TRANSFORMATIONS B I R A T I 0 N N E L L E S

C5,w(i,c) étant un polynôme de degré m en c, tel que l'équation c,;/ = o ait m racines distinctes c, . ... c,„. On a de même

où

Le résultat de l'élimination de j' entre les deux équations

est une équation entière en ^

(8) A(.^) = JJf,(^,z//) = o,

où ;/,, i/o, ..., Um désignent les m racines de l'équation F = o ; A(:î) est un polynôme entier en z de degré ni {m — i). En effet, c'est une fonction symétrique entière de //|, .... //«iCt, par suite, un polynôme entier en z. Pour évaluer son degré, considérons les m valeurs de u dans le domaine du point :? = oc ; on a par exemple,

dans ce domaine,

iti = c/ 3 + a[, -T- "7 - . . . ,

de sorte que, dans F,(c, ///), le terme du degré le plus élevé sera ;:"'"' cp^„ (i , c/) puisque, par hypothèse, cp,'„(i,c/) n'est pas nul. Le produit des ni facteurs analogues sera donc de degré m (/7i — i).

Les racines de l'équation (8) ne peuvent provenir que des points multiples et des points simples de la courbe où la tangente est parallèle à Ou. Examinons d'abord ces derniers points. Si au point (a, b) la tangente est parallèle à Ou, on a, dans le voisinage de ce point,

F(^, m) = A{z — a ) -:- B{ii — by- -^ C{z — a) (a — Ù) -^ ...

les coefficients A et B n'étant pas nuls, d'après les hypothèses faites. Les deux valeurs de u^ qui deviennent égales à b pour -• = «,

sont représentées par un même développement

où Ton attribue au radical y/^ — a ses deux déterminations. D'autre

part, on a

dF

Fi = — ^iBdi- b)-+-C(z — a)^

du / \ ,

Si dans F, on remplace u par une des racines précédentes, le

résultat sera d'ordre - en (z — a). Comme il y a deux facteurs de

cette espèce dans A (3), on voit que A(^) est divisible simplement par ;:; — a. Ainsi, les abscisses des points de contact des tangentes parallèles k O it donnent des facteurs simples dans

Supposons maintenant que le point («, b) soit un point multiple d'ordre q à tangentes distinctes, aucune de ces tangentes n'étant parallèle à Ou; F (z, u) peut alors s'écrire

Y (^z, u) = {z — a)n 'o,i {\ , \ -^{z — a)'i+^Orj+, ( i, ___ ^) + • • • ,

cp<y(i,c) étant un poljnome de degré q n'ayant que des facteurs simples. De même

T-l . , , [ II' ^ \

Fj (^, u) z= (^ - «;<7-i ?^i , __ ^ J + • . . .

Si Cl, Co, ..., Cq sont les q racines distinctes de l'équation cp^(i, c) = o, les q valeurs de u^ qui deviennent égales à h pour ^ =: a, sont représentées par q développements de la forme

m — h = Ci(^z — a) -^ di{z — ay- -\- . . . \

Y^i^z^Ui) sera du degré (</ — i) en (^ — a), car son premier terme est (^ — a)^~' ?</(*? ^i)- Comme il y a^ facteurs analogues, A (^) sera divisible par (^ — a)^^^~'^ ; un point multiple d'ordre q à tangentes distinctes donne dans A (5) une racine multiple d'ordre ^ (<7 — i) de multiplicité.

Enfin supposons que le point (a, h) soit un point de rebrous-

TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E LLE S. iSy

sèment de première espèce, où la tangente n'est pas parallèle à 0;^. En transportant l'origine en ce point, ce qui est évidemment permis, on a

¥(z, u) = \(u — mzy- -^ z-i-o^ ( i ,-] 4- ..., '^3 (i, m) n'étant pas nul, et

¥i(z, II) = 2X(u — mz) -+- -2oW I , - j -^

Les deux valeurs de u^ qui deviennent nulles pour ; = o, ont un même développement de la forme

u z^ mz -T- xz- -r- . . . . 2 ^ o ;

Fi(z^u) est de degré - et par suite A (3) est divisible par z'-^.

Un point de rebroussement de première espèce donne donc une

racine triple. En écrivant que ^(z) est de degré ni (m — i) , il

vient

portons la valeur de N dans la formule qui donne /?, il reste, toutes réductions faites,

(m — i)(fn — -î) ^g(ç — O

Si, en particulier, la courbe n'a que d points doubles à tangentes distinctes, on a

on retrouve ainsi la définition géométrique du genre.

La comparaison des deux formules (9) et (10) montre qiiaa point de vue du genre, un point multiple d'ordre q à tangentes distinctes équivaut à ^-^- points doubles ordinaires.

130. Appliquons ces considérations aux courbes pour lesquelles p a les plus petites valeurs. SoitC une courbe de genre zéro; d'après le théorème de M. Nôther, on peut lui faire correspondre, point

par point, une courbe G', aussi du genre zéro, n'ayant que des

points doubles. Si cette courbe G' est du degré m, elle possédera

I 1 • 1 • ^ 1 11 -^ C'^' — i)(m — i) ^ le nombre maximum de points doubles, soit • Ur,

les coordonnées d'un point d'une pareille courbe s'expriment, comme on sait, par des fonctions rationnelles d'un paramètre variable t, de façon qu'à un point variable de la courbe ne corresponde qu'une valeur de /. 11 suffit de couper la courbe G' par un

!• • j 1 j j '/ \ . } (fn — i)(m — •:>.) laisceau de courbes de degré (/?? — i) passant par les ;-

points doubles et par '2 m — 3 points simples pris à volonté sur G',

r . . , ^ ^ i('^î — i)(m — 2) ou par un faisceau de courbes Lim-2 passant par les

points doubles et par m — 3 points simples de G'.

Inversement, supposons :; et u exprimées par des fonctions rationnelles quelconques d'un paramètre t

^ = F(0, ii = ^{f)-^

le point de coordonnées (^, u^ décrit une courbe G de genre zéro. Si à un point de la courbe G ne correspond qu'une valeur de /, la démonstration est immédiate. Des formules précédentes on tire en effet t = W(:j, u), W étant une fonction rationnelle, et la courbe G correspond point par point à la courbe de genre zéro, iv ^= t. Elle est donc elle-même de genre zéro.

J^orsque plusieurs valeurs de t donnent un même point (^, ?/), la représentation est impropre, et le raisonnement précédent ne s'applique plus. Mais M. Liiroth (*) a démontré qu'il suffit d'un simple changement de la variable indépendante pour être ramené au cas précédent. Soient

les expressions des coordonnées, /(a), cp(X), «J>(a) désignant trois polynômes. Nous supposons qu'il existe n valeurs de À donnant le même point (^, u) ou, d'une façon plus précise, que les deux équations

^ ^^ ^O^i) ^(>0' ^ih) '^{l)'

(') LùROTH, Mathematische Annalen, t. IX, p. i63.