TRANSFORMATIONS R I R AT I ONN E LLE S

Les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont 71 — 1 . 171 — 1 , 2 /i + V — I ; le degré et la classe sont les mêmes pour le nouveau cycle que pour le cycle primitif.

Dans la suite, nous supposerons toujours que la conique directrice I rencontre la courbe C en des points distincts, ainsi que sa polaire réciproque, et que ces points sont origines de cycles du premier degré et de la première classe. SI la tangente en un point M de C est tangente à Z sans que M soit sur 2J, on est ramené au cas précédent, car le point correspondant M, de la polaire réciproque C, sera sur S sans que la tangente en M, à Ci soit tangente à S.

127. Etant do7inée une cou7^be algéb7^ique quelco7ique, on peut lui faire co/'7'espondre, poi7it pa7' point, pa7' ujie transf 07^mation bi7xitio7i7ielle, utie aul7'e cou7'be algéb/^ique n'ayant que des cycles linéai7'es.

11 suffît évidemment de montrer que, si une courbe algébrique a des cycles de degré supérieur à un, on peut, par une transformation birationnelle, abaisser le degré d'un de ces cycles sans augmenter le degré d'aucun autre cycle. Soient 71 et v le degré et la classe du cycle considéré; appliquons à la courbe la transformation précédente, la conique directrice I n'ayant, comme il a déjà été expliqué, aucune position particulière. Si v est inférieur à /i, le degré du nouveau cycle sera égal à v, et, par conséquent, inférieur à /z. Si v est supérieur à /î, le degré du nouveau cycle sera égal à 71, mais sa classe sera v — n. En répétant la transformation par rapport à la conique - ou à de nouvelles coniques un nombre assez grand de fois, on finira par arriver à un cycle dont la classe sera inférieure ou égale à n. Dans le premier cas, une nouvelle transformation abaissera le degré du cycle.

Le seul cas qui demande un examen particulier est donc celui où la classe est égale au degré ou à un multiple du degré. Employons les coordonnées cartésiennes et supposons qu'on ait pris pour origine des coordonnées l'origine du cycle, l'axe des y ne coïncidant pas avec la tangente au cycle. Le développement de y contiendra un certain nombre de termes entiers en .r,

y =i'P{x)-\- kx'^^'' -~ k^x^^ «-T-... o<a</2,

P(^) désignant un poljnome de degré q au pins, et Kx^^~' étant le premier terme à exposant fractionnaire. Les q premières dérivéesy, f , . . . , j^y) conservent nne valeur finie pour x^o, mais la dérivée suivante j^?+«^ est infinie pour Torigine des coordonnées.

Le cycle transformé a pour origine un point (a, ^), et nous supposerons qu'on a choisi les axes de façon que la tangente ne soit pas parallèle à l'axe des j. Le développement de Y — h sera de la forme

Q(X — a) étant un polynôme de degré rau plus, idl^{x — a) ''^'^ le premier terme à exposant fractionnaire. Les dérivées Y', Y'^, ...,Y(''^ sont finies pour X — a, mais Ja dérivée suivante Y^''^^' devient infinie.

Soit

l'équation rendue homogène de la conique directrice S; le point (X, Y), qui correspond au point (^,jk), est à l'intersection des deux droites

On tire de Jà

on aura ensuite

La fraction qui donne Y' n'est pas, il est aisé de s'en assurer, indépendante de y, de sorte que Y' dépend bien effectivement

TRANSFORMATIONS B I R A T I ON N E LL E S. 'iSl

(\ey" ( ' ). On aura ensuite

en posant

lAI

ây"

Oo do , Oz> „ Ox dy -^ dy' "^

et, d'une manière générale,

I — iin^-r, y, y , ...,y ) . / do ^ do , do ^A"

Supposons qu'on ait choisi les coefficients de la conique directrice de façon que j-^et ^ + ^ j'^ j^y ne soient pas nuls pour

l'origine. La première dérivée Y^«^, qui deviendra infinie pour l'origine du cycle transformé sera la dérivée d'ordre q. On a donc r = q — i^ c'est-à-dire que les termes fractionnaires apparaissent un rang plus tôt dans le cycle transformé que dans le cycle primitif. Gomme on peut répéter la transformation tant que q est supérieur à 2, on finira par arriver à un cycle représenté par un développement tel que

y = ax -h bx- -h ex " -\- . . . o<2</i

ou, en changeant les axes,

y = bx'^ -^ ex '' -i-

En coordonnées homogènes, ce cycle est représenté par les équations

(') On peut s'en rendre compte a priori. Si V ne dépendait que de x,y, y', la transformation serait une transformation de contact , c'est-à-dire qu'elle changerait deux courbes tangentes en deux courbes tangentes. Or à la tangente en M à la courbe C correspond cette tangente elle-même; les deux courbes C et C auraient donc les mêmes tangentes, ce qui est impossible.

Si l'on se reporte aux calculs du paragraphe précédent, on trouve pour les coordonnées d'un point du cycle, après une nouvelle transformation,

X = — nt't-'^ + . . .

Les expressions X, Z, Y + 26Z commencent par des termes de

degré

la classe du nouveau cycle est égale à a, qui est <^ n. Une dernière transformation abaissera donc le degré du cycle.

Nous voyons, en résumé, qu'on peut toujours, par une suite de transformations d'Halphen, abaisser le degré d'un cycle, si ce degré est supérieur à l'unité. Gomme cette transformation n'augmente jamais le degré d'un autre cycle, la proposition énoncée se trouve établie.

128. On n'a pas épuisé ainsi tout le parti que l'on peut tirer de la transformation d'Halphen. Une courbe n'ayant que des cycles linéaires pourra avoir des points multiples d'ordre quelconque, et en chacun de ces points multiples il pourra y avoir des branches de courbe ayant un contact d'un ordre aussi élevé qu'on voudra, chacune de ces branches étant représentée, avec des axes convenables, par un développement de la forme

y = ax -h bx''- -\- cx^ -+- . . . ,

où ne figure aucun exposant fractionnaire. Appliquons à cette courbe G la transformation par rapport à une conique directrice ^ n'ayant pas de position particulière. Si deux cycles de G ont la même origine sans être tangents, les cycles correspondants de G n'auront pas la même origine; un point multiple d'ordre /• à tangentes distinctes est donc remplacé par/' points distincts. Si deux cycles de G ont en un point un contact d'ordre ;z, les cycles correspondants de G' auront un contact d'ordre n — i^ d'après ce qu'on a vu plus haut; car, d'une manière générale, Y^") dépend de x^y^y\ .. .jjK^""^'^ et est une fonction linéaire de ^'("+<^. Par

TRANSFORMATIONS B I R AT lONNELLES. 283

suite, en appliquant la transformation autant de fois qu'il est nécessaire, on remplacera tous les cycles de G ayant une origine commune par des cycles ayant toutes leurs origines différentes. On a dispersé ainsi toutes les singularités de la courbe donnée.

Il reste à examiner si l'on n'introduit pas des singularités nouvelles, chaque fois qu'on applique la transformation d'Halphen. G, G', 2] ayant toujours la même signification, soit N un point quelconque du plan; pour reconnaître si ce point N appartient à la courbe G', on procédera comme il suit. Soit P la polaire du point N par rapport à S et Mi, Mo, ..., jM,„ les m points d'intersection de cette polaire avec la courbe donnée G. Pour que le point N appartienne à la courbe G', il faut et il suffit que la tangente à la courbe G en un des points M^ aille passer par le point N. S'il en est ainsi, il y aura en général un seul point M, satisfaisant à cette condition. Le point N sera un point double si les tangentes à la courbe G en deux des points M/ vont passer en N; en écrivant ces conditions, on a deux relations pour déterminer les coordonnées (^^^o, J'o) du point N. Il y aura donc en général sur G' un certain nombre de points doubles provenant de la superposition de deux points distincts de G. Il n'y aura pas de point triple, si la conique S n'a pas été prise d'une façon particulière, car il faudrait que les tangentes en trois des points M/ soient concourantes, ce qui exigerait évidemment une relation entre les coefficients de ï. Pour la même raison, les tangentes aux nouveaux points doubles seront distinctes.

Ge qui est vrai d'une seule transformation s'applique naturellement à une suite de transformations et, en réunissant tous les résultats qui ont été établis, on peut énoncer l'important théorème dû à M. Nother (* ) :

A toute courbe plane algébrique on peut faire correspondre, par une transformation birationnelle , une autre

(') En réalité, M. Nother a seulement démontré qu'on peut transformer toute courbe algébrique en une autre, qui n'a que des points multiples à tangentes distinctes, ce qui suffit dans la plupart des applications. Au sujet de cette question, on pourra consulter deux Notes récentes, dans les Comptes rendus, de M. Poincaré (t. CXVII, p. 18) et de M. Simart (t. CXVI, p. Î047).

courbe plane algébrique, n'ayant cV autres points multiples que des points doubles à tangentes distinctes.

Il est permis de supposer que, dans cette transformation, les cycles de la première courbe, qui ont leur origine en nn point multiple, correspondent tous à des cycles de la seconde courbe ayant leur origine en des points simples. C'est ce qui résulte bien clairement des développements qui précèdent.

Il29. Etant donnée une courbe algébrique plane représentée par l'équation

on appellera genre de cette courbe le genre de la surface de Riemann correspondante, quand on regarde u comme une fonction de z définie par la relation (^). D'après le théorème du n" 122, ce nombre ne dépend pas des axes de coordonnées et, plus généralement, se conserve par toute transformation birationnelle. Proposons-nous d'évaluer le genre d'une courbe dont les seuls points singuliers sont des points multiples à tangentes distinctes et des points de rebroussement de première espèce. Nous choisirons pour cela les axes de coordonnées de façon à satisfaire aux conditions suivantes : i" la courbe, supposée de degré ni, a ni points distincts à l'infini, et aucune asymptote n'est parallèle à l'axe des u ; 2° aucune tangente en un point multiple n'est parai ■ lèle à l'axe des u ; 3" les tangentes parallèles à O;^ ont un contact du premier ordre avec la courbe.

La surface de Riemann correspondante aura m feuillets et N -f- /' points de ramification simples, provenant des /■ points de rebroussement de première espèce et des N points où la tangente est parallèle à O^^. On aura donc pour le genre y? (§ 109)

En groupant ensemble les termes du même degré, F(r, u) peut s'écrire