Soit

une équation algébrique irréductible, de degré m en u et de degré n en z. Prenons deux fonctions rationnelles de z et de u

d'ordres f/ et v respectivement; la fonction cp(^, u) admet jjt. pôles sur T, en général distincts, et la fonction ^(5, u) en admet v. Si Ton élimine z et u entre les équations (i) et (2), on est conduit à une relation algébrique entière entre Z et U,

qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les trois équations (i) et (2) admettent un système de solutions communes en z et u. Il est facile de trouver le degré du polynôme F(Z, U) par rapport à chacune des variables. A une valeur de Z la relation Z = (d(z, u) fait correspondre par hypothèse a points

(') Auteurs à consulter : Nother, Sur les systèmes singuliers, etc. {Mathematische Annalen, t. IX, p. 166-182) ; Halphen, Note ajoutée à la traduction française du Traité des courbes planes, de Salmon.

TRANSFORMATIONS B I R A T I ON NE L LE S. >.j-

analjtiques sur la surface T, et par suite aussi u. valeurs de U; inversement, à une valeur de U correspondent v points de la surface T et, par suite, v valeurs de Z; l'équation (3) est donc de degré ui par rapport à U et de degré v par rapport à Z.

120. Le polynomeY [T^ U) est irréductible, ou il est une puissance exacte d'un polynôme irréductible.

Soit en effet (Zq, Uo) un couple de valeurs de Z et de U, vérifiant l'équation (3) ; il existe sur la surface T un point analytique {zq^Uq) tel que l'on ait

soient ensuite (Z,, U, ) un autre couple de valeurs de Z et U, satisfaisant à l'équation (3), et (::?,, u^) un point analytique correspondant de la surface T, c'est-à-dire tel que Ton ait

./(-i,Wi) = o, Zi = ç(^,, ;/i), U, = •}( Ji, f<,).

Imaginons que l'on aille sur la surface T du point (^Zq^ Uq) au point (^,, u^) par un chemin ne passant jiar aucun des pôles des fonctions cp(;, u) et ^(^, u). Alors Z variera d'une manière continue de Zo àZ,, et U variera de même de Uq à U,. Donc, si l'on considère la fonction algébrique U de Z définie par l'équation (3), on voit qu'il est possible de faire décrire à la variable Z un chemin allant du point Zq au point Z,, tel que, U avant la valeur initiale Uo, sa valeur finale soit U, ; Uq est une quelconque des racines

de l'équation

F(Zo,U) = o

et U, une quelconque des racines de Féquatiou

Or, cela n'est possible que si le polynôme F(Z, U) est irréductible ou est une puissance exacte d'un polynôme irréductible (§ 85).

\ oici comment on pourra distinguer les deux cas. La relation

Z = '^iz,u)

fait correspondre, à chaque valeur de Z', a points analytiques sur T, en général distincts,

(G) (-l,«l), (-2, "2), ... (-fJo^^ljJ-

De même l'équation

fait correspondre, à chaque valeur de U, v points analytiques

Si les valeurs considérées Z, U vérifient l'équation (3), un ou plusieurs points analytiques devront faire partie des deux groupes. On a donc deux hypothèses à examiner :

1° Supposons d'abord, ce qui est le cas général si les fonctions <f et ^ n'ont pas été prises d'une façon particulière, que les deux groupes (G) et (G') n'aient qu^un seul point analytique commun^ sauf pour des valeurs particulières de Z et de U. Alors à une valeur de Z correspondent p. valeurs de U, qui sont en général distinctes. En effet, supposons qu'aune valeur de Z correspondent seulement k valeurs distinctes de U, Ui ,Uo, ..., U/r (A << a). Soient

les V points analytiques qui correspondent à la valeur U/. Par hypothèse, un seul de ces points analytiques fait partie du groupe G; en opérant de môme avec chacune des valeurs U|, ...,U/v, on trouve k points analytiques du groupe G. Si l'on suppose k <C [J-, on n'a donc pas épuisé toutes les valeurs de U qui correspondent à une valeur donnée de Z. Ainsi à une valeur de Z correspondent [j. valeurs de U, qui sont en général distinctes et^ par conséquent, le polynôme F(Z, U) est indécomposable.

Les équations (1) et (2) n'ayant qu'un système de solutions communes en z et w, lorsque Z et U sont liées par la relation (3), on sait, par la théorie générale de l'élimination, que les valeurs de z et de u s'obtiendront par des divisions et la résolution d'équations du premier degré. Par conséquent, z et u s'exprimeront aussi en fonctions rationnelles de Z et de U

TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E L LES. l5^

La transformation considérée est dite réversible ou hirationnelle. On dit aussi que les deux équations (i) et (3) appartiennent à la même classe.

2° Les deux groupes G, G' ont toujours q points analytiques communs. On a, dans ce cas,

en effet, soient

(G) (-1, "i), (-2, "2), •••, (-a: «ja)

les points analytiques de T qui correspondent à une même valeur de Z. Au point (^,, ;/, ) correspond une certaine valeur de U, qui est la même par hypothèse pour q des points du groupe (G); soient [z^^ Wo)? • • •? {^q-, Uq) les points de ce groupe qui donnent la même valeur que (^i, w,). Soit de même U' la valeur de U qui correspond à un des points qui restent, (-3,7+1, Uq^\)'', il y a encore q — I points de (G) qui donnent pour U la même valeur U' que celui-là. En continuant ainsi, on voit que a est forcément un multiple de q, u. = ^j!q, et qu'à une valeur de Z ne correspondent que [Ji' valeurs de U. Tout pareillement, v doit être un multiple de q^ V = v'^, et à une valeur de U correspondent v' valeurs distinctes de Z. Le polynôme F(Z, U) est de la forme

F(Z, U)=[Fi(Z,U)]^

F,(Z, U) étant un polynôme irréductible de degré v' en Z et de degré jjl' en U.

121. Il est un cas particulier remarquable que nous devons signaler, c'est celui où les formules (2) définissent une transjorniation de Cremona. Alors, à tout système de valeurs de Z et de U, ces équations font correspondre un seul système de valeurs pour z et M, variable avec Z et U. Les valeurs de z et u s'expriment à leur tour rationnellement en Z et U, et la transformation précédente appliquée à une relation algébrique quelconque donnera lieu à une transformation birationnelle. Mais la réciproque n'est pas vraie; il peut se faire que les équations (-2) admettent plusieurs systèmes de solutions en ^ et w variables

26o CHAPITRE VI.

avec Z et U, tandis que l'ensemble des équations (i) et (2) n'en admet qu'un seul.

Cette distinction est peut-être plus facile à saisir en employant le langage géométrique. Considérons (^, u) et (Z, U) comme les coordonnées de deux points dans deux plans. A tout point du premier plan les équations (?.) font correspondre un point et un seul du second plan, et à la courbe C, représentée par l'équation f{z, ;/) = o, correspond la courbe C, qui a pour équation

Si les équations [1) définissent une transformation de Cremona. à tout point du second plan correspond un seul point du premier plan et, par suite, à tout point de C correspond un point et un seul de C. Mais il peut aussi arriver que la correspondance entre les points des deux courbes C et C soit uniforme, sans qu'il en soit de même pour la correspondance entre les points des deux plans. Ainsi les formules de transformation

ne définissent pas une transformation de Cremona; cependant, si l'on applique cette transformation à une courbe n'admettant aucun des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axe de symétrie, elle donne lieu à une correspondance uniforme entre les points des deux courbes. Par exemple, si l'on applique cette transformation à la droite A3 4- Bf^ = i , on obtient la parabole qui a pour équation

A*Z2-i-B*U2+ I— 2A2B2ZU-2A2Z-2B2U = 0.

A un point (Z, U) de la parabole correspond un seul point (:;, u ) de la droite, dont les coordonnées sont

Nous ne nous occuperons dans la suite que des transformations birationnelles entre les points de deux courbes.