéro de la fonction ^{z^ u) au point (a, |3). Donc le nombre des points dHntersection des deux courbes (i^) e^(i8) confondus au point (a, ^) est égal à V ordre du zéro de la fonction ^(z^u) au point analytique (a, [^), u et z étant supposés vérifier la relation F (::;, ?^) = o.

Si les r valeurs de u qui deviennent égales à ^ pour ^ = a se partagent en k systèmes circulaires, il j a, sur la surface de Riemann correspondante à l'équation F(^, u^ = o, k points analytiques (a, [3). Le même raisonnement montre que le nombre des points communs aux deux courbes confondus en (a, P) est égal à la somme des ordres des zéros de ^[z^u) en ces différents points analytiques (a, [^) (^).

Si le point commun aux deux courbes considérées est à l'infini, on ne peut plus appliquer la même règle. Par exemple, les deux courbes

¥{z,u) =^ uz — I = o, <ï>(z, u) = uz"^ — I = o,

ont une asymptote commune ^ = o, et dans le domaine du point ^ = o, on a

ce point n'est donc pas un zéro pour <ï>(^, u). L'emploi des coordonnées homogènes permet, comme on sait, d'éviter ces difficultés; on peut dire encore, ce qui revient au même, qu'une transformation homographique ramène le point commun à distance finie et supprime la difficulté.

La remarque suivante s'applique à tous les cas. Soit F (:;,?/) = o l'équation d'une courbe algébrique indécomposable et f{z, u)^ '^j{z^ u) deux polynômes quelconques du même degré /i; dési-

(^) Nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. Halphen: Sur les points singuliers, etc. {Journal des Savants étrangers, t. XXVI), où l'on trouvera une dclinition géométrique du même nombre.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 2l5

gnons par ç(:?, ii) la fonction rationnelle

Cela posé, soient (a, ^3) un point quelconque de la courbe F = o, q le nombre des points communs aux deux courbes F = o, /= o confondus au point (a, j^), q' le nombre des points communs aux deux courbes F = o, -i/ = o confondus au point (a, ^). La différence q' — q est égale à la somme des ordres de o (;, u) aux différents points analytiques (a, p).

La proposition est une conséquence immédiate de ce qui précède si le point (a, ^) est à distance finie. Si ce point est à l'infini, on le ramènera à distance finie par une transformation homogra-

phique

az -\- bu -\- c a z --- b' u -+- c'

s = "TT-, nr—, T. 5 u = -Y-, T^—- if ^

cp(^, u) devient

où 'li (^', u') = o et fi {z\ u') = o sont les équations des deux courbes de même degré qui se déduisent des courbes 6(z, u) = o, y(^, u) = o, par la transformation homographique précédente. Or l'ordre d'une fonction rationnelle en un point ne change pas, comme on le verra au Chapitre Y [, par une transformation homographique. La proposition est donc générale.

100. Le théorème classique de Bezout, sur le nombre des points communs à deux courbes algébriques, peut être considéré comme un simple corollaire de l'égalité du nombre des zéros et du nombre des infinis. Étant données deux courbes algébriques, de degrés m et n respectivement, choisissons une droite D rencontrant le système formé par les deux courbes en m -]- n points distincts, et faisons subir aux deux courbes une transformation homographique, de façon que la droite D devienne la droite de l'infini. Les /?^ 4- n directions asymptoliques du système formé par les deux courbes sont alors distinctes; nous supposerons de plus qu'aucune de ces asymptotes n'est parallèle à l'un des axes de

^l(> CHAPITRE IV.

coordonnées. Les équations de deux courbes s'écrivent alors

//, cp/f sont des polynômes entiers en - d'un degré au plus égal à

leur indice. En outre, les éqnalions/„i(i , c) = o, cp,, ( i , c) = o ont toutes leurs racines simples et n'ont aucune racine commune. La surface de Riemann, qui correspond à l'équation F(^, u) =r. o, se compose de 7n feuillets et n'a aucun point de ramification à l'infini; les m valeurs de u pour ^==roo sont représentées par m développements de la forme

u = CiZ + a'o'"' + -;- -+- (i =1, 2, . . ., m).

Chacun de ces points à l'infini est un pôle d'ordre n pour ^(Zyu), car le développement de ^(z^ii) commencera par un terme de degré n, z" cp/;(i, a), qui, d'après les hypothèses, ne peut être nul. La fonction $(^, u) a donc mn zéros à distance finie, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité; les courbes ont par conséquent mn points communs à distance finie. Il est clair d'ailleurs qu'elles n'ont aucun point commun rejeté à l'infini.

101. Toute surface de Riemann ayant des points de ramificalion d'ordre quelconque peut être considérée comme limite d'une surface de Riemann n'ayant que des points de ramification simples. Soit ^(z^ u) le poljnome le plus général de degré m en ^ et u. Nous pouvons supposer que la courbe qui a pour équation ri(z, u) = O n'a aucun point multiple, et que les m asymptotes sont distinctes, de telle sorte que les m valeurs de u pour z = 00 -sont fournies par m développements de la forme

Uf =: CiZ + a'/'' -^- ilL ^- . . . ii=i,2, ..., m);

le point ^ = GO est un pôle du premier ordre pour chaque valeur

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DLNK VARIABLE. >. 1 7

de II. Les points de ramification sont tous à distance finie et proviennent des points de la courbe oii la tangente est parallèle à l'axe des u. Si l'on a pris les axes, ce qu'on peut toujours supposer, de façon qu'aucun de ces points ne soit un point d'inflexion, ces points sont au nombre de jn{m — i) et chacun d'eux est un point de ramification simple. La surface de Riemann T,, correspondant à la relation ef(^, «) = o, a donc m feuillets et m{m — i) points de ramification simples

Imaginons maintenant que les coelficients du polvnome 5{z^ u) varient d'une manière continue depuis leurs valeurs primitives et admettons, pour fixer les idées, que le coefficient de u'"^ ne devient pas nul. Quelques-uns des points de ramification peuvent venir se confondie, mais la surface de Riemann correspondante se compose toujours de m feuillets. Pour voir nettement ce qui se passe, il est plus commode d'employer les lacets. A partir de chacun des points critiques <7), a.^^ ..., «>• tirons, dans le plan de la variable z, une coupure s'étendant jusqu'à l'infini, de façon que ces coupures ne se croisent pas entre elles {fig. 70). Soient z^

l'origine des lacets et u^, 11-2^ ..-, ihn les m racines, qui sont uniformes tant que z ne franchit aucune des coupures.

Supposons que les deux lacets («,) et (rto) unissent les deux racines ?/, et u-2 et soient neutres pour les autres racines. Un chemin tel que ZqJUJizq est équivalent à la suite des deux lacets («i), {0.2) et ramène chaque racine à sa valeur initiale. Si l'on imagine maintenant que, les coefficients de <?(:?, u) variant d'une

2l8 CHAPITRE IV.

manière continue, les deux points critiques a^ et a.i viennent se confondre en un point ^,, le chemin z-Qjnnz^^ devient équivalent au lacet (bi) et, par suite, ce lacet ramène les deux racines z/,, u-, à leurs valeurs initiales. On voit donc que deux points de ramification simples sont venus se réduire à un point ordinaire.

On peut s'en rendre compte d'une façon plus sensible. Sur la surface de Riemann primitive, la ligne droite a^ cio peut servir de ligne de passage entre deux feuillets; si les deux points «i, a^ viennent se confondre avec le point ^,, cette ligne de passage disparaît, et il n'y a plus de connexion entre les deux feuillets au point bt .

Nous pouvons faire d'autres hypothèses. Si les lacets (<2,) et (a.^) unissent des racines différentes telles que u^ et ii.,} ih et z</, , le point limite ^< sera la superposition de deux points de ramification simples. Si le lacet («<) unit «< et Wo, le lacet (ao) Ui et «3, le chemin Zç,jniiZQ conduit de ii^ à z^o, de U2 à W3, de it-i à u^. A la limite, le lacet {b^) permutera circulairement les trois racines w,, u-y^ Uz' Plus généralement, supposons que l'on ait /• points critiques voisins a< , «2, ..., «/•, tels que le lacet [ai) unisse les racines u^ et w/^i , et qu'un rayon vecteur tournant autour de ^0 rencontre ces points dans l'ordre des indices. Un chemin fermé entourant tous ces points critiques et ceux là seulement permute circulairement les /' + i racines u^^ .... Urj^^ ; si tous les points a^^ a^-, • • ., ctr viennent se confondre en un point Z>,, on aura autour de ce point un système circulaire de /• + I racines.

La méthode précédente est évidemment générale et montre suffisamment comment tout point de ramification d'ordre quelconque peut être envisagé comme provenant de la réunion de plusieurs points de ramification simples, suivant la conception de Riemann. 11 est clair, en effet, qu'on peut passer de la relation ^[z^ u^ = o 3. toute autre relation du même degré par une variation continue des coefficients.

Soient D le nombre des points de ramification simples qui sont venus se confondre en un point z = b et R la somme des ordres des points de ramification qui sont superposés au point z--—b. La différence D — R est nulle ou égale à un nombre pair positif.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. 219

Pour démontrer cette propriété, nous supposerons que les D points critiques a,, a^i . . . , «d viennent successivement coïncider avec le point z ^ b. Après i opérations, par exemple, les points <7,, a^, * . .., ai seront venus se confondre avec le point b et l'on aura en ce point b un certain nombre de points de ramification superposés, les points (//+», . . . , «0 restant des points de ramification simples. Soit R/ la somme des ordres des points de ramification superposés au point b après ces i opérations. Après la première opération, on a

Di = i, Ri=i, Di-R, = o,

et, en général, 0/= /.

Imaginons que le point (<7/+) ) vienne à son tour se confondre avec le point b. Le lacet (<7/+, ) unit deux racines u/i, ifk- On peut faire plusieurs hypothèses :

1° Les deux racines u/i, Uk sont uniformes dans le domaine du point b. Lorsque aiJ^^ sera venu en Z>, on aura en ce point un point de ramification du premier ordre de plus; par conséquent

2° Une des racines, u^ par exemple, appartient à un système circulaire de racines se permutant autour du point b. et Uk est uniforme dans le domaine de ce point. Supposons que le lacet

Fi°:. 71.

(<^*f/+t) unisse les racines «, et ;/a et que le lacet {b) permute les racines u^, ..., Up, la racine Uk restant uniforme au voisinage de b. Un chemin tel que z-QmnzQ (Jig. 71) conduit de w, à Uk. de Uk à Wo, • • ., de Up à ?/,. Lorsque a/,i sera venu en b, le lacet

(h) permutera les/> + i racines i/,, u^^ ;/o, . . . , Up, et les autres systèmes circulaires seront restés les mêmes. On aura encore

3" Les deux racines Uh^ u^ appartiennent à un même système circulaire de racines se permutant autour de b. Par exemple, supposons que le lacet (6) permute les racines {Ui,ii-2,---,ità',iik+\^ -'•i"p) et le lacet {(U^^ ) les racines «, et u^. Le chemin (z^Qmnz^^) permutera circulairement les racines

Quand le point <7/^, sera venu en />, on aura deux systèmes circulaires de racines

(«1, ti/i+i, ••■, Up), {ih, Ui, ■■■, ii/t),

et il n'y aura rien de changé aux autres systèmes circulaires. On aura toujours Dt^^ = i -\- i; pour avoir R/4.1, remarquons qu'au lieu d'un système circulaire de p racines on a deux systèmes circulaires de (A — i) racines et de (/> + i — h) racines. Donc

Ri+ 1 — }\i — h — 1 -\- p — h — {p — i) = — \ ^

4" Les deux racines que le lacet (cti^^) réunit appartiennent à deux systèmes circulaires différents autour du point b. Par exemple, le lacet («/+i) unit u^ et Uh et le lacet {b) permute les racines (w<, , . ., Up)^ (u/,, Uh^,, . . ., Uh+g).

Le chemin z-QUinz^ permute alors les racines dans l'ordre

A la limite on aura

DiVi = t + I , n■^^ — ^■=zp -+- q ~{p — i) — q =1,

En définitive, quand on change i en « + i , le nombre D/ — R/

FONCTIONS ALGÉBUIQLES d'une variable. 221

ne change pas, ou augmente de deux unités. Comme D, — K, = o, on en déduit la proposition énoncée.

Appliquons celle relation à tous les points de ramification d'une surface de Riemann; le nombre -D^ est égal au nombre des points de ramification simples de la surface primitive, c'est-à-dire à m{/}i — 0, qui est un nombre pair. On en conclut que la somme !'(/• — i), étendue à tous les points de ramification d'une surface de Riemann, est un nombre pair, /désignant le nombre des feuillets qui appartiennent à un même cycle.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. PERIODICITE DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

Connexion des surfaces en général. — Ordre de connexion d'une surface quelconque; d'une surface fermée; d'une surface de Riemann. — Généralisation de la relation d'Euler pour les polyèdres. — Coupures sur une surface de Riemann. — Exemples. — Equations binômes. — Surfaces de Riemann régulières. — Intégrales abéliennes. — Propriétés générales. — Périodes. — Classification (*).

102. On a vu an Chapitre III comment une snrface de Riemann à denx feuillets pouvait être transformée en une surface simplement connexe, par un système convenable de coupures : il en est de même des surfaces à un nombre quelconque de feuillets; mais les considérations intuitives dont on s'est servi pour le cas particulier déjà traité deviennent plus difficiles à saisir pour le cas général. Aussi nous allons reprendre la théorie de la connexion des surfaces à un point de vue tout à fait général.

Rappelons qu'une surface est dite coAine.rê lorsqu'il est possible de réunir deux points quelconques de cette surface par un trait continu situé tout entier sur la surface. Si l'on a affaire à une surface fermée, ou n'ajant pas debords, comme une sphère, un tore, une surface de Riemann, on commence par lui donner une courbe limite en pratiquant une petite fente dans cette surface ou en enlevant un petit morceau de cette surface. Les coupures dont il s'agira ici sont considérées comme de véritables traits de ciseaux, partant d'un bord et s'arrêtant dès qu'on rencontre un nouveau bord ; quand on trace plusieurs coupures successivement, les coupures ou

(*) Auteurs à consulter : Riemann, Inauguraldissertation, Théorie der Abel'schen Functionen ; — Neumann^ Vorlesungen Liber Riemann's Théorie, etc.; — E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, Chap. XIII et XIV ; — Simart, Thèse de doctorat; — Jordan, Recherches sur les polyèdres {Comptes rendus, t. LX- LXII; — Journal de Crelle, t. LXVI-LXVIII) ; — Note sur la déformation des surfaces {Journal de Mathématiques, i" série, t. XI).

portions de coupure déjà tracées doivent être regardées comme de nouveaux bords, de sorte qu'une coupure ne peut pas se traverser, mais peut s'arrêter en un point de son trajet.

Nous prendrons pour définition de la surface simplement connexe la propriété suivante : une surface connexe est dite simplement connexe lorsqu'il est impossible de tracer une coupure sur cette surface sans la morceler, c'est-à-dire sans la décomposer en deux morceaux n'avant plus de connexion entre eux. Dans le cas contraire, elle est plusieurs fois connexe, ou à connexion multiple.

La sphère, le plan indéfini, la surface d'un cercle ou d'un rectangle sont simplement connexes. Au contraire, une surface plane à plusieurs contours, le tore, une surface de Riemann à deux feuillets et plus de deux points de ramification, etc., sont à connexion multiple. Par exemple, dans la surface ABCD {^/ig- 72)

Fis:.

on peut tracer les trois coupures a^, yo, cvj sans morceler la surface; une nouvelle coupure la morcellerait. Prenons la surface du tore (Jig- 73); une coupure telle que omnpo ^ tracée suivant un

Fis. 7?.

méridien, la transforme en une sorte decvlindre recourbé, et une nouvelle coupure telle que o^io' transforme la surface en une surface à connexion simple o^Fo'o, M, o, . Inversement, en réunissant

'iu

les côtés opposés d'un rectangle, on obtient une surface leriné

ee

analogue à la surface du tore

103. La définition précise de l'ordre de connexiim d'une surface repose sur les propositions suivantes :

I. Une surface simplement connexe S est décomposée par une coupure en deux morceaux simplement connexes (').

Supposons d'abord que la coupure ah joigne deux points de la limite totale de S. Prenons snr les deux bords de la coupure deux points infiniment voisins /??, m' \ il est clair que tout point de S peut être réuni à l'un des deux points m ou m' par un trait continu situé sur S, sans franchir la coupure ah. On a donc décomposé la surface S en deux portions connexes séparément S', S'^ et,

Fig. 7l.

par hypothèse, il n'j a pas de connexion entre S^ et S'^ 11 s'agit (le faire voir que chacune de ces surfaces S' et S" est simplement connexe. En effet, si S', par exemple, n'était pas simplement connexe, on pourrait, sans la morceler, tracer dans S' une coupure. Soit cd cette coupure, telle que l'indique la première figure à gauche.

Cette coupure cd ne morcelant pas S', tout point de S' peut être joint par un trait continu au point m sans franchir la coupure cd. Si maintenant on supprime la coupure primitive rt^, tout point de S'^ pourra également être joint au point /;« sans franchirez/. On pourrait donc^ contrairement à l'hypothèse, tracer sur S une cou- [)ure c<ine morcelant pas la surface. On raisonnerait d'une façon analogue dans tous les cas, suivant la disposition de la coupure 6*<^,

( ' ) i^iEriANN, Gesammelle Werke, p. 9.

et l'on arriverait toujours à obtenir une coupure ne morcelant pas S; telle serait c\db pour la 2^ figure, ackdb pour la 3^, bcdef pour la 4^-

Si la coupure «6, au lieu de réunir deux points de la limite totale de S, se terminait en un point de son parcours, comme l'indique la figure ci-dessous {Jig- 70), les deux points /??, m\ infi-

niment voisins sur les bords opposés de la coupure, seraient disposés ainsi que le montre le dessin. Nous laisserons au lecteur le soin d'achever le raisonnement, qui est identique à celui de tout à l'heure.

Corollaire. — Etant données [Ji surfaces simplement connexes, si l'on trace, dans ce svstème de surfaces, v coupures successivement, on obtient ;jl -|- v morceaux simplement connexes. Chaque nouvelle coupure a pour eflfet de décomposer un morceau en deux.

II. Soit }l un système quelconque de surfaces; si, au moyen de V coupures successives, on décompose ce système en a morceaux simplement connexes, la différence v — a est un nombre constant pour ce système de surfaces (*).

Supposons qu'en procédant d'une façon différente on ait, au moyen de v' coupures successives, obtenu a' morceaux simplement connexes ; il s'agit de montrer que Ton a v — a = v' — a'.

Soient q une coupure du premier sjstème, q' une coupure du second système. 11 est toujours permis de supposer que les coupures q et q' ne se rencontrent pas sur les courbes limites, et que les points de croisement des coupures q n'appartiennent pas aux coupures q' et inversement ; s'il n'en était pas ainsi, il suffirait de déplacer infiniment peu quelques-unes des coupures, ce qui ne change évidemment pas les nombres v, a, v', a'. Imaginons alors

(') RiEMANN, loc. cit., p. 10.

A. ET G. i5

que, dans le système de surfaces S, on ait tracé à la fois les coupures q el q' \ et soit A le nombre de morceaux ainsi obtenus. On peut compter ce nombre de deux façons différentes; d'abord, on peut supposer qu'on ait tracé les coupures q les premières et qu'on trace ensuite, dans les a morceaux simplement connexes ainsi obtenus, les coupures q' . Chacune de ces coupures ^' devra compter pour/) H- I coupures distinctes,/? désignant le nombre de fois que €ette coupure q' traverse une coupure q. Si donc on appelle P le nombre des points de rencontre des coupures q avec les coupures q' ^ le nombre total des morceaux sera A = a -|- v' -+- P. En opérant dans l'ordre inverse, on trouverait de même A = a' -f- v -[- P.

On a donc

c'est-à-dire

Ainsi, pour décomposer une surface en cent morceaux simplement connexes, il faut toujours le même nombre de coupures, de quelque façon qu'on opère.

104. Gela posé, considérons en particulier une surface connexe S, et supposons que cette surface puisse être décomposée en portions simplement connexes au moyen d'un nombre fini de coupures (^ ). Si V coupures successives donnent a morceaux simplement connexes, la différence v — a est, d'après ce qu'on vient de voir, un nombre parfaitement déterminé pour cette surface. Le

nombre

est appelé Vordre de connexion de cette surface. Pour une surface simplement connexe, on peut prendre V = o, a=:i, et l'on a N= I, comme il est naturel. (On voit pourquoi nous avons pris V — a + 2, et non pas v — a, pour mesurer l'ordre de connexion.) Un cylindre ouvert aux deux bouts est transformé en une surface simplement connexe par une coupure tracée le long d'une génératrice. On a ici v = a =: i ; ce cylindre est donc une surface doublement connexe. Pour transformer le tore en une surface sim-

(*) Nous excluons par là même les surfaces qui ne pourraient être décomposées en portions simplement connexes par un nombre fini de coupures.

plement connexe, il faut deux coupures ; le tore est donc une surface triplement connexe. En général, une aire plane à ii contours est une surface connexe d'ordre /?.

Soit S une surface N/o«5 connexe (N > i) ; si l'on trace dans S une coupure cj ne morcelant pas cette surface, on obtient une surface S', qui est (N — ^) fois connexe.

Soit N' l'ordre de connexion de S'; si v coupures successives décomposent S' en a morceaux simplement connexes, on aura

et, comme on a passé de S à S' en traçant une coupure, on aura

aussi

N = V 4- I — a 4- 2, et, par suite,

On conclut de là que toute surface, S qui est N fois connexe, peut être transformée en une surface simplement connexe au moyen <f e N — i coupures.

Puisque S est N fois connexe (N >> i ), on peut tracer une coupure sans la morceler, et l'on a une surface S' qui est N — i fois connexe ; si N est plus grand que 2 , on pourra tracer dans S' une nouvelle coupure et l'on obtiendra une surface S'^ quisera(N — 2) fois connexe, et ainsi de suite. Au bout de N — i opérations, on arrivera à une surface dont l'ordre de connexion sera N — (N — i ) = 1 , c'est-à-dire à une surface simplement connexe.

Le même raisonnement prouve que, sur une surface N fois connexe, on ne peut tracer plus de N — i coupures sans la morceler. L'ordre de connexion d'une surface est donc égal au nombre maximum de coupures que l'on peut tracer sur cette surface sans la morceler, augmenté d'une unité.

lOo. Appliquons ceci aux surfaces fermées. Le type des surfaces fermées simplement connexes est la sphère; après la sphère, la surface fermée la plus simple est le tore, qui est triplement connexe. Mais il n'existe pas de surface fermée doublement connexe, et, d'une manière générale : L'ordre de connexion d'une surf ace fermée est un nombre impair.

On s'appuie, pour démontrer ce théorème, sur les remarques suivantes :

1. La limite totale dUine surface simplement connexe se compose dhine seule courbe (V).

11 faut entendre par cet énoncé que celte limite totale peut être décrite d'un seul trait continu. Supposons qu'on ait deux courbes limites distinctes C, C, et soit ah une coupure allant d'un point de G à un point de G'. Gette coupure ne morcelle pas la surface; pour le prouver, il suffit évidemment de faire voir qu'on peut réunir deux points infiniment voisins m, /?^', pris sur les deux bords opposés de ah^ par un trait continu, sans franchir cette coupure. En effet, soient n et n! deux points infiniment voisins de G' de part et d'autre du point h {Jig- 76).

On peut aller de m en n et de n' en m' en longeant la coupure. D'autre part, la courbe limite (}' n'ajant qu'un point commun h avec la coupure, il est clair qu'on peut joindre les deux points n et n' par un trait continu restant toujours infiniment voisin de G' et ne traversant pas ab. Il existerait donc, contrairement à l'hypothèse, une coupure ne morcelant pas la surface.

II. Si dans un système de surfaces 2 on trace une coupure, le nombre des courbes limites augmente ou diminue d'une unité.

Il suffît d'examiner tous les cas qui peuvent se présenter et qu'on a figurés ci-dessous en donnant aux coupures aZ>, abcd des

(*) Cette propriété est évidente, si l'on définit une surface simplement connexe, comme au n° 51. Pour l'identité des deux définitions, on pourra consulter la Note de M. Jordan Sur la déformation des surfaces {Journal de Mathématiques, 2® série, t. XI).

épaisseurs finies pour qu'on voie leurs deux bords {fig. 77). Si la coupure réunit deux courbes limites différentes A et B {^fig. 77, i), ces deux courbes limites sont remplacées par une seule qu'on peut parcourir dans le sens marqué par les flèches. Au contraire, si la coupure joint deux points d'une même courbe limite (2) ou se termine en un point de son parcours (3), le nombre des courbes limites est augmenté d'une unité. Dans tous les cas, ce nombre change de parité.

Fig. 77.

Cela posé, soit S une surface fermée N fois connexe. La limite totale se compose d'une seule courbe infiniment petite, et la surface se transforme en une surface simplement connexe au moven de N — i coupures. Comme, à chaque coupure, le nombre des courbes limites change de parité, et que toute surface simplement connexe a une seule courbe limite, on voit que N — i doit être pair. Plus généralement, l'ordre de connexion d'une surface et le nombre des courbes limites sont de même parité.