TRANSFORMATIONS R I R A T 10 NN EL LE S

Toute fonction to(w, u) régulière au point («, b) est égale à la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances

positii^es el croissanles de (z — a)'"; la fonction Q(Z,U) sera

donc égale à la somme d'une série convergente ordonnée suivant

les puissances positives et croissantes de (Z — A)^. Si le premier

développement commence par un terme en (.- — a)'', le second

développement commencera par un terme en (Z — A)^; le point (a, b) sera un zéro d'ordre q pour w(^, w), et le point (A, B) un zéro d'ordre q pour Û(Z, U). Si le point (a, b) est un pôle d'ordre q' pour Lo (z, u), on aura, dans le domaine de ce point,

iû(z, u) = (z — a) '' ^ «0 — «1 (-s — «)'■ -f- . . . ) , «0 ^ G,

et par suite

-'7' « -^.(z-Ay

12(Z,U) = (Z-A) ^ ^' ' ^'^" '^\ %^o, Yo?^o

Yo-f-Ti(Z — Ay-i-...

ou

0(Z, U)=(Z-A) / (ao4-oi(Z-A) -^... i, ôo?^o,

de sorte que le point (A, B) sera un pôle d'ordre q' pour Û(Z, U). Le raisonnement reste le même si un des points (<7, b) ou (A, B) s'en va à l'infini sur l'une des surfaces. Il suffira de remplacer z — X par -5 ou Z — ao par y

Soit(v= j Il{z^ u) dz une intégrale abélienne relative à la courbe /(^, u) = o ; si l'on pose

cette intégrale se change en une nouvelle intégrale abélienne / II, (Z, \J)dZ relative à la courbe transformée

En particulier, si la première intégrale reste finie en tous les points de la surface T, il en sera de même de la nouvelle inté-

grale. Donc une intégrale de première espèce se change en une intégrale de première espèce, et ceci n'exige pas que la transformation employée soit réversible. Si à la première courbe sont attachées q intégrales distinctes de première espèce, il j en aura au moins q pour la seconde, mais elle pourra en avoir davantage. Si nous supposons, en outre, que la transformation soit réversible, le nombre des intégrales de première espèce pour la seconde courbe ne pourra être supérieur à ^; caria transformation inverse donnerait pour la première courbe plus de q intégrales de première espèce. Ainsi, deux relations algébriques de la même classe admettent le même nombre dHntégrales abéliennes distinctes de première espèce.

On voit de même qu'une transformation birationnelle change une intégrale de seconde espèce en une intégrale de seconde espèce et une intégrale de troisième espèce en une intégrale de troisième espèce.

Parmi les transformations birationnelles, une des plus simples est la transformation homographique, définie par les formules

«ZH-6U-f-c a'Z^ b'\] -^ c'

soit m le degré d'une relation algébrique /(s, u) = o, en z et u^ c'est-à-dire le degré de la courbe représentée par cette équation. Choisissons une droite D rencontrant cette courbe en m points simples distincts; on peut disposer des coefficients de la transformation homographique de façon que celte droite soit rejetée à l'infini et qu'aucune asymptote ne soit parallèle à l'axe des U. L'équation transformée sera de degré m en U, et les m valeurs

de -y pour une valeur infinie de Z seront distinctes et finies, de

sorte que les m valeurs de U seront représentées, pour des valeurs de Z de module très grand, par m développements de la

forme

La surface T correspondante n'aura pas de point de ramification à l'infini. Les points de ramification proviendront des points multiples de la courbe et des points où la tangente est parallèle à