MU

^Op^r ^oj

tourons chacun des points (a;, ^3/) d'un cercle de rayon très petit, ou de rayon très grand, si ce point esta l'infini. Joignons tous ces cercles à un point P de la surface par des lignes ne se croisant pas entre elles et ne rencontrant pas les coupures «v, ^v? ^v; puis, joignons le point P à un point de c, , par exemple. Si l'on regarde les lignes tracées comme de nouvelles coupures, on aura obtenu une nouvelle surface T'^, simplement connexe, sur laquelle l'intégrale considérée sera une fonction uniforme \v\ car un chemin fermé quelconque tracé sur T'^ ne renferme, à son intérieur, aucun des points (a/, ;3j).

Tout chemin situé sur T, allant de Mo en M, est équivalent à une suite de contours fermés, dont chacun ne traverse qu'une seule coupure, suivi du chemin direct situé sur T^, allant de Mo en M. La diff'érence des valeurs de rv', en deux points infiniment voisins de part et d'autre de la coupure di^ est égale à y^rùV^i = H/. Le module de périodicité relatif à la coupure e est égal à

27rf(R, + . . . + Kg) = o. Enfin les modules de périodicité relatifs aux coupures ci sont encore nuls, tandis que les modules relatifs aux coupures ay et b^ ont la même signification que plus haut. L'intégrale abélienne admet donc 2p -\- q périodes

Al, A2, .-., Ap, B„ B2, ..., B^„ Hi, H2, ..., H

116. En résumé, une intégrale abélienne jouit des propriétés suivantes :

1° Elle est régulière en tous les points de la surface de Riemann, sauf en un nombre fini de points qu^ elle admet comme pôles ou comme points singuliers logarithmiques. Dans le domaine dhin point singulier (a, P), elle est représentée par un développement de la forme suivante :

ysf — ^n , A,t-i Al

(z — ol)'^ (s a)«-i •" ' ^ — a

+ H log(c - a) + Bo-H Bi (5 - a) -f- . . . ,

le coefficient H ou les coefficients Ki pouvant être nuls ; z — a

doit être remplacé par [z — a)f^ si le point analytique (a, p) est un point de ramification d^ ordre \k — \.,et z — 00 par - ;

2" On obtient toutes les déterminations de l^ intégrale en un point quelconque [z, u) de la surface, en ajoutant à Vune déciles des multiples quelconques de certaines périodes, en nombre fini.

Les périodes sont de deux sortes. Les unes proviennent de lacets infiniment petits décrits autour des points singuliers logarithmiques. Elles peuvent être en nombre quelconque, mais leur somme est nulle; ce sont les périodes polaires. Les autres périodes proviennent de certains contours fermés, appelés cycles, tracés sur la surface T, contours qui ne peuvent être réduits à des contours infiniment petits par une déformation continue. Ce sont les périodes cycliques. Elles se ramènent toujours à ip périodes distinctes, quelle que soit la fonction considérée o(;3, w), mais quelques-unes peuvent être nulles.

Inversement, toute fonction du j)oint analytique (^, «) jouis-

sant de ces propriétés est une intégrale abélienne, car sa dérivée est une fonction uniforme sur la surface T^ n'admettant que des pôles pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle de z et de n.

117. Les relations algébriques se classent naturellement d'après le genre p de la surface de Riemann correspondante. Si /? = o, il n'y a que des périodes polaires; si/? = i, il y a deux périodes cycliques, etc. Les intégrales abéliennes relatives aune même équation algébrique F(^, ^^)^o se classent à leur tour d'après la nature de leurs singularités. Nous distinguerons trois espèces d'intégrales :

1° Intégrales de première espèce. — Ce sont celles qui restent régulières dans le domaine de tout point de la surface de Riemann; elles ne peuvent devenir infinies que par l'addition d'un nombre illimité de périodes. Il est clair qu'elles n'admettent que des périodes cycliques.

2° Intégrales de deuxième espèce. — Elles sont régulières en tous les points de T, sauf en un seul point qu elles admettent comme pôle ; elles n'ont encore que des périodes cycliques.

3° Intégrales de troisième espèce. — Elles sont régulières en tous les points de T, sauf en deux points (a,, |3,), (ao, ,3o), qu'elles admettent pour points singuliers logarithmiques. Dans le domaine du point (a< , j3,), une intégrale de troisième espèce, admettant ce point pour point singulier logarithmique, sera de la forme

log(5-aO-+-P(^ — a,),

P(^ — a,) étant une fonction régulière au point (a,, [3, ), et dans le domaine du point (ao, ^o) on aura pour la même intégrale

Q(3 — ao) étant régulière au point (ao, ^2)- Nous désignerons cette intégrale par le symbole

Si un des points critiques logarithmiques vient en un point de ramification d'ordre ;j., z — t. devra être remplacé par (3 — a)^;

si un de ces points s'en va à l'infini, z — oc devra être remplacé

par -. Une intégrale de troisième espèce admet 2/> périodes

cycliques et une période polaire égale à i-kî.

Remarquons encore qu'il ne peut y avoir d'intégrale plus simple

ayant des points critiques logarithmiques. En effet, si la dérivée --r-

a des pôles simples, elle en aura au moins deux, avec des résidus égaux et de signes contraires; en divisant l'intégrale par une constante égale à l'un de ces résidus, on ramènera les résidus à être dz I .

118. On verra, dans un des Chapitres suivants, comment on peut former ces trois espèces d'intégrales. Nous nous bornerons, pour terminer ces généralités, à rappeler quelques conséquences de la formule de Riemann. Soient w une intégrale de première espèce et A| , . . . , A^p, R, , Bo , . . . , B^ ses ip périodes,

Av = av + av / — I , Bv = pv 4- [^v / — i •

D'après la formule de Riemann, l'expression

^(avp;-Pv<)

est essentiellement positive; elle ne pourrait être nulle, d'après la façon même dont on établit cette formule, que si w se réduisait à une constante. On en conclut immédiatement que, si ^v ne se réduit pas à une constante, il est impossible : i*' que les parties réelles ou les parties imaginaires de toutes les périodes soient nulles; 2° que les périodes relatives à toutes les coupures a^ ou à toutes les coupures Z>v soient nulles en même temps.

Une autre conséquence, sur laquelle nous voulons appeler l'attention, c'est qu'à une relation algébrique de genre p ne peuvent correspondre plus de p intégrales linéairement distinctes de première espèce. Soient, en effet, w^, (Po, ..., tv^^,, p -f- I intégrales de première espèce ; on peut toujours trouver/) + i coefficients constants Xj, \2i • • • ? ^^p-\-\i dont un au moins sera dif-

férent de zéro, tels que toutes les périodes de l'intégrale

Xi«^i-^ . . . -f- Xp+iWp^i,

relatives aux coupures «v, soient nulles; on a en effet, pour déterminer ces coefficients, p relations linéaires et homogènes à /? -f- i inconnues. L'intégrale précédente se réduit donc à une constante, et, si A^+o par exemple, n'est pas nul, on voit que Wp^.i est une combinaison linéaire à coefficients constants des p intégrales iVi, ..., Wp. Il y a donc au plus/? intégrales distinctes de première espèce. On démontrera plus loin qu'il y en a p effectivement.

TRANSFORMATIONS BIRATJONNELLES (').

Transformations rationnelles générales. — Transformations birationnelles. — Conservation du genre. — Ordre et classe d'un cycle. — Transformation d'Halphen. — Théorème de Nother. — Définition géométrique du genre. — Courbes de genre zéro. — Courbes de genre un. — Courbes de genre deux.