Intégrales ahéliennes. — Soit
une relation algébrique irréductible, de degré m en u, T la surface de Riemann correspondante, composée de m feuillets étendus sur le plan des z, cp(s, u) une fonction rationnelle de z et de II. L'intégrale
' cp(z, u) clz
est dite une intégrale abélienne appartenant à l'équation (7). Nous supposerons qu'on a pris pour limite inférieure (^o, «o) un point de la surface par lequel ne passe qu'un seul feuillet et pour lequel cp(z, i^) reste fini.
Occupons-nous d'abord des points singuliers que peut admettre cette intégrale. Il suffit d'examiner les différentes formes possibles pour cp(^, u). Soit d'abord (a, h) un point analytique à distance finie, par lequel ne passe qu'un seul feuillet, dans le voisinage duquel la fonction cp(^, w) est régulière. Dans le domaine de ce point, on a
o(s, w) = Ao-i- Ai(^— a) + A2(^ — a)2 + ... et, par suite,
w^ H+Ao(^ — a)+ -l(^a)2-f- ? (^ a)3 4-. . . ;
l'intégrale w est elle-même régulière dans le domaine de ce point. Supposons ensuite que le point {a,b) soit un pôle de
on en déduit
«^ = " + (Tir^ (T=:^ + - ••+ A- jog(z-a) + Ao(z --.«) + .. ..
Si A, est nul, le point analytique («, h) est un pôle d'ordre ii — i de l'intégrale; si A, n'est pas nul, c'esl un point singulier logarithmique. Lorsqu'on tourne autour du point (a, b) sur la surface, l'intégrale augmente ou diminue de itûK^.
Supposons ensuite que (<7, b) soit un point de ramification d'ordre jjl — i . Plusieurs cas sont à distinguer : i« La fonction cp(^, u) est régulière en ce point
0(2, w) = Ao ^- Ai(.^ - a)H- -+- A2(^ — a)H- -T- . . . .
On aura
w= j o{z, u)du = 11 — S^q(z — a)
On voit que l'intégrale est également régulière au point (a^b). 2« Le point analytique {a. b) est un pôle d'ordre inférieur à a.
On a
tf{z, m) = A 5j,+„ -^ 4-. . .
(z-a)' Vet, par suite,
L'intégrale iv est encore régulière dans le domaine du point analytique (rt, 6), quoique sa dérivée devienne infinie en ce point.
3° Le point analytique {a, b) est un pôle d'ordre supérieur à u-, et le résidu est nul. On a
et
H ^ A,j.rt
(z-cc)'^
l'intégrale abélienne w admet le point {a, b) comme pôle d'ordre n.
4« Enfin si le point («, b) est un pôle d'ordre égal ou supérieur à jJL, sans que le résidu soit nul, ce point est pour l'intégrale <v un point singulier logarithmique.
L'étude de l'intégrale pour les valeurs infinies de 3 conduira à des résultats analogues que le lecteur établira aisément. Remarquons seulement que la fonction o{z,u) peut être régulière à l'infini, sans qu'il en soit de même pour w; il faut, en outre.
25o CHAPITRE V.
que le développement de cp(s, u) commence par un terme en - de
degré supérieur à l'unité. En résumé, une intégrale abélienne est régulière en tous les points de la surface T, sauf en un nombre fini de points, qui sont des pôles ou des points singuliers logarithmiques.
115. Nous avons fait abstraction jusqu'ici du chemin suivi par
la variable. Si l'on va du point [zq^ Uq) à un même point {z, u)
de la surface par deux chemins différents, les valeurs finales w^ iv\
obtenues pour l'intégrale, ne peuvent différer que par une con-
1 1 f • , dw dw' . 1 • i-v 1 • 1
stante, car les dérivées -7- ? -r- sont identiques. On obtient donc
toutes les valeurs possibles de l'intégrale en un point analytique (5, u^ en ajoutant à l'une d'elles certaines constantes, appelées périodes ou modules de périodicité, qui jouent un grand rôle dans cette théorie.
Pour trouver le nombre de ces périodes, nous n'avons qu'à répéter, mot pour mot, les raisonnements du Chapitre III. Il est clair, en effet, que ces raisonnements sont indépendants du nombre des feuillets qui composent la surface de Riemann et de la nature des points de ramification. Le théorème de Cauchj s'étend de la même façon aux surfaces à un nombre quelconque de feuillets, ainsi que la formule de Riemann relative au signe de l'intégrale Tx^Y.
Si donc cp(^, u) a tous ses résidus nuls, l'intégrale
I o(z,u)dz (-0, "0)
est une fonction uniforme du point analytique (z, u) sur la surface T'. Cette intégrale possède 2/? périodes A,, ...,A^, B,, B2, . . . , By, relatives aux coupures «< , . . . , ap, b^^ . . . , bp^ chacune de ces périodes étant déterminée comme sur la surface à deux feuillets ; les périodes relatives aux coupures Ci , C2, ..., Cp^ sont toutes nulles.
Supposons, en second lieu, que la fonction cp(5, u) admette un certain nombre q de pôles, avec des résidus différents de zéro, Ri, Ro, . . . , Ry. Soient (a, , j^, ) . . . (a^, p^) ces pôles dont quelques-uns
peuvent être des points de ramification ou rejetés à l'infini. L'in-
f o{z,u)dz
tégrale
ne sera plus uniforme sur la surface ï'; un contour infiniment petit autour du point (a^-, §f) augmente cette intégrale d'une quantité Hi=: 27iiR/, qui est une nouvelle période. Pour rendre cette intégrale uniforme, nous ajouterons de nouvelles coupures. En-
Fiff. 86.
