Soit

l'ordre de connexion d'une surface fermée 5 le nombre entier/? est appelé le genre de la surface. La sphère est de genre zéro, le tore de genre un. Le type des surfaces fermées de genre/) est la sphère solide avec/? trous, ou le système de p anneaux soudés l'un à l'autre, formant une chaîne non fermée. Pour transformer une pareille surface en une surface simplement connexe, il faut un système de ip coupures. Par exemple, on peut tracer ces ip coupures de façon que/? d'entre elles tournent autour d'un trou, les/? autres passant à travers un ou deux trous. Tout ceci est à rapprocher du début du Chapitre III; les surfaces qui y sont étudiées

23o CHAPITRE V.

ne sont au fond que des surfaces du genre/». Les considérations qui y sont employées prouvent directement que la surface de Riemann à deux feuillets et à 2/> + 2 points de ramification est de genre p ; résultat que nous vérifierons tout à l'heure.

107. Soit S une surface connexe; isolons un point sur cette surface par une courbe infiniment petite G et supposons enlevé le morceau intérieur; on obtient ainsi une nouvelle surface S', dont V ordre de connexion est supérieur d'une unité à celui

deS{fig.^%).

Fig. 78.

Il est évident d'abord que la surface S' sera encore connexe. Joignons un point 6 de G à un point a d'une courbe bmite A de S par une coupure ab^ ne morcelant pas S^ (n° 102), et soit S'' la nouvelle surface ainsi obtenue. Les ordres de connexion des trois surfaces S, S', S^' sont respectivement N, N', N". Imaginons que V coupures successives q tracées dans S'^ la décomposent en a morceaux simplement connexes; on aura d'abord

Gomme on passe de S' à S'^ en traçant dans S' une seule coupure ab^ on aura aussi

D'un autre côté, si l'on trace dans S la coupure abcb, on la décompose en deux, le morceau simplement connexe intérieur à la courbe G et la surface S'^; si l'on trace ensuite dans S'^ les v coupures g, on obtient a morceaux simplement connexes. On a donc

N = V -h [ — (aH- i) 4- 2 et, par suite,

D'une manière générale, quand on enlève n morceaux simplement connexes d'une surface connexe, l'ordre de connexion augmente de Ti unités.

Remarque. — Quand on applique ce théorème aux surfaces fermées, on doit supposer qu'on a déjà donné une limite à la surface.

108. On déduit aisément de cette remarque une généralisation de la relation, due à Euler, qui lie le nombre des faces, le nombre des sommets et le nombre des arêtes d'un polyèdre.

Soit T une surface fermée connexe, de genre/?; imaginons qu'on ait décomposé cette surface en F portions simplement connexes par un système de coupures. On aura sur cette surface une espèce de réseau polygonal ayant F faces, S sommets, A arêtes. SI l'on entoure chaque sommet du réseau d'une petite courbe et qu'on enlèye le morceau intérieur, on aura une surface connexe T' dont l'ordre de connexion sera, d'après ce qui précède,

jN' = 2/? -h I -h S — I = ip -+■ S,

car une des petites courbes doit être regardée comme formant la

limite de T. Si l'on trace ensuite dans T' des coupures suivant

les A arêtes, on trouve F morceaux simplement connexes. On a

donc

ou bien

Si /? = o, on retrouve la formule d'Euler. Si/?= i, il reste A = F-|-S; comme vérification, reprenons le tore et ses deux coupures, on a

La formule précédente est souvent utile pour trouver le genre d'une surface fermée.

109. Nous allons appliquer cette théorie générale aux surfaces

(*) Lhuilier, Annales de Gergonne, t. III.

de Riemann. Le premier problème que l'on ait à résoudre est le suivant : Etant donnée une surface de Riemann connexe T, composée de m feuillets, dont on connaît les points de ramification, trouver le genre de cette surface.

Il suffit de procéder comme pour établir la formule d'Euler généralisée. Supposons la surface T composée de m feuillets étendus sur la sphère et soient a^^ . . . , a^ les q points de la sphère où se projettent les points de ramification. Au point at^ par exemple, sont superposés ni points de ramification dont quelques-uns peuvent être d'ordre zéro. Prenons un point O de la sphère au-dessus duquel passent m feuillets distincts; isolons chacun des m points qui se projettent en O par une courbe infiniment petite, et enlevons les portions de la surface intérieures à ces courbes. Opérons de même avec tous les points de la surface qui se projettent aux

Fig. 79-

points «1, «2, . . ., aq, et soit ï' la surface ainsi obtenue. Le nombre des morceaux enlevés est m + n< H- . . . -f- /z^; comme une des petites courbes doit servir de limite totale à T, l'ordre de connexion de T' sera, en appelant ip -j- i celui de T,

N'= 2/) -t- /?ZH- /Il -f- /l2-H. . .-i- Tlq.

Pour fixer les idées, supposons les lignes de passage de T tracées suivant des lignes allant du point O aux points a^, a^i • •-, Œq. Si, sur chacun des feuillets de T', on trace les q coupures allant de O aux points a,, ..., a^, on a, au moyen de ces mq coupures, décomposé T' en m morceaux simplement connexes. Par suite, on a

N' = 2/> H- m -i- Ail 4- . . . 4- n^ = mq — /ti h- 2

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. a33

OU

'Ji.p z= \ ( /?i — m) — 2 /?i -r- 2 ;

or m — Ri est égal à la somme des ordres des points de ramification qui sont superposés au point «/, S(/?i — iii) représente donc la somme !(/• — i) des ordres de tous les points de ramification de la surface; il vient donc, en définitive,

SCr — i) p = m -h I ,

Telle est la formule fondamentale due à Riemann ('). On voit que la somme -(/• — i) est toujours un nombre pair (n® 101).

Exemple. — Pour une surface à deux feuillets, ayant ip-{- i points de ramification, la formule précédente montre que le genre sera égal à/?; ce qui est bien d'accord avec le Chapitre III.

110. Le second problème à résoudre est celui-ci : Etant donnée une surface de Riemann, de genre /?, transformer cette surface en une surface simplement connexe au moyen de ip coupures.

On peut employer pour cet objet plusieurs systèmes de coupures. Nous adopterons un système dont s'est servi Riemann (2). Remarquons d'abord les propriétés suivantes :

1° Toute surface dont la bmite totale peut être décrite d'un seul trait continu est connexe. En effet, si l'on prend d'abord deux points quelconques infiniment voisins de la limite, on peut passer de l'un à l'autre par un trait continu infiniment voisin de cette limite. Si l'on a ensuite deux points quelconques de la surface, il est clair qu'on peut réunir chacun d'eux à un point infiniment rapproché de la courbe limite.

2° Étant donnée une surface à connexion multiple limitée par une seule courbe, on peut tracer dans cette surface une coupure terminée en un point de son parcours et ne morcelant pas la sur-

(') Gesammelte Werke, p. 106.

(') RiEMANX, Abelschen Functionen, § 7.

face. Par hypothèse, on peut tracer une coupure ne morcelant pas la surface. Cette coupure part d'un point a de la limite; supposons qu'elle se termine en un autre pointa de la limite. Marquons sur cette coupure deux points et! ^ h\ infiniment voisins des points a et h^ et réunissons-les par un trait continu o! b' infiniment voisin de ah {fig. 80); si l'on supprime la coupure ^6' et qu'on

trace une coupure a' b' , on a la coupure aa! cV oJ qui est terminée à un point de son parcours et qui ne morcelle pas la surface.

Gela posé, considérons une surface de Riemann ip + i fois connexe (/> > o) To^^, 5 soit A une courbe infiniment petite servant de limite à cette surface. Soit, de plus, a^ une coupure ne morcelant pas cette surface ; on peut supposer que les deux extrémités de cette coupure sont sur la courbe limite A. En effet, si cette coupure se terminait en un point b de son parcours, on pourrait prendre pour courbe limite de To^.^, une petite courbe entourant

Fig. 81.

le point 6, et supprimer la portion de coupure comprise entre A et b^ ainsi que la courbe limite A. La nouvelle surface To/,, ainsi obtenue, est ip fois connexe; on peut donc réunir deux points infiniment voisins, pris de part et d'autre de «,, par un trait continu. Traçons une coupure b^ le long- de ce trait continu; la surface obtenue To;,., est encore connexe, car sa limite, comme le montre ^'à fig. 81, peut être parcourue d'un seul trait continu.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 2i35

Si/?>>i, T.2p i sera encore plusieurs fois connexe, et l'on pourra tracer une nouvelle coupure, partant d'un point de ^, et terminée en un point de son parcours, ne morcelant pas la surface. Soient c, «2 cette coupure, et To^o la nouvelle surface, qui est encore à connexion multiple, ainsi obtenue. On pourra ensuite joindre deux points infiniment voisins, de part et d'autre de a^-, par une nouvelle coupure 60, et la nouvelle surface Tojs-s sera connexe, car sa limite totale pourra être parcourue d'un seul trait (/-•Sa).

Fig. 82.

Si y? ^ 2, To^3 sera simplement connexe. Si /? >> 2, on continuera de la même façon. Au bout de p opérations, on aura transformé T en une surface simplement connexe T' au moyen de/? systèmes de deux coupures (^v, ^v), ('-' = 17 2, . . . , p), réunies par des coupures Cv(v = 1,2,...,/? — i). Remarquons que les coupures Cv et «v+i (sur la figure c, et rto) ne forment en réalité qu'une seule coupure se terminant en un point de son parcours.

D'après la façon dont on a opéré, on voit que les coupures sont absolument disposées comme celles qui nous ont servi dans le cas d'une surface à deux feuillets. La seule différence entre les deux cas, c'est que les coupures Cv employées ici joignent une coupure by à une coupure a^^t. Mais ceci importe peu; on a déjà fait remarquer, en effet, que l'on peut, par une déformation continue, déplacer l'extrémité de la coupure Cv de façon à Tamener en un point de ^v+i . On verra d'ailleurs que ces coupures Cy ne jouent qu'un rôle tout à fait auxiliaire. Relativement aux bords positifs et négatifs des coupures a^ et 6v, on peut choisir arbitrairement le bord positif d'une coupure «v? et le bord positif de b^esl alors dé-

fini par la convention du Chapitre III. Par exemple, si la coupure «v, vue en projection sur le plan des z^ a la forme d'une courbe fermée, ne se coupant pas elle-même, on prendra pour bord positif le bord extérieur.

IH. Appliquons ces considérations générales à quelques exemples.

Exemple 1. — La surface de Riemann correspondant à la relation

se compose de quatre feuillets; les points z = y. et ^ = y sont des points de ramification d'ordre 3 ; au point z=^ sont superposés deux points de ramification simples, enfin le point à l'infini n'est pas un point de ramification. La surface est donc du premier genre, d'après la formule générale. Nous supposerons les lignes de passage tracées suivant des lignes droites indéfinies issues des points a, p, y : soient i^, u.., u,i, u,, les quatre valeurs de u, rangées par ordre d'argument croissant, qui correspondent à une valeur de z différente de a, p, y, et P,, Po, P3, P, les feuillets correspondants de la surface de Riemann. Les lacets (a) et (y) unissent les racines u, et lu, 11-2 et u^, u^ et ?/,, u, et w,. Les lignes de passage issues des points a et y unissent donc les feuillets Pi etP„ P2etP3, P3 etP,, P, et P< . Au contraire, il y a deux lignes de passage distinctes issues de p; l'une d'elles unit les feuillets P^ et P3, l'autre les feuillets Po et P,. Lafig. 83 montre

If ta

-hA —

les deux coupures a et 6; on a adopté un trait différent pour chaque feuillet, comme il est indiqué à côté de la figure.

Exemple 11. — La surface de Riemann correspondant à l'équation

a quatre feuillets et six points de ramification; les points a et v sont des points de ramification d'ordre 3 ; aux points jj et oc, on a deux points de ramification simples superposés. Le ^enre de la surface est donc égal à 2. jNous supposerons toujours les lignes de passage tracées suivant des lignes droites allant des points a, p,y au point à l'infini. Adoptons les mêmes conventions que dans l'exemple précédent. Quand on tourne dans le sens direct autour du point a, on rencontre les feuillets dans Tordre P,, Po, P3, Pj ;

quand on tourne dans le sens direct autour de y, on les rencontre dans Tordre P,, Pj, P3, Po. Du point [^partent deux lignes de passage unissant Pi et P3, Po et P4. Sur \dijig. 84 on a tracé les coupures a,, 6,, c,, «2, b.2'

Exemple III. — La surface de Riemann correspondant à la

relation

(') Cette équation a servi de point de départ aux recherches de M. Picard Sur les fonctions de deux variables indépendantes analogues aux fonctions modulaires (Acta mathematica, t. II, p. ii4)-

a trois feuillets et cinq points de ramification du deuxième ordre, a, [^, y, 0, co : le genre est donc égal à 3. Quand on tourne dans Je sens direct autour des points a, p, y, o, on rencontre toujours les feuillets dans le même ordre P^ , Po, P3. Sur la fig. 85 on a

Fig. 85.

supposé les lignes de passage allant des points a, p, v, S à l'infini ; on a tracé les coupures «2, , èi, c< , «2, ^2, Co, a^, b^ en figurant par un trait continu, par des points ou des points-traits, les lignes tracées dans les feuillets i, 2, 3.

112. Proposons-nous encore, comme application, d'étudier le genre d'une équation binôme

R(^) désignant une fonction rationnelle. Si, pour une valeur

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. l3g

finie ou infinie de z, R(^) a une valeur finie différente de zéro, les 771 valeurs du radical ^R(^) restent des fonctions uniformes de z dans le domaine de ce point. Il en est de même si, dans le domaine d'un point z = a à distance finie, on a

ou si Ton a, pour ^ = ce,

q étant un nombre entier positif ou négatif, et R, [z) une fonction rationnelle qui prend une valeur finie et différente de zéro pour z = a, ou pour z =^ ce.

On obtiendra donc les points de ramification de la surface de Riemann, correspondant à la relation binôme (i), en cherchant les pôles ou les zéros de la fonction rationnelle R(^) dont Tordre de multiplicité n'est pas un multiple de 77i. Soit a un de ces points, un zéro par exemple, et 7i son degré de multiplicité. Dans le domaine du point ^ = (7, les 77i valeurs de u sont représentées par

V(i;-a)'*Pi(z),

P, (^) désignant une fonction uniforme dans le domaine du point z = a et le radical ^{z — «/' devant être pris avec ses m déterminations. Lorsque l'argument de ^ — a augmente de 27r, l'argument de II augmente de — -- Supposons — réduit à sa plus simple expression -; après /' tours de la variable z autour du point «,

l'argument de u a augmenté de 2t.s et, par conséquent, u revient

à sa valeur initiale. On a donc, en supposant m = /-a, a cycles

de /• feuillets ayant leurs sommets au point z ^ a.

Soient rt,, ao, . . . , a^ les différents points de ramification, et

/, , /'o, . . . , 7'q les nombres entiers qui jouent le même rôle que le

nombre /■; le point ai est le sommet de a/ cycles de r/ feuillets.

Posons

m = a, /'i = a2 /'2 = . . . = ocg r'q ;

tous les nombres /'i, /*o, . . ., 7'q font partie des diviseurs de m su-

24o CHAPITRE V.

périeurs à l'unité et ne sont pas iorcément inégaux. La formule générale de Riemann nous donne alors

ai(/-l — l)^...-f- g (/y — t)

ou

Les surfaces de Riemann, qui correspondent à une équation binôme, sont des surfaces régulières. On appelle ainsi les surfaces de Riemann telles qu'en chacun des points de ramification les m feuillets de la surface se partagent en un certain nombre de cycles composés d'un même nombre de feuillets. Soient «,, <225 ' ' '^ciq les points de ramification; si au point ai les m feuillets se partagent en a,- cycles de 77 feuillets (m = a/ 77), le genre de la surface est encore donné par la formule précédente.

La détermination de toutes les surfaces régulières d'un genre donné dépend donc en premier lieu de la recherche des solutions en nombres entiers et positifs de l'équation (2), /'<,..., /-^ étant des diviseurs de m supérieurs à l'unité. On peut encore écrire cette équation

m{q — 2; — (aiH-... + a,^)=r 27?— 2,

a,, a2, . . . , a^ étant des diviseurs de m, inférieurs à m.

Examinons les cas les plus simples. Si /? = o, l'équation (2) donne

etj comme - est au plus égal à -, on en conclut que l'on a

q — i<^ ou q <\.

Si q =2, l'équation (2) devient

m m ri /•2

ce qui exige que l'on ait m = /-< = /-o. En prenant ^ = 3, on doit

avoir

équation qui n'admet qu'un nombre fini de solutions en nombres entiers et positifs. Toutes les solutions de l'équation (2) sont, dans ce cas, renfermées dans le tableau ci-dessous :

/ 771 = 2/1, /'i = 2, fi — 2, 7'i = n ;

p = oi ) m = 12, /•i=2, /•o=3, ri=3;

Si /> = I , l'équation (2) devient

îomme — est au plus égal à -, on doit avoir

q'^i -i- ~f ou ^ = 4"

Si ^ = 4? OQ a forcément /v= 2. Si ^ == 3, l'équation devient

et n'admet encore qu'un nombre fini de solutions, qui sont fournies par le tableau ci-dessous :

' = 3 j ri = 2, 7-2 = 4, ''3=4;

Enfin, si Ton suppose p supérieur à un, l'équation (2) n'admet encore qu'un nombre limité de solutions en nombres entiers et A. ET G. 16

positifs, répondant à la question. En effet, on a ^-^ < ? et, par suite,

7n iq — 1 — ) ^ ^y — ^ OU

Comme m est au moins égal à 2, on en conclut que q satisfait à l'inégalité

q — \%ip — ?.

ou

l'égalité n'ayant lieu que si tous les nombres m et r, sont égaux à 2. Il y a donc une limite pour q. En second lieu, pour une valeur donnée de q^ il y a une limite pour m et, par suite, pour j\ , r2, . . . , Fq. Ceci est évident, d'après l'inégalité (3), si q est supérieur à 4- 11 ne peut y avoir de difficulté que si ^ = 3 ou </ = 4-

Si 7 = 3 , la somme \ 1 devant être intérieure à l'unité,

on s'assure aisément que cette somme est au plus égale à ^j ce

qui a lieu pour /•, = 2, ^0= 3, r^^'j. On a, par suite,

m^^i{ip — 2).

De même, si ^ = 4, la somme 1 \ \ ? devant être

inférieure à 1, est au plus égale à — et l'on a, par suite,

On a d'ailleurs une limite inférieure de tn en remarquant que y^ — est au moins égal à — et l'on a, par suite,

Voici le tableau des solutions de l'équation (2) lorsque/? = 2;

nous rappelons que /■/ doit être un diviseur de m supérieur à l'unité.

/-^ = Ta = 6 :

ro -- Ta = 8 ;

ri

rx

ri

ri

ri

r, = 5, Ta rrr 'j ;

ri

ri

ri

3, Ta = 4;

ri

ri

ri

ri

ri - 3, 7-3 = 7.

ri

-zr.2 =

ri

^ri =

ri

ri

ri

= To =

Connaissant une solution de l'équation (2), la détermination d'une surface de Riemann avant la ramification demandée est un problème de combinaisons qu'on peut toujours résoudre par un nombre fini d'essais. Cette surface une fois déterminée, il resterait encore à examiner si elle correspond à une relation algé-

brique, question générale que nous n'aborderons pas ici(^). Nous allons montrer simplement comment on peut obtenir les équations binômes qui correspondent à une solution de l'équation (2) en nombres entiers et positifs. Soit

(4) ii'« = Ti{z — ai)"^i

une équation binôme irréductible; le nombre mi peut toujours se mettre sous la forme m/ = mti^ nt^ tt désignant un nombre entier positif ou négatif, et ni un nombre entier satisfaisant aux inégalités o^ni<^m. L'équation binôme proposée peut alors s'écrire

(5) urn ^['R^{z)Y^{z — a^)n.{z —a^Y^. . .^z ~ asYs^

Ri(^) désignant une fonction rationnelle de ^ et /z<, ..., ils des nombres entiers positifs inférieurs à ni. Les nombres m, n^^ .... jis sont en outre premiers entre eux, sans quoi la relation ne serait pas irréductible. Il est clair que la fonction u définie par l'équation (5) est ramifiée comme la fonction U définie par l'équation

(6) U'« = (> — ai)«i(s — a2)«2...(^ —as)"^.

Supposons connues les valeurs de q^ /'<, r^, . . ., r^. Le nombre .V est égal k q — i ou à ^, suivant que le pointa l'infini est ou non un point de ramification. Quant au nombre /?z, il est toujours égal au plus petit multiple commun M des nombres /'i , /'o, . . ., rq. En

effet, le rapport — réduit à sa plus simple expression doit être de

la forme —S ce qui exige que m soit divisible par ri. On a donc m = MQ, et, par suite,

ni r'i , M

tous les nombres ni sont donc divisibles par Q, et, par conséquent, on a Q = I : autrement la relation ( 5 ) ne serait pas irréductible.

Cette remarque permet d'éliminer un certain nombre des solutions trouvées pour l'équation (2), auxquelles ne correspondent

(') Riemann a démontré qu'à toute surface connexe à plusieurs feuillets correspond une fonction algébrique. (Picard, Traité d'Analyse, t. II.)

pas d'équations binômes. Nous voyons de plus que, lorsque yo = I , les valeurs de m sont respectivement m = 2, 3, 4, 6. En nous bornant au cas de /? = o et de y;» = i , nous n'avons donc en tout que six cas à examiner :

ri = 2, /% = 2, rg = n {n impair

ri = ^2 = ''3 = ^4 = 2 ;

/'i =: 2, ro = 3, /'s = 6.

La discussion n'offre aucune difficulté et toutes les relations bi nomes de genre o ou i sont fournies par le Tableau suivant :

ir- = [Ri {z)y-{z — ai){z — a.2){z - a^jiz — «4); ir^ = [Ri{z.)Y^{z-ai)iz — a,){z-a^);

m3 = [Ri(\s)]3(- — «i)(-s — «2)(- — «3); . u^ = [Ri{z)]Hz — ai)(z — a.); u^ = \Ri(z)f{z - aiY-iz - a.y-(z - a^r-; u^=[Ri{z)\^{z-aiy{z-a.y- IX u'*= [Ri(z)]'-{z — aiY-iz — a,){z - as);

XI u'^ = [Riiz)]*{z — a.2){z — as);

xu. ... u* = [Ri(^)]H^ - «i)'-(- — «2)H- — «3)^ ;

\ XIII... u'*=[Ri{z)y-{z^aiy-{z-a.y\ XIV. ... u'* = [Ri{z)]-*{z-aoy{z - «3)^ ;

XV 11^ = [R,{z)]H^ — ay)(z - a.y-iz — a^y;

XVI.... ii^^[Ri{z)Y{z — ai){z-a.2y; ii^=^[Ri{z)y(z-a,){z-a,y;

«6 = [ Ri (z)y {z — a.yiz — «3 )-^ ;

u^ = [Ri{z)Y{z-aiy{z-a.y:

«6 = [Ri(.)]6(^«l)3(-«3)5; ?.6 = [Ri(^)]6(- a2)H--«3)^-

On peut remarquer que ces équations se déduisent de quelques

unes d'entre elles par des transformations simples. Ainsi, en effectuant sur z une substitution linéaire, on peut ramener les trois dernières équations à la relation (XTX), les équations (XVI), (XVII) et (XVIII) à la relation (XV), (XIII) et (XIV) à (XK), (X) et (XI) à (IX), (VIII) à (VII), (VI) à (V), (IV) à (III), (II) à (I). On peut déduire de même (VII) de (V), (XII) de (IX), (XIX) de (XV) en changeant ..en^. Enfin, si Ton remplace u par uK^{z)^ on voit que toutes les équations binômes de genre un se ramènent à quatre équations distinctes

Iir.. . . m2 ={z-~a^){z — a^){z — a^){z — a,))

VU'.... u^ = {z-a,Y{z-a,Y{z~a,Y-

Xir.. . . u'^ ^{^z — a^ Y{z — a.y{z — «3)3 ;

XIX'... u^ = {z — a^y{z — a^f{z — aiY,

dont elles peuvent se déduire par une substitution linéaire effectuée sur z^ accompagnée de l'une des transformations

Toutes les équations binômes de genre zéro se ramènent de même à la relation unique

113. Nous avons vu qu'il existe en outre quatre surfaces de Riemann régulières de genre zéro, composées respectivement de 12, 24, 60, in feuillets. Les équations algébriques correspondantes jouent un rôle important dans un grand nombre de recherches ( ^ ); nous allons les indiquer ici. Nous nous appuierons pour cela sur les identités suivantes qu'il est facile de vérifier

{u'* — 2 v/=^ m2 + i)"^ (wi | 2 v^IITs t^2 | 1)3 ^ 12 s/'^[u{u'* — l)]2,

(a8 -h 14 u'* 4- i)3 fo8 [i^(i^4 ,)]4 = (ïil2 33 ^^8 33 u'* -f- l)2, == — [w30+T-4- 52'2(w2S u^)— IOOo5(w20+ wl0)]2.

(' ) Voir, par exemple, l'Ouvrage de M. Klein, Vorlesungen iiber das Jkosaedei

Cela posé, les équations algébriques

[u^^is/^lW^-hif

-2lSu'^ —

i-ji^u^^u^^^iiu'^-

OÙ 1 on considère :? comme la variable indépendante et u comme la fonction, admettent pour surfaces de Riemann des surfaces régulières de genre zéro. Démonlrons-le, par exemple, pour la seconde. La surface de Riemann se compose de t2 feuillets ; pour :: = o, les douze racines sont égales 3 à 3 et les racines égales forment un seul système circulaire. Le point z = o est donc le sommet de quatre cycles de trois feuillets, et l'on voit immédiatement qu'il en est de même du point z = ce. D'autre part^ la seconde des identités écrites plus haut montre que les douze racines deviennent égales deux à deux pour ^ = i , une racine double étant infinie. On a donc , au point ^ = i , six points de ramification simples. Pour faire voir que la surface n'a pas d'autres points de ramification, il suffit de montrer que'pour toute autre valeur finie de z les douze racines de l'équation en u sont distinctes.

C'est ce qu'on peut voir facilement. Si, en effet, pour z = a l'équation en u admettait une racine multiple u = b, on aurait

^ — ^ — 7 — : Zi )

et le numérateur de -r^ contiendrait en facteur (u — bY'*. Or

du ^ '

un calcul facile donne

clz 8 \-— 3 ?/(a' —I ) (?/>— 2 y/^^ zr2 ^ i)^

et le numérateur n'admet pas d'autres racines que celles qui proviennent des valeurs o et i de :j.