TRANSFORMATIONS B I R A T I ON N E LLE S

l'axe des U. On peut toujours supposer que ces derniers sont des points de ramification simples ; il suffit pour cela que Taxe des U ne soit parallèle à aucune tangente d'inflexion.

124. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'entrer dans quelques détails sur la théorie des courbes planes algébriques et sur un important théorème dû à M. Nother. Étant donnée une relation algébrique entière et irréductible en z et u,

si l'on considère z et a comme les coordonnées cartésiennes d'un point du plan, cette équation représente une couj-be. Au sens étroit du mot, la courbe se compose simplement des points dont les coordonnées réelles vérifient l'équation précédente. Mais nous conserverons le nom de courbe pour désigner l'ensemble des solutions, réelles ou imaginaires, de cette équation.

Soit z = a. Il ^ b un point de cette courbe à distance finie. Si pour z = a l'équation /(«, u) = o admet IN racines égales à 6, il résulte de l'étude faite plus haut (§ 81) que, pour une valeur de :: voisine de a, l'équation /(::, w) = o admet N racines voisines de b', de plus ces N racines se partagent en un certain nombre de systèmes distincts. Les racines d'un même système sont représentées par un même développement en série

(5) u — b = oc^{z — a)'^ -^ 7.i{z ~ ay^ -V...

où ao, a,, ... sont des coefficients quelconques, dont le premier n'est pas nul, 7?^, /?z,, ... des nombres entiers positifs croissants, et où les exposants sont supposés réduits à leur plus petit dénominateur commun n. Quand on attribue au radical (z — a)" ses n déterminations, le second membre prend /i valeurs distinctes ; il faut remarquer toutefois que dans le calcul on doit prendre dans

chaque terme une même détermination de (z — a)". En langage géométrique, ces résultats s'énoncent comme il suit : Soient «, b les coordonnées cVun point d'une courbe algébrique. Au

voisinage de ce point , les diverses branches de la courbe sont représentées par un ou plusieurs développements de la forme (5).

La portion de courbe représentée par une équation telle que (5) s'appelle un cycle et le point (a, b) est V origine de ce cycle.

De l'équation (ô) on tire inversement un développement de

z — a suivant les puissances positives de {u — ^)'", commençant

par un terme en [u — b)'"-

((i) z — a= ^^{u — bY^-\- ^^{u-by^-^....

Le premier exposant — pourra ne pas être réduit à sa plus simple

expression, mais m sera le plus petit dénominateur commun de tous les exposants. En effet, supposons que ces exposants puissent être réduits à un dénominateur commun m' << m. On

aurait

m — m'k^ n — n' k^ /ii — n\k ,

et la formule (6) pourrait s'écrire

On en déduirait ensuite pour u — b un développement procédant

suivant les puissances positives de (g — a)"', de sorte que u prendrait/zSaleurs différentes, et non pas n, lorsque z tournerait autour du point z ^= a.

Des deux développements (5) et (6) il y en a au moins un qui commence par un terme dont le degré n'est pas inférieur

à l'unité. Supposons par exemple — ^ i ; le nombre n est appelé V ordre ouledegré dvi cycle : si Ton avait au contraire — << i , alors —

serait supérieur à un, et le degré du cycle serait égal à in.

Le degré d'un cycle est indépendant du choix des axes de coordonnées ou, d'une manière plus générale, ce degré se conserve par toute transformation liomographique. Supposons qu'une transformation homographique fasse correspondre au point (a, b)

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un point de coordonnées (A, B). Les formules de transformation sont de la forme

L'équation (5) qui représente le cycle, supposé d'ordre /?, peut être remplacée par le système des deux équations

z = a-h f", i, = b -^ocot'" -h ' ■ .-■,

si l'on remplace z — a et u — b par ces valeurs dans les formules de transformation, on obtient pour Z — A et U — B des développements suivant les puissances positives de t, dont l'un au moins commence par un terme en t". Si , par exemple , cela arrive pour Z — A, on en déduira pour U — B un développement procédant suivant les puissances positives de (Z — A)". Au cycle primitif correspond par conséquent un nouveau cycle dont le degré est au plus égal à fi. Ce degré ne peut être inférieur à n, car, si le degré d'un cycle ne jieut s'élever par une transformation homographique, il ne peut pas non plus s'abaisser.

Remarque. — Considérons un point de coordonnées (c, u) appartenant à un cycle ayant son origine en un point {a, b). Le

rapport ^^^- tend vers une limite finie et différente de zéro si

m — n; il tend vers zéro si m > n et il croît indéfiniment si m < n, lorsque z — a tend vers zéro. La droite passant par l'origine du cycle et par un point infiniment voisin de ce cycle tend donc vers une limite parfaitement déterminée que nous appellerons la tangente du cvcle. Si cette droite est parallèle à l'axe des z, on a my>n; si elle n'est parallèle à aucun des axes de coordonnées, on a m = n.

En particulier, si le cycle est linéaire ou du premier degré, et si la tangente au cycle n'est pas parallèle à l'axe des u, la valeur de u est représentée par une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de :; — a

u = b--~oL{z-a)-^^^{z-ay'-^ ....

Si un point {a, b) est un point simple d'une courbe algébrique, le cycle qui a son origine en ce point est toujours linéaire (§80).

125. Pour définir le degré d'un cycle, dont l'origine est un point à l'infini de la courbe, on commence par ramener l'origine du cycle à distance finie par une transformation homographique. D'après ce qu'on vient de voir, le degré du nouveau cycle sera le même, quelle que soit la transformation homographique employée. Pour évaluer ce degré, il est commode d'introduire les coordonnées homogènes. On a à cet égard la règle suivante, qui résulte immédiatement de ce qui précède : Les trois coordonnées homogènes d'un point étant dé^^eloppées suivant les puissances entières et croissantes d' un paramètre, qui correspond uniformément à un point du cycle, formons trois combinaisons linéaires et homogènes X, Y, Z de ces coordonnées de telle sorte que les développements c/eX, Y, Z commencent par des termes à exposants tous les trois différents, et soient a, b, c ces degrés rangés par ordre de grandeur croissante : le degré du cycle est b — a. Si l'on a, en elTet,

on peut adopter pour coordonnées cartésiennes

d'où l'on déduira un développement de u suivant les puissances de z^'~~"- commençant par un terme en

Le nombre c~b s'appelle la classe du cycle; c'est le degré du cycle corrélatif, c'est-à-dire du cycle qui se déduit du premier au moyen d'une transformation par polaires réciproques. On