TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LLE S

On a donc

OL -^ X -h t' = m- — /?,

a{x -T- x') -T- xx' = g — imn, axx' = n- — /•-

L'élimination de m et n entre ces trois équations conduit à la relation cherchée

a(x-i- x') -+■ xx' = q — is/ {r -^ ocxx'){p H- a -i- x -i-x')y

qui contient une constante arbitraire a.

En combinant deux transformations birationnelles telles que la précédente, on obtient de nouvelles transformations, par lesquelles la cubique se change en elle-même. Ainsi, étant donnés deux points A et B sur cette courbe, faisons se correspondre les points M et M' tels que les sécantes BM' et AM concourent en un nouveau point de la cubique. Si le point A reste fixe et qu'on fasse varier le point B, on obtient une infinité de transformations dépendant algébriquement d'un paramètre, l'abscisse du point B par exemple, et, lorsque B est venu en A, la transformation considérée se réduit à la transformation identique. Ainsi, toute courbe de genre un admet une infinité de transformations birationnelles en elle-même, dépendant algébriquement d^ un paramètre t,

y = Ri{x,y,t),

et telles que, pour une valeur particulière /q de ceparamètre, on ait identiquement

x'=Xj y = y.

i3o. Considérons encore les courbes du genre 2. Si une courbe C,„, de genre 2, n'a que des points doubles ordinaires, le nombre d de ces points doubles est égal , d'après la formule (10) (§129), à

On peut encore trouver un faisceau de courbes rencontrant