TRANSFORMATIONS B I R A T I 0 NN E LL E S
que nous supposons appartenir à la même classe. Si dans la seconde équation on regarde Z comme la variable indépendante, il lui correspond une surface de Riemann T,, composée de jjl feuillets étendus sur le plan des Z. Les points des deux surfaces T et T, se correspondent d'une façon univoque; à un point de Tune correspond un point et un seul de l'autre et inversemenl. Déplus, à tout déplacement infiniment petit sur l'une des surfaces correspond un déplacement infiniment petit sur l'autre surface. Il n'y a exception que lorsqu'un des points s'en va à l'infini sur Tune des surfaces, mais on peut éviter cette difficulté en supposant les deux surfaces de Riemann étendues sur la sphère. Cela posé, à toute coupure tracée sur T correspond une coupure tracée sur T, et inversement. Imaginons qu'on ait tracé sur T les N coupures qui la transforment en une surface simplement connexe T'; les N coupures correspondantes tracées sur T, la changent en une surface T', , qui est simplement connexe. D'abord cette surface T', est connexe. Prenons, en effet, deux points quelconques M, M' de T^ et les points correspondants m^ m' de T'. On peut joindre les deux points m, m' de T' par un chemin continu ne traversant pas les coupures ; le chemin correspondant de Tj joindra les deux points M, M' sans traverser les coupures. En second lieu, la surface T', est simplement connexe ; car, s'il en était autrement, on pourrait tracer sur ï', une nouvelle coupure sans morceler cette surface, et la coupure correspondante de T' ne morcellerait pas non plus la surface T', ce qui est impossible, car nous avons supposé T' simplement connexe. Les deux surfaces T et T,, étant transformées en deux surfaces simplement connexes par un même nombre de coupures, sont du même genre. Par conséquent, le genre d'une relation algébrique se conserve dans toute transformation birationnelle. On peut dire encore que deux relations algébriques appartenant à la même classe sont du même genre.
A cause de l'importance de ce théorème, nous en donnerons une seconde démonstration purement analytique. Remarquons d'abord qu'on peut, dans la démonstration, faire les hypothèses suivantes :
i*' La fonction rationnelle
devient infinie du premier ordre en ^ points distincts de la surface T, qui ne sont pas des points de ramification.
2° La surface T n'a aucun point de ramification à l'infini, et les m valeurs de Z pour les valeurs infinies de z sont représentées par m développements distincts
ZU) = A'/' -h A'/^ -î. -H . . . + A^!'' ~ + . . . (t = I, 2, . . . m),
où les coefficients A'/* sont tous différents de zéro. Soit, en efî'et^, Zo une valeur telle que l'équation
o(^, u) = Zo
admette [jl racines simples difi'érentes (aj, jSi), ...,(a[j,, [^j^), distinctes des points à l'infini et des points de ramification. La fonction
de (^, u)^ Z'= Y ^"^^ V- pôles simples à distance finie sur la
surface T; or, si l'on prend pour nouvelle variable, dans la relation entre Z et U, ^ 7- = Z', il est clair que le nombre des
feuillets de T ^ ne change pas, ni le nombre et l'ordre des points de ramification de cette surface, ni par conséquent le genre de la surface.
Soit maintenant Zq une valeur finie de z, telle que les m valeurs de u correspondantes, ainsi que celles de Z', soient distinctes et finies. Dans le domaine du point Zq, les ni valeurs de TJ sont représentées par m développements de la forme suivante :
Z'=A'/)+A^/H^-^o) + ...-l-Aif'(z-.-o)^-+... (i = i,2,...,m),
et nous pouvons supposer, de plus, que les m coefficients A'/' sont différents de zéro. Si l'un d'eux était nul, un des points analytiques qui sont superposés au point ^0 serait racine de l'équation
dZ'
— -r=: o, et l'on peut toujours prendre pour Zq un point qui n'est
pas racine de cette équation . Si l'on pose maintenant z = ^0 H — j '
ce qui ne change pas le genre de la surface T pour les mêmes raisons que plus haut, il est visible que les hypothèses que nous avons énoncées seront satisfaites.
TRANSFORMATIONS R I R A T I ONN ELLES. 203
Cela posé, cherchons les points de ramification de la surface T,, c'est-à-dire les valeurs de Z telles que U cesse d'être une fonction uniforme de Z. Considérons d'abord les [x points à l'infini de cette surface, qui correspondent aux u. pôles simples
(ai,Pi),...,(ajx, ?!x)
de la fonction Z. Dans le domaine du pôle (a,, ,3/), on a, par exemple,
z — -Ml on en tire
}^^ÏS^ ..^— =^"^[i + G;(.-a,) + ...].
Z K/ Lo(;; — a/) , K/
En faisant l'inversion, on aura
P (]^ désignant une fonction régulière dans le domaine du point 1=0. Comme, par hypothèse, le point (a,, ji/) n'appartient qu'à un seul feuillet, u— ^i est une fonction régulière de ^ — a, et, par suite, de Ij- Par conséquent, la fonction rationnelle
est une fonction uniforme de ^ dans le domaine du point Z = ce. Les iJL points à l'infini de la surface Tj ne sont donc pas des points de ramification.
Prenons ensuite les points de la surface T, qui correspondent aux points à l'infini de T. Dans le domaine d'un point à l'infini de T, on a
Comme A'f est supposé ditTérent de zéro, l'inversion nous donnera
puis
z. = Q(Z-A'/0, et enfin
P(Z-AÏ'), Q(Z-AÏ)), R(Z-A'i') étant des fonctions uniformes de Z dans le domaine du point AJj'. On en conclut que ces points ne sont pas non plus des points de ramification pour la surface T, .
Soient
(«1,^1), .... (ai,bi), ..., (aA;b/,)
les points de ramification de T, d'ordre /•, — i , . . ., /-yr — i respectivement. Dans le domaine du point (a/, ^/), par exemple, on a
On en déduit
et l'inversion donne pour (z — ct/Y^ un développement en série
procédant suivant les puissances croissantes de (Z — Z,)'^. Comme
a — bi est une fonction uniforme de (z — cii)''^ dans le domaine du point de ramification, on en conclut que u et, par suite, 1.1 pour-
ront se développer suivant les puissances croissantes de (Z — Z/)^, c'est-à-dire que le point de la surface T, qui correspond au poini (rt/, bi) de la surface T est un point de ramification d'ordre
Prenons de même un point (a, b) de T par lequel ne passe qu'un seul feuillet. On a, dans le domaine de ce point,
Z = A-4- A„(^ — rt)«-f- ... A„^o;
si n est plus grand que un, on en déduit pour z — a el u — b des développements en série procédant suivant les puissances crois-
santés de (Z — A)'' ; le point correspondant de Ti sera donc un point de ramification d'ordre n — i .
TRANSFORMATIONS B I R AT lONN E LLES. 205
On pourrait objecter à ce raisonnement que les exposants fractionnaires peuvent disparaître dans le développement de U ou avoir un dénominateur commun plus petit que // ou que /i, quand on les réduit à leur plus simple expression. Il est facile de lever l'objection. Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le dernier cas qui vient d'être examiné ; soit (A, B) le point de T< qui correspond au point (a, b) de T, et admettons, pour un moment, que par ce point (iV, B) il passe moins de n feuillets. Lorsque z décrit une petite circonférence sur T autour du point [a. b), l'argument de Z — A augmente de 2/01. S'il v avait moins de n feuillets passant en (A, B), la droite joignant le sommet (A, B) du cycle au point Z, droite qui a tourné de 2 ht., aurait décrit plusieurs fois le domaine du sommet du cycle. 11 n'y aurait donc pas correspondance uniforme entre les points des deux domaines, contrairement à l'hypothèse.
En définitive, les points de ramification de T, proviennent des
points de ramification de T et des points de T pour lesquels -p
est nul. Écrivons que le nombre des zéros de cette fraction ration-
nelle -77 est égal au nombre des pôles. D'abord cette fonction a m
zéros du second ordre à l'infini, comme on le voit en différentiant les ?n développements de Z dans le domaine de z =^ ce. et u. pôles du second ordre aux points (a,, p,), ...,(ol^, ^^^j. Un point de ramification d'ordre /\, pour lequel le développement de Z est de la forme
/, Z = Zi -r- Ci{z — ai)'' -h . . . Cl ^ G,
est un zéro d'ordre li — /■/. si li^i'i^ et un pôle d'ordre // — li si /'/ >> //. On aura donc, dans tous les cas, la relation
la somme \](/7 — //) étant étendue à tous les points de ramification de T, et la somme \^(/^ — i) à tous les zéros de -77 distincts des points de ramification. Cette égalité peut encore s'écrire
266 CIIAPITUE VI.
OU
Or les deux membres de celte égalité sont égaux respectivement aux nombres p elp' qui, d'après la formule générale de Riemann, représentent le genre de la surface T et de la surface T<. Le théorème est donc établi.
Remarque. — Etant donnée une relation algébrique entière
on peut à volonté considérer z ou u comme la variable indépendante. On a ainsi deux surfaces de Riemann distinctes T, T, qui sont du même genre, d'après le théorème précédent. On peut donc, pour évaluer le genre de la relation f{z^ u) = o, considérer à volonté la surface T ou la surface T^. Par exemple, si la relation est du premier degré par rapport à l'une des variables, l'une des surfaces de Riemann se réduit à un plan; on peut affirmer que l'autre surface est simplement connexe.
123. Soit (0(5, u) une fonction du point analytique (z, u)] si l'on suppose ;: et u remplacés par leurs valeurs en fonction de Z et de U, to(z, u) se change en une fonction Û(Z, U) du point analytique (Z, U). Soit (A, B) le point analytique qui correspond à un point analytique (a, b) de la première surface : si la fonction 03(5, u) est régulière dans le domaine du point (a, b), la fonction Û(Z, U) sera régulière dans le domaine du point ( A, B) ; si le point («, b) est un pôle ou un zéro pour w(-g, w), le point (A, B) sera un pôle ou un zéro du même ordre pour Q(Z, U).
Pour plus de généralité, supposons que le point analytique (<2, b) soit un point de ramification d'ordre r — i de la première surface, et le point (A, B) un point de ramification d'ordre / — i de la seconde surface. D'après les développements du paragraphe précédent, on aura, dans le domaine du point (r/,, ^),
(Z — A)^ — ai{z ~ ay'-\- i^i^ ~ «)'' — • . ., «i ?^ o,
et inversement dans le domaine du point (A, B),
(^ af = ?i(Z -ky-^ p2(Z - Ay +. . ., pi ^ o.
