CHAPITRE VI. — TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LLE S

Cm en deux points variables seulement, soit en prenant un faisceau de courbes de degré m passant par les d points doubles de Cm et par 3 /?z points simples, soit en prenant un faisceau de courbes de degré m — 3 passant par les d points doubles de Cm- En reprenant les raisonnements du n° 132, on en conclut que les coordonnées d^ an point d'une courbe de genre 1 s'' expriment rationnellement au moyen d'un paramètre t et de la racine carrée d'un polynôme du sixième degré R(^) (^ ).

D'une façon plus précise, à toute courbe de genre 2, on peut faire correspondre, par une transformation birationnelle, une courbe représentée par une équation de la forme

(24) w^- = X{t — ai) {t — a,) . . . {t ~ a(,) .

Si Ton pose encore ^ = ^, w ^=:^ [x — a^)[x — <^2)jKj on voit que la courbe (24) correspond point par point à la courbe du quatrième ordre

(25) j2(^ — ai){x — a^) = A(^ — «3) ... (x — «g),

qui a un point double à l'infini. Inversement, toute courbe du quatrième ordre, ayant un point double, est du genre 2. On peut donc prendre cette courbe pour la courbe normale du genre 2.

(') ScHWARZ, Essai de déîiionstration d'un théorème de Géométrie {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3" série, t. VI, p. iii-ii/j).

NTEGRALES NORMALES. 299