Soit enfin une équation générale
u''= î^{z-e,){z — e^)...{z-en),
où A est une constante différente de zéro, e^^e^-,- . .,<?//? Ji constantes différentes.
Marquons dans le plan des^ les points <?, , e2,.--j ^//- ^^^ fonction u a deux déterminations u^ et u^ égales et de signes contraires, ne pouvant devenir égales pour une valeur finie de z que si elles sont nulles toutes deux; ces déterminations sont donc égales à distance finie aux seuls points Cj, e^^' . .,^/?. Si l'on part d'un point ^o d" plan avec une détermination u^\ et si l'on fait décrire à la variable z une courbe fermée, on retrouve en ^o la détermination ;/" ou l'autre détermination ul suivant que z tourne un nombre pair ou impair de fois autour de certains des points e, , ^2,..., <?,/.
Pour former les surfaces de Riemann correspondantes et étudier leurs ramifications, il faut distinguer deux cas, suivant que n est pair ou impair.
10. Premier cas: n impair. — Soit n = ip -\- i . Prenons deux plans séparés V^ et Po, marquons sur chacun d'eux les points e,, ^2,...,^/^; puis, perçons ces plans d'ouvertures respectivement égales et de forme linéaire, les deux premières ^i a< Co Pi et C{ ^-iC-i [^2 joignant les points (?,,e27 les deux suivantes joignant les points ^3, Ci, . . ., les avant-dernières joignant les points (?2/j i, <?2/?j
enfin les deux dernières allant de e^/j+i à l'infini suivant la même direction dans les deux plans {fig- i3).
On suppose que les ouvertures ainsi pratiquées ne se croisent pas, ce que Ton peut toujours réaliser en numérotant les points e,, <?2?-"î ^2p+\ dans un ordre convenable. D'ailleurs il n'est pas nécessaire que les ouvertures soient rectilignes comme nous le supposons : on peut leur donner telle forme que l'on veut.
Sur les plans V^ et Po ainsi découpés, les deux déterminations Ui et U2 sont respectivement uniformes ; aux points placés en face l'un de l'autre sur les deux bords opposés d'une ouverture, chacune des déterminations prend des valeurs égales et de signes contraires : par exemple, aux bords de l'ouverture ^i^o, on a dans
le plan P,
Wi(ai)=— «i(.3i),
et dans le plan P2
d'où, comme w, -h Wo est nul constamment, pour une même valeur de z^
îfi(ai) == u-2{%), «i(Pi) = iHi^-i).
En supposant inscrites en chaque point z de chaque plan P< et P2 les déterminations correspondantes de u^ et 1I21 on obtient un tableau complet des valeurs de u où chaque valeur est inscrite une fois. On peut dire encore qu'à chaque point analytique (;, u) répond un point de l'un des deux plans et inversement.
CHAPITRl!: l.
Pour obtenir la surface de Riemann, superposons les deux plans de façon à faire coïncider les points ^i, e^, . . . , ^2/7+1 ; soudons, à l'aide de petites bandes de surfaces, chaque bord d'une ouverture du plan P< au bord opposé de l'ouverture correspondante du planPg. Par exemple, le bord Ci ai <?2 sera soudé à ^i p2<?2, et^i l^i ^2 à Ci 7.262 par deux bandes de surfaces qui se croisent suivant une ligne de passage Lio; de même, les deux bandes soudant en croire les bords des deux ouvertures superposées e^er, se croisent suivant une ligne de passage L3/, , . . ., enfin les deux bandes soudanl les bords opposés des deux ouvertures eop^^, oc se croiseront suivant une ligne indéfinie Loyj+i^cxD.
On obtient ainsi une surface de Riemann à deux feuillets avec ip -\- I points de ramification ^i , eo, . . . , e^pj^^ à distance finie eV p -\- \ lignes de passage
L12, Lsi, . . . , L2/^-l,2/>, L2;3 + i,^.
A chaque point de cette surface répond un point analytique {z, u), et réciproquement; quand z varie d'une manière continue sur la surface de Riemann, la valeur correspondante de u vaiic aussi d'une manière continue.
Cette surface est figurée ici avec les mêmes conventions que précédemment (y^^. 1 4).
Etudions la fonction dans le voisinage de z=::o. Si l'on fait ve
^ = - > on trouve
" = Jij^i /(i — ei^') (1 — e^z')...{i — e^j,+iz').
Les deux déterminations du radical sont régulières au point
;'^o, mais le premier facteur , ^. a deux déterminations qui
s'échangent quand le point z' tourne autour de z' = o, et qui deviennent infinies pour ^'= o. Le point ce est donc un point de ramification (comme dans l'exemple I) , pour la surface de Riemann, car, lorsque z' tourne autour du point z' = o, le point analytique (z, u) passe d' un feuillet dans l'autre.
Si l'on construit la sphère double correspondant à la surface de Riemann par la méthode d'inversion exposée dans le n° o, à propos du premier exemple traité, on voit que cette surface de Riemann sphérique a 2/?+ 2 points de ramification
-2/J-Hl
avec/? — 1 lignes de passage (Ji
2/J-i-lO'
11. Deuxième cas : n pair. — Soit /? = 2/? + 2. Nous tracerons alors, dans les deux plans P< et Po? /> H- i ouvertures deux à deux égales joignant les points t?,^..,, e^ej^, . . . , e^/j+i , ^2^+2 ; puis nous Superposerons ces deux plans en soudant chaque bord d'une ouverture du plan P, au bord opposé de l'ouverture correspondante de P2.
Nous aurons ainsi une surface de Riemann à deux feuillels avec ip -\- 1 points de ramification à distance finie et/? + i lignes de passage, surface analogue à la surface de \^ fig. lo, pour laquelle /? = I .
Voyons enfin ce qui se passe au point oo. Dans le cas actuel (/i pair), le point o) n'est pas un point de ramification. Si l'on
fait ^ =: -, > on a
/(] - c^z') {\ — e^z'). . . (I — e2yp+2-s')-
Les deux déterminations du radical étant régulières au point 3'= o, chacune des déterminations de u est uniforme dans le voisinage du point 3'= o et admet ce point pour pôle d'ordre /> + i . Le point 00 est donc dans chaque feuillet un pôle d'ordre p -f- 1 de M, avec un résidu qui est le coefficient de z^ dans le développement de la détermination correspondante de u suivant les puissances de z' ^ ce coefficient étant changé de signe.
La surface de Riemaftn sphérique correspondante a 2/) + 2 points de ramification s,, £0, «••? £2/7+2 et /? -}- i lignes de passage A^2, Ag,, Ao/j+n 2/J+2- Elle est de même nature que celle du cas précédent (/i impair), avec cette seule difi'érence que, quand n est impair, l'un des points de ramification £2/7+2 coïncide avec le point O' {^fig- 16).
12. Cette identité de nature des deux surfaces de Riemann, correspondant aux deux cas de n pair et de /z impair, deviendra tout
à fait évidente dans l'étude que nous allons faire des fonctions uniformes, et particulièrement des fonctions rationnelles en^ el u sur une surface de Riemann. La surface de Riemann, et non la relation algébrique, sera alors prise comme point de départ, et il est aisé de voir que toute fonction rationnelle sur une surface de Riemann, pour laquelle /i = 2/? -i- 2, peut se ramener à une fonction rationnelle sur une surface de Riemann pour laquelle
/l = op -i^ I .
En effet, dans la relation
(i) a^ = A(z — ei){z — eo) . . . {z — e^p+i),
faisons le changement de variable
d'où
(e^p-^:, — e/,) z' — (ei— e/,)
Si k est différent de 2/? -}- 2, on peut écrire
ek = ( ^2/;-^2 — ^a) — ; 7 .^k = )
et pour k- = 2p -\- '2 Substituant et posant
OÙ
A'= A(e2p+-2 — ei)(^2/J+2 — ^2) • • • (^2/^+2 — ^2/>4-l'
on a
Il =
D'après cela une fonction rationnelle sur la surface de Riemann correspondant à la relation (i), pour laquelle n = 2p -\- 2, c'està-dire une fonction rationnelle de n et z. se transforme évidemment en une fonction rationnelle de u' et z', c'est-à-dire en une fonction rationnelle sur la surface de Riemann correspondant à la relation (2), pour laquelle n =^ 2 p -\- i , el réciproquement.
13. Occupons-nous maintenant de Fétude des fondions uniformes sur une surface de Rieniann.
Si nous imaginons une des surfaces de Riemann précédemment étudiées, nous dirons qu'une /o/ic/^'o/i v de z est uniforme sur la surface de Riemann quand elle ne prend qu\uie valeur en chaque point (z, u) de cette surface. Par exemple, une fonction rationnelle c:A.(^, u) de z et u est uniforme sur la surface de Riemann; il en est de même des fonctions
eë\yz,u) ^ tang<R(^,?03
Si nous désignons, en général, par
la fonction uniforme considérée, elle a, pour chaque valeur de ^3 distincte d'un point de ramification, deux déterminations
correspondant aux deux points analj'tiques (v, u^)^ (-3, f/o) superposés dans les deux feuillets. Les fonctions symétriques
^1 + Po et ^\ ^2
sont évidemment des fonctions uniformes de z dans le plan simple des z] car, lorsque z décrit un contour fermé quelconque dans ce plan, les deux déterminations v^ et v^ ne changent pas ou se permutent entre elles.
Désignons par [z^^ Uq) un point de la surface de Riemann distinct d'un point de ramification : sur le feuillet correspondant de cette surface traçons un cercle de centre (^o? ^^o) ^t de rayon o assez petit pour que ce cercle ne contienne aucun point de ramification; les points de la surface situés dans ce cercle constituent ce qu'on appelle le domaine o du point (^o? Uq)- Dans ce domaine, u et, par suite, v sont des fonctions uniformes de z.
14. La fonction i> est dite régulière diW point (^q, u^) si, dans un certain domaine o de ce point, elle est développable en une série
procédant suivant les puissances entières et positives de z
Si la fonction s'annule au point {zq, Uq), les premiers termes de cette série ont des coefficients nuls, et le développement est de la forme
\m étant différent de zéro. On dit alors que le point (^05 ''0) ^st un zéro d^ ordre m.
Si au point (zq. Uq) la fonction n''est pas régulière, ce point est y\n point singulier. Nous ne considérerons que des fonctions ayant des points singuliers isolés : alors, dans un domaine 8 suffisamment petit du point (r^, Uq), il n'y a pas d'autre point singulier que (^0, Uq). Gomme, dans ce domaine, v est une fonction uniforme de ;:; avec le seul point singulier Zq^ la fonction v peut d'après le théorème de Laurent, être développée en une double série procédant suivant les puissances positives et négatives de [z — Zq)
la partie de ce développement qui contient les puissances négatives de :; — Zq est \ii partie principale de v au point singulier (^05 ^^0)? le coefficient A, de est le résidu relatif à ce point. Si la
z — ^0 partie principale est une série illimitée, le point (zq^ Uq) est un point singulier essentiel; si la partie principale contient un nombre limité de termes, c'est-à-dire est un polynôme de degré ^
en 7-3JT"' 1^ point {zq, Uq) est un pôle d'ordre q.
15. Voici quelques remarques importantes au sujet des définitions qui précèdent.
L'intégrale-^^ l^^dz prise dans le sens positif sur le contour
du domaine & du point [z^^Uq), dans lequel les développements précédents sont valables, est égale au résidu A, relatif à ce point : en effet, les intégrales de tous les termes de la série sont nulles à l'exception de
■i-ij z — z^ qui est évidemment A,.
En laissant de côté le cas où le point [zq^ Uq) est un point singulier essentiel, on voit que dans tous les autres cas la fonction (' peut, dans le voisinage de ce point, s'écrire sous la forme
r = (^ - ^o)nBo+ Bi(-3 - ^o) + B2(^ - -o)- + ...],
où k est un entier positif, négatif ou nul et Bq un coefficient constant différent de zéro. Si k est positif, le point [z^^ Uq) est un zéro d'ordre k; si k est négatif, ce point est un pôle d'ordre — k; si k est nul, ce point est un point neutre où la fonction est régulière et ne s'annule pas.
Ce nombre k est le résidu de la fonction ," au point (z-o, Uo)- On a, en effet,
c/logi^ k , n , p ., .^, .
— i • — H- Uo -h L. 1 { X, — ^07 + • • • >
az z — Zq
car, Bq étant différent de zéro, la dérivée logarithmique de la série entière est aussi une série entière. Le résidu relatif au point (^o> Uq) est bien k.
Considérons le point [zq, — Uq) superposé à {zq^ Uq) dans l'autre feuillet et appelons v^ et ç-> les deux déterminations de r dans le voisinage des points (^05 '^o)? (^o? — '^o)- Le résidu de la fonction uniforme de ^, <^i-H^^2> au point Zq, est la somme des résidus de r aux deux points (^o? '^0) ^t (^0? — z^o)- En effet, les
coefficients de — dans les développements en séries de c, et r.>
étant A, et A', , celui de — dans (^, -\- To est évidemment
Si aucun des points [zq^ Uq)^ {zq^ — ;^o) n'est un point singulier essentiel, les développements de p, et ç^ sont, dans les domaines respectifs de ces deux points, de la forme
V, ~- (z-zoy'[B', + b; (.- - ^0) + B'2 {z - .-0)2 -f- . . . ] ,
avec Bq et B'^ différents de zéro. La fonction uniforme (^,(^0 sera donc donnée par un développement contenant (z — z^Y^'^^' en facteur; r,P2 admettra le point ^o comme zéro, infini ou point neutre, suivant que k -\- k' sera positif, négatif on nul.
i6. 11 s'agit d'étendre les définitions précédenles aux poinls de ramification. Définissons d'abord, d'une manière précise, ce qu'on appelle domaine d'un point de ramification ei : c'est l'ensemble des poinls analytiques qu'on peut atteindre, en partant du point e/, dans l'un ou l'autre feuillet, et assujettissant le module de z — Ci à rester plus petit qu'un certain nombre ô, moindre que la distance du point ei au point de ramification le plus rapproché.
Celte portion de surface de Riemann est représentée ci-contro d'abord dans l'espace, en supposant les deux feuillets séparés (comme dans la Ji^. 3); c'est la portion de surface située dans
Fiî
un cylindre de révolution, de rayon ô, ayant pour axe la ligne <?/<?/ normale aux deux feuillets P| et Po. Celte même portion de la surface est représentée à côté, en projection sur le plan Po avec la ligne de passage L issue du point <?/; la courbe limite est composée de deux circonférences égales et superposées, de rayons o, situées l'une dans le feuillet supérieur, l'autre dans le feuillet inférieur, et se raccordant à la ligne de passage : on les a figurées par des courbes un peu différentes d'une circonférence pour pouvoir représenter les deux parties qui, en réalité, se recouvrent. Cela posé, autour du point e/, les deux déterminations de u
se permutent. Si l'on pose
on a
z—ei= t^
t\/Xs/{ei
f^){ei
et chacune des déterminations de n est une fonction uniforme de t pour des valeurs de t dont le module ne surpasse pas une
certaine valeur positive e, suffisamment petite. L'une de ces déterminations est donnée par un développement en série entière
(4) « = /(Go+ G,^2+C2^*-f-...)
et l'autre par la même série changée de signe; ces deux déterminations se permutent quand t change de signe; elles sont données aussi par la série
,, = {z- e,-)^[Co+ G,{z. - a) 4- G,(^ - etf^ . . . ]
convergente dans le domaine o = y/e du point e/, série dont le premier facteur change évidemment de signe quand z tourne autour du point et.
Quand t est connu, sous la condition | ^ | <; s, s et a sont déterminés sans ambiguïté par les formules (3) et (4), donc la fonction V n'a qu'une valeur; elle est une fonction uniforme de t.
La fonction ç est dite régulière au point et quand, pour des valeurs suffisamment petites de ^, c'est-à-dire dans un domaine suffisamment petit du point e/, elle est développable en une série
procédant suivant les puissances positives de t^ c'est-à-dire
de [z — <?/)^. Si la fonction v n'est pas régulière au point e/, ce point est un point singulier^ nous envisageons seulement le cas où c'est un point singulier isolé, c'est-à-dire où r n'a pas d'autre point singulier dans un domaine suffisamment petit du point Ci. Alors v étant, pour de petites valeurs de t, une fonction uniforme de t avec un point singulier au point ^ = o, est, par la formule de Laurent, développable en une double série
V=— 00 V = -oo
procédant suivant les puissances positives et négatives de (::; — Ci)-. La partie formée par les termes à exposants négatifs
est la partie principale; quand cette partie principale est une série illimitée, le point ei est un point singulier essentiel; quand elle est limitée, ce point et est un pôle.
On appelle résidu relatif au point de ramification ei le double
du coefficient de 5 2A 2. Cette définition est justifiée par
les remarques suivantes. Le résidu en un point ordinaire (-^o, ;/o)
est égal à l'intégrale . 1 vdz. prise dans le sens positif sur le
contour limite d'un domaine infiniment petit du point (^o^ ''0) ; •! est naturel d'appeler de même résidu au point ei la valeur de
l'intégrale —^-. 1 i'dz, prise sur le contour limite d'un domaine
infiniment petit du point Ci, domaine figuré précédemment {Jig' 17); or, pour parcourir ce contour limite, la variable z doit tourner deux fois autour du point Ci, ce qui donne pour l'intégrale
— : I vdz la valeur 2 A o, car tous les termes de la série ci-dessus ont des intégrales nulles, sauf le terme en dont l'intégrale
-i J z — Ci
est égale à iK 2 quand z tourne deux fois autour du point e/. Nous avons vu que la fonction uniforme de ;:;, v^ + v'o , a pour résidu au point Zq la somme des résidus de v aux points superposés (:;o) "o) et (^05 — ^^o) • actuellement le résidu de r, + ('2 au point et est précisément égal au résidu de v au même point, car on a
V = -f- 00 V V = -1-ao
Pi = ^ Av (^ — et)- y v,= ^ (—1 )v k^iz — et)' = 2 2Aoa(3-^,■)^
Vi + w-2
développement dont le résidu est bien 2 A 2.
Ecartons le cas où le point et serait un point singulier essentiel : alors, dans le domaine de ce point, on peut écrire
v^{z- e,)i[Bo + Bi {z-ay -+- B, (^ - ei) -+-... l,
3o CHAPITRE I.
oùBo est différent de zéro, k désignant un entier positif si la fonction s'annule au point <?/, négatif si elle devient infinie, nul si la fonction est régulière et différente de zéro au point et. Dans le premier cas (A\>o), le point c/ est appelé un zéro d'ordre A", dans le deuxième cas (A <o), c'est un pôle d'ordre — A, enfin, si A: est nul, le point Ci est un point neutre. Ce nombre A" est encore égal au
, . j . d logp . ^ (^ ^
résidu de — rf- au point a : en ellet, on a
dz
k d\oiiv '}.
î— f [ G, + Cl {z -e/)2'-4- G, {z-ei).. . ],
dz z ~ e, . . ,
{^z — etY
développement dont le résidu est A'. On voit aussi que le point Ci est pour la fonction uniforme i'i r^ un zéro ou un infini du même ordre que pour la fonction c : en effet, les deux déterminations Ti et V2 s'obtiennent dans le voisinage de et en changeant
le signe de {^z — ei)'^ ■>
P, = (^ - e,-) ' L Bo + B, (^ - e,-)^ + B2 {z-e{)^.. \ , v^=.{-Yf{z-eif\'^,-\>„{z-eif^\^,{z-ei)~..\,
Le produit v^ Co est donc bien égal à (^ — eiY multiplié par une série entière en z — c/, non nulle au point ei.
17. Il nous reste à examiner les points à l'infini. Supposons d'abord n pair et égal à ?,/? + 2 ; le point à l'infini dans chaque feuillet est un point ordinaire : ces points se distinguent en ce que,
pour z infini, le rapport ^^^^ a une certaine limite +y/A dans
un des feuillets, et la limite — y/A dans l'autre. Prenons un de ces points à l'infini oo, dans le feuillet V ^ ; nous appellerons domaine de ce point la portion du plan située dans le feuillet correspondant à l'extérieur d' un cercle de centre O et de rajon R assez grand pour que tous les points de ramification soient dans ce cercle. Dans ce domaine, u et par suite ç sont des fonctions uniformes de z. La fonction est régulière au point ooi si, dans le
SURFACES DE RIEM.VNN A DEUX FEUILLETS. 3l
domaine de ce point, elle est développable en une série
\yZ-^
ne contenant que des puissances négatives de z : si la fonction étant régulière s'annule au point ce,, les premiers coefficients sont
nuls et si le développement commence par un terme en — ,1e point Xi est un zéro d'ordre m.
Lorsque la fonction n'est pas régulière au point oc,, ce point est un point singulier que nous supposerons isolé, c'est-à-dire tel que dans le domaine du point ce, il n'y ait pas d'autre point singulier. Dans ce domaine, la fonction est représentée par la somme de la série
l'ensemble des termes à exposants positifs est la partie principale : s'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants positifs, la partie principale se réduit à un polynôme de degré q
et le point oc, est un pôle d'ordre q. Dans le cas contraire, le point co, est un point singulier essentiel.
Dans tous les cas, le résidu relatif au point x, est le coefficient (\g - cJianiié de si^ne, c'est-à-dire — A,. Ce résidu est égal à
l'intégrale
prise dans le sens positif sur la circonférence limitant le domaine dans lequel le développement ci-dessus est valable, comme on le vérifie immédiatement en remarquant que tous les termes du développement ont des intégrales nulles, excepté le terme
en -•
En écartant le cas où le point x, est un point singulier essen-
lie], on a, dans le domaine de ce point,
oLi Bq est différent de zéro. Si l'entier k est positif, la fonction s'annule au point oc, qui est appelé un zéro d'ordre k : si cet entier est négatif, la fonction devient infinie au point ce, qui est un pôle d'ordre — k ; si k esL nul, le point cxd, est un point neutre où la fonction est régulière et différente de zéro. Comme en un point à distance finie, l'entier k est égal au ré-
sidu de — ~— au point oc,, car
d ioiiv k \ l r^ .,1 ^ \
dz
développement dont le résidu à l'infini est /■.
Pour le point à l'infini coo situé dans le deuxième feuillet, on a des développements analogues. Si nous appelons c, et ç^ les déterminations de V dans le domaine des points oc, et coo, A, et A', les résidus respectifs de ces deux déterminations, k et A' les puissances de - qu'elles contiennent en facteurs, la fonction uniforme
r, + To a pour résidu à l'infini A, + A', et la fonction uniforme i-, i'o est, dans le domaine de ^ = ce, représentée par un développement de la forme
contenant (-j en facteur, Gq étant différent de zéro.
Nous venons d'étudier le cas de n pair : passons maintenant au cas de n impair, « = 2/? + i . Le point co est alors un point de ramification et, dans la surface de Riemann, une des lignes de passade va du point 62^,^1 à oc, la ligne Ls^ + i,^ ; décrivons de O comme centre, sur la surface de Riemann, une circonférence de rajon R plus grand que la distance du point O au point de ramification le plus éloigné. Pour que cette circonférence se ferme, il faut tourner deux fois autour du point O, car on change de feuillet,
comme le montre la fig. i8, en traversant la ligne de passage
Fiof. iS.
Les points de la surface de Riemann situés à X extérieur de cette circonférence constituent le domaine du point ce.
Les valeurs de u el de z^ correspondant aux points analytiques de ce domaine, peuvent s'exprimer en fonctions uniformes d'une variable auxiliaire t par les formules
I \^\ v/( i—ei/-)(i —g.7 /-)...( i—e.>„^, f^)
où
Les deux déterminations de u s'obtiennent en donnant à t des valeurs égales et de signes contraires. La fonction r est donc, pour ces mêmes valeurs de ^, une fonction uniforme de f, et, en supposant R suffisamment grand, on pourra développer la fonction i' en une série
.=;Sa..v
L'ensemble des termes en z- à exposants positifs est la partie principale. S'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants
positifs, la partie principale se réduit à un polynôme en :;- ; le point à l'infini est un pôle. S'il n'y a pas de termes à exposants positifs, la fonction est régulière au point ce, et enfin si le développement commence par une puissance négative de z'- , le point oc est un zéro.
Le résidu au point oo est le double du coefficient de - changé de
signe — 2A2; c'est la valeur de l'intégrale—. / (^<i^, prise dans
le sens positif sur la circonférence qui limite le domaine du point 00 dans lequel les développements ci-dessus sont valables, cette circonférence étant, comme le montre la figure, parcourue deux fois. Si l'on appelle <^i et (^2 les deux déterminations de c^ dans le domaine du point gc, on a
V = -4-',oo ^ V=-t-oo ^^
Le résidu de la fonction p» au point de ramification à l'infini est donc encore égal au résidu de la fonction uniforme (^1+ Co à l'infini.
En écartant le cas où le point à l'infini serait un point singulier essentiel, on peut, dans tous les autres cas, écrire la fonction ç dans le domaine du pointc/D
où Bo est différent de zéro; si l'entier k est positif, la fonction s'annule au point de ramification 00; on dit qu'elle admet ce point comme zéro d'ordre k ; si cet entier est négatif, la fonction devient infinie au point co : on dit qu'elle admet ce point comme pôle d'ordre — A; si /i = o, la fonction est régulière et différente de zéro au point ce, qui est un point neutre. Le nombre A'
est encore le résidu de • — ^— au point ce. En appelant Vi et ^2 les
deux déterminations de ç obtenues en donnant à ( 7 )' des signes contraires, on voit que la fonction uniforme Ti To est de la forme
elle admet le point go comme zéro ou comme infini du même ordre que V.
18. Parmi les fondions uniformes sur la surface de Riemann, les plus simples, dont l'élude s'impose tout d'abord, sont les fonctions rationnelles de z et u.
Soit
une fonction rationnelle de z ^V u \ cette fonction v est une fonction uniforme sur la surface de Riemann, car à chaque point de celte surface correspond un seul système de valeurs de z et u^ et, par suite, une seule valeur pour c. Nous nous proposons d'étudier les propriétés de cette fonction r.
La fonction rationnelle R(^, u) est le quotient de deux polynômes en z et u dans lesquels on peut toujours remplacer les puissances paires de «, u-^ , par leur valeur
et les puissances impaires u-^^^ par l'expression
u>^i [{z — e,){z — e.^). . .{z — en)]"! .
On amènera ainsi le numérateur et le dénominateur de r à ne contenir?/ qu'au premier degré, et Ion mettra v sous la forme
Z3 -t- u Zi
Z,,Z2,Z3, Z4 désignant des pohnomes en :;. Multiplions et divisons cette expression par le facteur
et remplaçons encore u- par sa valeur en fonction de z^ nous aurons V sous la forme
'= RW '
oii P(^), Q(:;), R(^) désignent des polynômes en z que nous pouvons toujours supposer sans diviseur commun : si ces polynômes avaient un diviseur commun, on le supprimerait au numérateur et au dénominateur.
19. Cherchons quelle est la forme de la fonction ç dans le voisinage d'un point ordinaire (-::o) ^'o) ^^ ^^ surface de Riemann.
Soil{zo,iio)unpo\nlde\diSUTÏ''dcedeR\emsinndlslinct d' un point de ramification; nous l'appellerons pour abréger un point ordinaire de la surface de Riemann. Dans un domaine o de ce point la fonction u, qui se réduit à Uonu centre du cercle, étant uniforme, finie et continue, est développable en une série procédant suivant les puissances entières et positives de z — z^ par la formule de Maclaurin
u= Uo-] Uq -I- ^ -^ — w„ ^ . . . ,
les polynômes P(s), Q(;) et R(::) peuvent aussi être développés suivant les puissances de (^ — ^o) par cette même formule, et l'on aura, dans le voisinage de ^ = ^o^
F {z)+ uQ{z)=^ a,^ ai{z — Zo)+ a.^z - z^^^ . . . ,
R{z) = Ro^{z-z,)\V,
Koi 1^0 1 • • • désignant les valeurs du polynôme l\ et de ses dérivées pour z = Zq; aQ^ ai, . . . des coefficients constants,
Pour traiter le cas le plus général, supposons a^, a^ . . ., a^. , nuls, avec a^ dilFérentde zéro, Ro, Rq^ • • • , t^o"~" nuls et R,,''^ différent de zéro. On aura alors
P + ï^Q = (^ — 5o)'?[a,y + a^+-i(- — sj) + ... J,
d'où, en divisant,
^ = -^^^^ = ( — ^o)^-'' [ Ao + Al (^ - 5o) + A2(.- - ^o)^ -f- . . .] ,
où la série entre parenthèses est le quotient de la série
par le polynôme
dont le premier coefficient est différent de zéro. Le coefficient est par conséquent différent de zéro.
Si ^ > /• la fonction r admetle point (^o, «o) comme zéro d'ordre q — r\ si <7 < /• , elle admet ce point comme pôle d'ordre r — q', enfin, si q =^ r, elle est régulière et diflerente de zéro au point (^0, ^0)5 tpi 6st un point neutre.
i20. Voyons de même quelle est la forme de v dans le voisinage &\m\ point de ramification. Soit <?/ un point de ramification; écrivons u sous la forme suivante
u = {z — et)- Ui
avec
ui = y/(^c — ei)(z — Ci) ... {z— ei-x)K^ — ^i-^\) • • • K^ — ^^n)^
le facteur z — et étant laissé de côté sous le radical. Les deux déterminations de Ui sont, pour des valeurs suffisamment petites du module de :; — ei^ développables en série de puissances entières et positives de z — ci : l'une de ces déterminations sera donnée par la série
Ui = <7o -f- a^{z— e/)-f- aAz — ^/)- -h. . . ,
l'autre par la même série changée de signe. On a alors, pour des valeurs suffisamment petites de (.3 — <?/),
u = (z — eiy^ [rto-^«ri(-— ei)-^a=i{z—eif-^. . .].
Cette expression donne les deux déterminations de u autour du point <?/, car, lorsque z tourne autour de e/, le premier facteur
{z - e^f change de signe.
En développant P, Q, R suivant les puissances de z — ei, on aura
P 4- «Q = ^>o -^ ^1 (- - eiY -hb^iz- Ci) -h b,{z — e^y^. . . , R = Co -+- Ci(^ — ei) -+-c.2{z — eiy . ..,
dont la première procède suivant les puissances entières positives
de (z - ay.
Pour traiter le cas général, supposons nuls les coefficients bo,bi, .. .,bq-i, Co, Cl, . . ., c,.i,
les coefficienls bg et Cr étant différents de zéro. On aura
P -+- i.Q :^ (^ - eiY' \h, -\- b,^y{z - eiY -4- VaC ^ -et) +...], R = (^ — et)'- \Cr-\- Cr+i {z — Ci) -|- C^+o ( - — e/)2-}-.. .];
d'où, en divisant.
P-f-wQ
(]—ïr
D'après ce développement, le point a est un zéro d'ordre q — 2r, ou un pôle d'ordre ir — ^, ou un point neutre, suivant que q — ir est positif ^ négatif on nul.
21. Voyons enfin les points à V infini. Si n est pair, et égal à 2/j) -h 2, il y a vin point à l'infini dans chaque feuillet ; étudions la forme de la fonction dans le voisinage de l'un de ces points, le point oo, par exemple. On a, pour des valeurs de z dont le module surpasse une certaine limile p suffisamment grande,
ou
u ^ zi>+^ /a ( I -1- — + —-}- .
Donc P + wQ est de la forme
(Iq étant différent de zéro et q un entier positif ou négatif. On a de même
r désignant le degré de R : donc, en divisant et supposant le module de z plus grand qu'une limite convenable,
. = — ^^ - Ao-hA.--.A
On voit que le point oo^ est un zéro d'ordre r — q ou un pôle
SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. oQ
d'ordre q — r, suivant que /' — q est positif ou négatif^ quand /' — <y = o, la fonction est régulière et différente de zéro au point oc,. On aura un résultat analogue dans le domaine du point ooo.
Soit n impair, n ^= ip -\- i. Il y a un point de ramification à rinfini et l'on a, dans un domaine convenable du point oc,
"--v/Vo-ï)0-ï)...0-^>
d'où
— wQ = ^2 [^«o-i-«i (l)"-^«2 (-\ ^^M J)''"^•••
R = ^'^ ( 60 -+- 61- 4-. . . -t- br —
et en divisant
ir — q
i^=er[A,.A,(i)^..i.A3(i)^...].
Le point de ramification à l'infini est donc un zéro d'ordre ir — q ou un pôle d'ordre q — 2/-, ou un point neutre, suivant que ir — q est positif, négatif ou nul.
22. 11 résulte de ce qui précède qu'une fonction rationnelle en z et u est une fonction uniforme sur la surface de liiemann, n'ayant à distance finie ou infinie d^ autres points singuliers que des pôles.
Réciproquement, une fonction v uniforme sur la suif ace de Riemann, et n^ ayant pas d'autres points singuliers que des pôles, est une fonction rationnelle de z et u.
En effet, appelons u^ et u.2 les deux déterminations de z^ correspondant à une même valeur de ^, ^, la valeur de la fonction ç au point {z^u^) de la surface de Riemann, V2 sa valeur au point (3, U2). Posons
4o CHAPITRE I.
les fonctions ^(z) et ^(z) étant définies par ces équations mêmes, qui donnent immédiatement
comme on le voit^ en ajoutant et s'appujant sur ce que u^ -h 1/2= o. Ces formules montrent que 'f(^) et ^(z) sont des fonctions uniformes de z\ en effet, z étant donné, u,^^ u^-, iU et ç^ ont des valeurs bien déterminées; quand z décrit une courbe fermée dans le plan simple des z, u^ peut se permuter avec a^.-, mais alors v^ se permute avec ^2 , et les fondions symétriques cp(^) et ^(s) ne changent pas. De plus, ces fonctions uniformes o et ^ n'ont pas d'autres singularités que des pôles; car, dans le voisinage d'un point ordinaire (^Zç^^ Uq\ les développements en série de p< , ^'2,
— ■) — ne contiennent qu'un nombre fini de puissances néf>atives
de ^ — Zq\ il en est donc de même de o et t!;; dans le voisinage
d'un point de. ramification e/, les développements de v^. ^2, —
et— ne contiennent qu'un nombre fini de puissances négatives
de \l z — <?/; lorsqu'on forme les combinaisons v^ + v», — h — ^>
les puissances fractionnaires disparaissent et o et 'h n6 contiennent qu'un nombre limité de puissances négatives de (^ — <?/) ; le même
fait se présente à Tinfini à l'égard de • Les fonctions 'z> (z) et
tj>(s), étant uniformes dans tout le plan simple des ^, et n'ajant d'autres singularités qne des pôles, à distance finie et infinie, sont des fonctions rationnelles de z. La fonction r, étant égale à 'j(z) -^ u^(z) en tous les points delà surface de Riemann, est donc une fonction rationnelle de zet de u.
Le raisonnement qui précède montre que l'expression générale d'une fonction uniforme sur toute la surface de Riemann est ç = 'f (^) -f- uà(z)^ cp et 6 étant des fonctions uniformes de z. Si la fonction ç n'admet qu'un nombre fini de points singuliers sur toute la surface, ^ (z) et à (z) n'admettent également qu'un nombre fini de points singuliers dans tout le plan de la variable z.
SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 4l
23. 11 est important de remarquer que toute fonction v uniforme sur la surface de Rieinann et régulière en tous les points de cette surface, à distance finie et infinie, est une constante.
En effet, appelons v^ et ^2 les deux déterminations de cette fonction correspondant à une valeur de :; , on verra, comme ci-dessus, que les fonctions
sont des fonctions uniformes de z. Ces fonctions sont, de plus, régulières pour toutes les valeurs de z finies et infinies : ce sont donc des constantes. Les deux déterminations, i', et Co, sont racines d'une équation du second degré à coefficients constants : elles sont constantes. Gomme ces deux déterminations deviennent égales aux points de ramification, elles sont égales à une même constante, et la fonction v est constante.
24. La somme des résidus d'une fonction rationnelle r de u et Zj en tous les points de la surface de Riemann, à distance finie et infinie, est nulle.
En efi^et, appelons t'i et T;. les deux déterminations de r en deux points superposés des deux feuillets : nous avons démontré, au moment de la définition même des résidus, que, en un point ordinaire Zq, le résidu de la fonction uniforme r, -f- To est égal à la somme des résidus de v aux deux points superposés (^o^ ^^o) et (^0? — lia)-) et que, en un point de ramification, le résidu de i'i H- To est égal au résidu de v en ce point. Donc la somme des résidus de v est égale à la somme des résidus de la fonction uniforme v^ -h i'o, qui, d'après les relations
se réduit à la fraction rationnelle-^- Comme la somme des ré-
sidus d'une fonction rationnelle est nulle, le théorème est démontré.
Ce théorème s'étend à une fonction n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers, parmi lesquels des points singuliers essentiels.
Voici une conséquence importante de ce théorème :
Le nombre de zéros d'une fonction rationnelle de z et u sur toute la surface de Rieniann est égal au nombre des infinis de cette fonction, chacun des zéros et chacun des infinis étant compté avec son degré de multiplicité.
Pour le démontrer, il suffît d'appliquer le théorème précédent à la dérivée logarithmique de la fonction (^,
dlogv I dv dz V dz
qui est évidemment une fonction rationnelle de u et z, puisque la
dérivée -,- est une fonction rationnelle de u el z. dz
Nous avons établi, en effet, que les seuls points singuliers de la
C ' d loiïP ^ ^ . • ^ • 1 1
ronction iv = — ^ — , ou le résidu ne soit pas nul, sont les zéros
et les iniinis de (^; en un zéro de ç le résidu de iv est égal à l'ordre de ce zéro, en un infini de (^ le résidu de w est égal à l'ordre de cet infini changé de signe, et en un point neutre de ç le résidu de iv est égal à zéro. La somme des résidus de (v étant nulle, la somme des ordres des zéros de ç est égale à la somme des ordres des infinis.
On peut aussi établir ce théorème en remarquant que la différence entre la somme des ordres des zéros et la somme des ordres des infinis de ç est égale à cette même différence pour la fonction rationnelle
car nous avons vu que chaque zéro et chaque infini de ç donne un zéro ou un infini du même ordre dans Çi (^2- Gomme le nombre des zéros de toute fonction rationnelle de z est égal à celui des infinis, le théorème est démontré.
2o. Nous appellerons ordre total d'une fonction rationnelle ç de z et u le nombre de ses infinis, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité. Le nombre des zéros est aussi égal à l'ordre de la fonction. Si l'on appelle Çi et v^o les deux détermi-
nations de r, l'ordre est le nombre des infinis ou des zéros de la Ibnction rationnelle
L'équation
où G désigne une constante arbitraire, a, sur toute la surface de Riemann, un nombre de racines égal à Tordre total de v; car la fonction ç' — G est rationnelle en z et u, et le nombre de ses infinis, c'est-à-dire l'ordre total de cette fonction, est le même que celui de r.
