TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LL ES
Soient ^,y, ^ les coordonnées homogènes d'un point de C, x\ y, z' les dérivées de x^y, z par rapport au paramètre t qui correspond uniformément aux points du cycle ayant son origine en ce point. La polaire M, M' a pour équation
Xx -i- YjK — 7jZ = g ; la tangente MM' a de même pour équation
ou
\(yz'—zy)-^\(zx'—xz')^Z{xy—yx') = o.
On en déduit pour les coordonnées homogènes de M'
X=y(xy—yx') — z{zx'—xz') = ociyy'-^ zz')— x'(y--^z'-), y =y{zz'-^xx')~y{x^'-hzi), Z = z{xx'-^jy)— z'{x'--^y'').
On peut toujours supposer le cycle de C représenté par les
équations
x = t'^, y = at'^+'^^ . . ., -=i;
il suffit de prendre MM' et MM, pour les côtés X et Y du triangle de référence. Il vient
a7'=/i/«-», j'z= (/i-f-v)rt^«
et les coordonnées d'un point du cycle correspondant de C auron pour expressions
Y = ntïn-\]^at'^^''^ . . .] — ([+ ^2«)[(,z + v)rt^«+v-i+ . . . j
Z = /ir2«-i -^ {n-h v) «2 r-n+iy~i
278 CIIAPITRK VI.
Les premiers termes des développements de X, Y, Z sont les suivants :
^ =^— nt'i-i -\- . . . , Y =— (/i-i- v)a^«+v-i| ^^ 2. = nt^'''-^ -^ . . . ;
trois cas sont à distinguer :
Premier cas, v > /^. — Les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont n ~\^ 'in — \, /^ j v __ i • le degré du nouveau cjcle est /2, et sa classe v — n.
Deuxième cas^ v < n. — Le degré du nouveau cycle est v, et sa classe n — v.
Troisième cas, y=zn. — Y et Z commencent par un terme en t-^~^ ; le degré du nouveau cycle sera égal à /z, et la classe s'obtiendra en cherchant le degré du premier terme dans nY + 9.7îaZ.
En résumé, le degré du nouveau cycle est égal au plus petit des deux nombres /?, v. Dans aucun cas, il ne peut dépasser le degré du cycle primitif. Si n et v sont différents, la classe du nouveau cycle est zt (/i — v).
Supposons maintenant que le point M est sur la conique directrice S et que la tangente au cycle n'est pas tangente à S; prenons pour côtés du triangle de référence la tangente en M à la courbe G et les deux tangentes à la conique S aux points où elle est rencontrée par la tangente à G.
La conique 2 aura pour équation
Y2-!-2XZz=o;
x,y^ z, x',y, z' ayant la même signification que plus haut, les coordonnées X, Y, Z d'un point de G' seront données par les formules
X =yiccr' — y.v') — .t{zx'- xz')^ Y = x(yz' - z.y) - .z.{xy~yx'), Z =z{zx' — xz')—j'{yz'~--zy).
Le cycle de G étant représenté par les équations
x=zt", y = at''-^'^-^ ., .^ z=i, on aura, pour le cycle correspondant de G',
Y = — 2xy-{-x'y — — (n -\- 2v)«?2«+v-i|^ ^^
Z = y -h y y = /zv«-i + . , , .
