TRANSFORMATIONS B I R A T I 0 N N E LL E S

peut prendre en effet pour coordonnées homogènes d'un point du cycle corrélatif les expressions

Xi = \dZ — Zd\\ Y, = Zd\ — \dZ, Z, =Xd\ — Yd\. el, en remplaçant X, \, Z par leurs développements, il vient

X, = (r — 6)BG?A^^-'-^ ...

Yi = (<7 — c)AG/^+«-i^ . . .

Z, = (/>-«) AB^^+'^-i-^

Les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont ici

le degré du nouveau cvcle est bien égal à c — h\ comme on devait s'y attendre, sa classe est b ^ a, c'est-à-dire le degré du cycle primitif.

Remarque. — Si Ton a un cycle représenté par l'équation

u = kz " -^ . . .

on peut le considérer comme représenté en coordonnées liomo gènes par les équations

Y = xV ^"+v -h . . .

sa classe est donc égale à v.

Proposons-nous maintenant d'évaluer le degré et la classe d'un cycle ayant son origine à l'infini. Plusieurs cas sont à distinguer.

Premier cas. — Le cycle est donné par un développement tel que le suivant

m in—\ 1 2

u = A„j z^ H- A.-,„+i z "^ -h . . . -t- B + Cl ^'"" -4- G2 ^ ~ " -i-

où

Employons les coordonnées homogènes

puis posons

X=i, Z-^«; il vient

Si n est plus grand que /?^, les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont o, n — m, n ; le degré du cycle est n — m et la classe m. Si n = m, il faudra considérer dans Y l'exposant du terme suivant. Si n est plus petit que m, les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont n — m, o, n] le degré est m — /i et la classe n.

Deuxième cas. — Le cycle a un développement de la forme

u = Ao H- A,„ / ^j -'r- \„i+i

'origine du cycle est à l'infini sur 0^.

Posons encore

1 reste

On a les trois coordonnées homogènes

X=: I, Z = ^«, Y — AoZ = A,„^'«+«+ ...;

le degré du cycle est /z et sa classe m.

' Troisième cas. — Le cycle a son origine à l'infini sur O u

rn 1

U = \-,n {z — af ^ -\- . . . -h Xo -h Xi{z ~ a)'' + . . . .

Il est équivalent au cycle représenté en coordonnées homogènes par les équations

Y = A,„ + A;„+i t-\-...-hAo t"' H- A, ^"H-i + . . . ,

X= ^'"+«; le degré est m et la classe n.

TRANSFORMATIONS B I R AT lONN E LLES. 275

Considérons en particulier un cycle représenté par le développement

Il = A Z»^ H- B 3'«-l -f-...-^H-i-^^...;

d'après ce que nous venons de voir, si m est^ i, le degré du cycle est m — i. Si donc m est supérieur à 2, le cycle n'est pas linéaire. Ce résultat peut sembler étrange, mais il est facile de le vérifier sur des cas particuliers. Par exemple, la courbe if = z^ présente un point de rebroussement à l'infini, car la transformation homographique