IL U

remplace la courbe donnée par la courbe u'- = z'^^ qui a bien un cycle du second degré à l'origine. Si m = i, le degré du cycle est toujours égal à un, mais la classe peut être quelconque.

Si une courbe n'a que des cycles du premier degré, il en sera de même de toutes ses transformées homographiques. La courbe étant de degré m, supposons que la droite de l'infini la rencontre en m points distincts et qu'aucune asymptote ne soit parallèle à l'axe des u. Alors les ni valeurs de u pour ^ = ce seront représentées par m développements de la forme

a'/' al,'' u = CiZ -^ y.^' ^ — -i- -j- -^ . . . (t = I, 2, . . . , ?n ),

les m coefficients ct étant différents ; les m cycles ayant leur origine à l'infini sont linéaires. La courbe peut avoir des points multiples d'ordre quelconque; mais, si aucune des tangentes en un de ces points multiples n'est parallèle à l'axe des u, hypothèse qu'on peut toujours faire, chacun des cycles de la courbe ayant son origine en un point multiple sera représenté par un développement de la forme

u — b = oi{z — a)-\- '^{z — ay--\-

Les seuls points critiques pour la fonction algébrique u de z définie par l'équation y (;:, u) = o seront les points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des w, si ces points ne sont pas

ajô CHAPITRE VI.

des points d'inflexion, ce qu'on peut toujours supposer, la surface de Riemann n'aura que des points de ramification simples.

126. JNous donnerons encore quelques détails sur une transformalion employée par Halphen et qui nous sera utile. Soient G(/?i,''.87)

une courbe plane quelconque, S une conique directrice. A chaque point M de C, on fait correspondre le point de rencontre M' de la tangente en M avec la polaire de M par rapport à S. Le point M' décrit une courbe O qui correspond point par point à la courbe C, si la conique 2 n'a pas été prise d'une façon particulière. On peut remarquer qu'en partant de C^, polaire réciproque de G par rapport à S, on obtiendrait la même courbe C/.

Considérons un cycle de C, de degré n et de classe v, et cherchons le degré et la classe du cycle correspondant de C. Nous supposerons que le point M n'est pas sur Set que la tangente en M n'est pas tangente à S. Prenons pour triangle de référence MM, M', M, étant le pôle de MM' par rapport à 2; ce triangle est conjugué par rapport à S, et cette conique est représentée par une équation

de la forme

AX2+BY2-^GZ2=o,

que l'on peut écrire, sans diminuer la généralité,