TRANSFORMATIONS R 1 R A TIO NNE LLE S

ont, quel que soit).,, rt racines communes ).,, )w, . . ., \,i. Ces n racines sont en général distinctes, sauf pour des valeurs particulières de X,. En effet, écrivons les équations

si \i était une racine multiple de ces deux équations, on aurait

et par suite

f\h)^{h)-^'{h)fai) = o.

Le rapport j^— y- serait donc une constante; or, la racine multiple )>/ varie évidemment avec A,, et l'hypothèse est inadmissible.

Si donc on cherche le plus grand commun diviseur des deux

polynômes /(À)M^^h)-'K^)/(>-.) et 'f 00 'M>h ) - '^OO ?(>^0. on obtient un polynôme de degré n en )., qui n'est autre que le produit (A — A,) (À — Ào) ... (a à,^), abstraction faite d'un facteur indépendant de À. Soit '}(a, A,) ce plus grand commun diviseur 5 comme les deux polynômes précédents ne font que changer de signe quand on permute \ et A,, 'i{\ )h ) sera aussi du degré n en 1,,

6(X,Xi) = Oo(X,)X«4-cpi().,)X«-i+...+ cp„().i),

?o()^i), 'f I ()^i), . . ., '-p/i(X, ) étant au plus du degré n en À,.

Si dans l'équation 'J;()., a,) = o on remplace successivement X, par Ao, . . ., A„, cette équation aura toujours les mêmes racines, car les valeurs A,? ^^2, • • •, A/^ q"i correspondent à un même point (^, u) forment un groupe inséparable. Il s'ensuit que les coefli-

co -f X )

cients ^'-^ reprennent les mêmes valeurs quand on y remplace A

par )v,, Ao,..., A,i- Choisissons 'f/(A) de façon que ce coefficient ne se réduise pas à une constante, et posons

cpo(X)' A. ET G. iq

à un point (^, u) de la courbe considérée correspond une seule valeur de [jl. Inversement à une valeur quelconque de [i. correspondent au plus n valeurs de X; or, si \^ est une de ces valeurs, les autres valeurs du même groupe )w, ).3, . . . , \a vérifient la même équation. Il s'ensuit que cette équation est bien du degré n en A et qu'à une valeur de a ne correspond qu'un point (^, u). Si donc on prend [jl pour variable indépendante, on voit que z et u s'exprimeront rationnellement au moyen de [i., et qu'inversement jj. sera une fonction rationnelle de z et de u.

Considérons, par exemple, la courbe représentée par les équations

(X2-HJ)2 À(X2.4-i)

En appliquant la méthode précédente, on trouve

La représentation est donc impropre. Mais si l'on prend pour paramètre

on vérifie que ;: et u s'expriment rationnellement en ti.

et l'on a inversement

131. Étant données deux courbes de genre zéro C, G', on peut toujours les faire correspondre point par point d'une infinité de manières. Soient, en effet,

les formules qui concernent les coordonnées d'un point de C, y, cp, t: étant des fonctions rationnelles,

TRANSFORMATIONS B I RAT lONN ELLES. 29I

les formules analogues pour C. Si Ton établit entre ^ et T une relation linéaire

(14 ) AT;-f-B^-i-CT-^D = o,

on voit que Z, U s'expriment rationnellement au moven de z^ u et inversement. On a ainsi la transformation birationnelle la plus générale que l'on puisse établir entre les points des deux courbes G, C; il est clair, en effet, que toute correspondance birationnelle entre les points de ces deux courbes donnera entre ^ et T une relation algébrique qui devra être du premier degré par rapport à chacune des variables. La relation (i4) dépend de trois paramètres dont on peut disposer de façon qu'à trois points déterminés de C correspondent trois points arbitraires de G^ Comme cas particulier, il peut arriver que ces deux courbes coïncident, et l'on voit qu'^Y existe une infinité de transformations hirationnelles, dépendant de trois paramètres arbitraires , par lesquelles une courbe du genre zéro se change en ellemême.

Les intégrales abéliennes relatives à une pareille courbe se ramènent immédiatement à des intégrales de fractions rationnelles. Il n'y a pas d'intégrale de première espèce.

132. Passons au cas oii /? = i. Etant donnée une courbe du premier genre C, nous pouvons toujours supposer, d'après le théorème de M. Nother, qu'elle n'admet que des points doubles à tangentes distinctes. Si elle est de degré m, elle aura donc

(m — \)( m — 2 ) m (m — 3 ) . -, 11 ^ m (m — 3 ) -^ —1= — ^ pomts doubles. Ces — ^ -

points doubles^ joints à m — 2 points simples pris à volonté sur C, déterminent un faisceau de courbes d'ordre m — 2,

^m~2i car

jnim — 3) (m — 'i)(m-\-\^

Soit

l'équation d'une courbe de ce faisceau; elle rencontre la courbe C en /w(/n — 2) points dont deux seulement sont variables avec t.

En effet, chaque point double compte pour deux points d'intersection, et l'on a bien

On obtiendra les coordonnées de ces deux points d'intersection variables par la résolution d'une équation du second degré à coefficients rationnels en t^ de sorte que les coordonnées d'un point de G s'exprimeront au mojen de t par des formules de la forme suivante :

-f-Qv/K(0

Si(0

p, Q, Pi, Qi, S, Si, R étant des polynômes entiers en t^ dont le dernier R(^) est supposé sans facteurs multiples. De considéralions géométriques bien connues (2), on déduit que R(^) est du troisième ou du quatrième degré; c'est aussi une conséquence immédiate du théorème général sur la conservation du genre. Posons, en effet,

des formules (i5) et (16) on tire ^ et wp en fonctions rationnelles de z et de u. La courbe G et la courbe G' représentée par l'équation (v-= R(^) se correspondent ainsi point par point par une transformation birationnelle. La courbe G étant de genre un, il doit en être de même de la seconde courbe, ce qui exige que R(^) soit du troisième ou du quatrième degré (§ 109).

Si R(^) est du troisième degré, la seconde courbe sera du troisième degré. Si R(^) est du quatrième degré, soit a une racine de l'équation R(^)= o; la transformation birationnelle

(*) Si un seul des deux points d'intersection inconnus était variable avec t^ les coordonnées de ce point seraient des fonctions rationnelles de t, et la courbe serait du genre zéro. On peut employer aussi un faisceau de courbes C,„,, passant par les points doubles, et 2 /n — 2 points simples de C.

(^) Clebscii, Ueber diejenigen Curven dereii Coordinaten sich als elliptische Functionen eines Parameter darstellen lassen {Journal de C relie, t. LXIV).

TRANSFORMATIONS B IR ATIONNELLES. 298

ramène encore à une courbe du troisième degré. Ainsi, ci toute courbe de genre un on peut faire correspondre, par une transformation hirationnelle, une courbe du troisième degré, qui sera nécessairement sans point double. On dit que la cubique sans point double est la courbe normale du premier genre.

Inversement, les coordonnées d'un point d'une cubique peuvent, et d'une infinité de manières, s'exprimer rationnellement au moyen d'un paramètre t et de la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré en t^ R(0- ^ suffît de couper la cubique par un

faisceau de droites

y —yQ= t{x — x^),

passant par un point fixe {oCq, y^) choisi arbitrairement sur cette courbe. Les racines du polynôme R(^) ont une signification géométrique évidente; ces racines sont les coefficients angulaires des quatre tangentes que l'on peut mener du point {^qi^q) à la cubique. Quel que soit le point (^o; J'o) choisi sur cette courbe, ces quatre tangentes ont même rapport anharmonique, et, par conséquent, Finvariant absolu de la forme biquadratique ^^, R ( — ) ne

dépend pas du point (^o? J'o)- On n'obtient donc pas de représentations essentiellement distinctes.

Le théorème de Géométrie qui vient d'être rappelé se démontre très aisément au moyen d'une remarque qui peut être utile. Sur une courbe du troisième ordre, sans point double, prenons deux points fixes A et B, et soient X, \k les coefficients angulaires des deux droites AM, BM joignant les deux points A et B à un point quelconque M de cette cubique. Il est clair qu'il existe une relation algébrique entre ). et iji, et cette relation doit être du second degré par rapport à chacune des variables ; elle est donc de la forme

)v2(A{Jl2}B;jL-4-C)

^ ^^ j +X(Aifji24 Bi;jL-T-Ci)+ Ao.u^^-Ba.u+Co

et peut encore s'écrire

Si la droite de coefficient angulaire X, issue du point A, est

igi CHAPITRE VI.

tangente en un aulre point à la cubique, les deux valeurs correspondantes de [A doivent être égales. Par suite, les coefficients angulaires des tangentes issues de A sont les racines de l'équation du quatrième degré

. ox \ R(X) = (BA2 + Ba+B,)-2

^ ^ \ -4(AX2 + AiX-i-A2)(G).2+CiX + C2) = o.

De même, les coefficients angulaires des tangentes issues du point B sont les racines de l'équation

Il s'agit de faire voir que le rapport anharmonique des quatre racines est le même pour les deux équations. Comme ce rapport anharmonique ne change pas par une substitution linéaire, la proposition sera évidemment établie si l'on démontre qu'on peut, par une substitution linéaire de la forme

^ , a\ -y- b , aa H- B A = -.— — -, j \x = — '- ,

ck -^ a Y[Jt.-i- 0

ramener la relation (17) à une relation symétrique en X et [Ji. Choisissons pour cela, ce qui est toujours possible, les coefficients des deux transformations, de telle façon que, pour X = o, l'équation (17) ait une racine double infinie en u., et, pour a = o, une racine double infinie en \. Dans ces conditions, on a

A2 = B2 = o, G = Cl = o et la relation (17) prend la forme

A X2 fx2 -1- X|Ji ( B X -H Al [JL-H Bi ) + C2 = o.

Si AiB n'est pas nul, il suffira de remplacer u par — pour être

ramené à une relation symétrique. On ne peut avoir A,B= o; on

vérifie, en effet, que les deux équations R(X)=r=o, R,(!jl) = o

auraient chacune une racine double. Ce cas ne se présenterait

que pour une cubique ajant un point double.

133. Considérons, comme application, les courbes de genre un représentées par une équation binôme. On a vu (n° 112) que ces

TRANSFORMATIONS B I R ATI ONNELLE S. 2^5

courbes se partagent en quatre groupes; les équations appartenant à un même groupe peuvent, par quelques transformations simples, qui sont précisément des transformations birationnelles, être ramenées à une forme type. On peut prendre, par exemple, pour formes types les suivantes :

(B) iû = {z-a)(z-b),

(D) u6 = ç^-^ay{z — b)K

Nous n'avons évidemment à nous occuper que des trois dernières équations (B), (C), (D). Si, dans l'équation (B), on pose K = t^ il vient

et cette équation, jointe à la relation u = t^ donne évidemment une solution du problème.

De même, dans l'équation (C), posons

z = a-^ t^-^ il vient

u'* = t^-{t^- ^a — by-j d'où l'on tire

Enfin, dans l'équation (D), il suffit de poser

z = b-\-t^ et Ton obtient pour u la valeur

u = tï sj ti — b — a.

134. Toute courbe du premier genre admet une infinité de transformations birationnelles en elle-même. La proposition sera établie, si on la démontre pour une cubique; or, dans ce cas particulier, le théorème est presque évident. Il suffit en effet de prendre sur la courbe du troisième degré un point quelconque A et de faire correspondre à un point M de la cubique le troLsième point de rencontre de cette cubique avec la sécante AM.

Cette remarque' bien simple permet déjà d'intégrer l'équation d'Euler. Soient

l'équation d'une courbe du troisième degré, (a, P) les coordonnées du point fixe A, {x, y) et {x' , y') les coordonnées des points M et M'. On a entre ces coordonnées des relations de la forme

et inversement

R et R, étant des fonctions rationnelles.

L'intégrale de première espèce, attachée à la courbe (20),

J \Jx'^ -4- px- -\- qx -^ r

devient, après la transformation (21), une intégrale de première espèce attachée à la même courbe y^- = x'^ -^ px'- + qxJ'^ + r c'est-à-dire que l'on a

J Vx-^-+-px^-h qx-+- r J ^x"^

dx'

-i-px'^ -+- qx' -v r

et, comme les deux transformations (21) et (22) sont inverses l'une de l'autre, on a forcément A^ = i, et par suite

(23) "^^ , dx'

s/x^-^px-^^ qx-+-7^ \/x'-i-i-px'-^-^qx'-{-r

Les formules (21) donnent donc une intégrale de l'équation (23) et, comme ces formules renferment un paramètre arbitraire (a, (3), elles donnent l'intégrale générale.

Il est facile de développer les calculs. Soit

y = mx -\- n

^équation de la droite M A M'; x,x\^ sont les trois racines de l'équation