D'UNE INTÉGRALE ABÉLIENNE EN ÉLÉMENTS SIMPLES

CAS DE RÉDUCTION (i).

Formation des intégrales de première espèce. — Courbes adjointes. — Intégrales de seconde et de troisième espèce, — Intégrales normales des trois espèces. — Périodes des intégrales normales. — Échange du paramètre et de l'argument dans les intégrales de troisième espèce. — Intégrales de seconde espèce déduites de l'intégrale de troisième espèce. — Réduction d'une intégrale quelconque à une partie algébrique, à des intégrales de troisième espèce et à 2^0 intégrales de première et de seconde espèce. — Intégrales algébriques. — Intégrales logarithmiques. — Intégrales de première espèce réductibles à des intégrales elliptiques.

136. Nous avons déjà indiqué sommairement (n^ 117) comment on partage les intégrales abéliennes en intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce. Nous allons, dans ce Chapitre, revenir sur ce sujet, et nous proposer d'abord de former les intégrales de ces trois espèces.

Pour déterminer les intégrales de première espèce relatives à une courbe donnée

de degré m, nous supposerons qu'on a effectué, s'il est nécessaire, une transformation homographique de façon que les m coefficients angulaires des asymptotes aient des valeurs distinctes el finies. Aucune asymptote n'étant parallèle à l'axe des w, l'équa-

(') A.uteurs à consulter : Riemann, Théorie der AheVschen Functionen; — Clebsch et GoRDAN, Théorie der AbeVschen Functionen, Chap. IV et V; — Abel,

Sur l'intégration de la formule différentielle j ^-j=^.j R et p étant des fonctions entières.

tion (i) renferme un terme en ^^'^% et peut s'écrire

(i') F(^, u) = Aoa'«+ Aiw"^-i +... + A/w'«-i'+...+ A„i = o,

Ao étant une constante et A/ un poljnome en jz de degré i an plus. Les m valeurs de u pour une valeur de ;:; de module très grand sont fournies par m développements distincts, tels que

Ui = CiZ -h ai^ ^ -^. .. (i— 1,2, m).

Soit

f ^{z,u]dz

une intégrale abélienne relative à cette courbe. Il est évident que, si cette intégrale est de première espèce, c'est-à-dire reste finie pour toute valeur de ^, la fonction rationnelle 0(5, w) satisfait aux conditions suivantes :

i^ Pour des valeurs infinies de ^, elle est de l'ordre de — ou

2° Si en un point analytique (zto, u^) à distance finie, cp(^, u) devient infinie, elle le devient d'un ordre fractionnaire et inférieur à l'unité par rapport à ^ ? de sorte que ce point (^o? «<o)

est un point de ramification de la surface de Riemann correspondante. La même propriété a lieu pour le produit u'^ o{z, u), quel que soit le nombre entier positif A", car u reste fini pour toutes les valeurs finies de z.

D'après cela, si l'on appelle ?/<, ^2, . . • , Um les m valeurs de u qui correspondent à une valeur de ^, la somme

Vk-1= U\^{Z, U^)^ u\o{z,Ui)+...-^ U^m'^iz, U,n)

est un polynôme entier en z. En efî'et, P^2 est une fonction symétrique de Wi, ^2, • . • , Um et, par suite, une fonction rationnelle de z. Pour faire voir que c'est un poljnome, il suffit de montrer qu'il reste fini pour toute valeur finie de z. Or un terme quelconque de cette somme u^(f(z^ ui) ne peut devenir infini qu'en un point de ramification (^oj ^^o) et, dans ce cas, il ne con-

INTÉGRALES NORMALES. 3oi

tient que des puissances de ^-—^ d'exposant inférieur à l'unité; sa partie principale est de la forme

ai a, a„i {z — ZqY (z — zoy (-5--S0) " si le point de ramification est d'ordre n — i . La somme P^o ne contient donc aucune puissance entière de : dans le domaine

de ce point et, comme Pa 2 est une fonction rationnelle de z, il s'ensuit qu'elle reste finie pour z =^ Zq.

Pour avoir le degré du polynôme Pa 2, il suffit de voir de quel ordre est cette fonction par rapport à z pour une valeur infiniment

grande de z. Or, cp(^, a) étant de l'ordre de — au moins et «f de

l'ordre de ^*, Pa 2 sera de l'ordre de z^~' au plus. On voit d'abord que, si A^ est égal à o ou à i , Pk-2 sera identiquement nul, car un poljnome ne peut être nul pour z infini, que s'il l'est identiquement. Si A"^ a, Pfc-2 sera de degré k — 2 au plus. On a donc, en faisant successivement A' ^ o, i , 2, . . . , 7?i — i , les relations suivantes :

0(5, Ml) 4- 0(^,^2)+...+ o{z^U,n) = 0,

lllO{z,Ui ) -l- W2Cp(^, M2)H-. . .+ Um^{z,U,n) = O, (3) / U\0{Z,U{)^ ulo{z,U2) + . ..-^UjnO{z,U„i) =^Q,

\ W'i«-1 0{Z, U,)^ U'r'o{z, iu)^...-^u'!^r' ?(-2, «m)= P

Pq. . . . ,Pi, . . . , Pni-i étant des polynômes entiers en z d'un degré marqué par leur indice, ou d'un degré inférieur.

Ces équations linéaires (3) fournissent les ni déterminations de 'f (^, u). Pour les résoudre commodément, imaginons qu'on ait divisé F(s, u) par (w — U{)\ le quotient est un polynôme de degré m — 1 en u

^A^±^ = Bo w'«-i + Bi a^n-2 ^...^ B,n-l ,

Il — Itl où

Bo = Ao, Bi = Ao«i4-Ai, B2 = Aoi/f -I- AiMi^- A2, ...:

en général Ba est un polynôme de degré A en ^ et W|.

Le polynôme — ^f— s'annule pour u=^ Uo, - - .^ u = u,n ; et sa

valeur pour u = Ui est F;^(^,^^^). Multiplions la première des équations (3) par B„,i, la deuxième par B;;,2, . . ., la dernière par Bq et ajoutons-les; il reste, en tenant compte des propriétés que nous venons de rappeler,

Q(z, w< ) étant un poljnome de degré 77i — 3 au plus en ^ et z/,,

Q(Z, Ui)= PoB,„3 -h Pi B„,2 +. . .+ P,„3Bo.

On obtiendra de même (f{z,ui)en remplaçant, dans l'équation (4), Ui par m; par suite, quelle que soit la racine de l'équation (i) que l'on prenne pour u^ on a

Toute intégrale de première espèce relative à la courbe (i) est donc de la forme

oîi Q(^, u) est un polynôme de degré m — 3 au plus en z et u.

137. Il ne s'ensuit pas que toute intégrale de la forme précédente soit de première espèce. Il faut voir à quelles conditions doit satisfaire le poljnome Q(^,?/) pour que l'intégrale reste partout finie. Considérons d'abord un point à l'infini de la surface de Riemann, la valeur de u étant donnée parle développement

u = az^ y-i^ ^- — H —

Par hypothèse, on a, en groupant ensemble les termes de même degré,

F(z,w) = ^'«cp,„ ll^-\^Z^n-l^^^^^ /l^ L'") +...^

l'équation cp„j(i,c) = o ayant w racines distinctes. On en conclut

INTÉGRALES NORMALES. 3o3

la notation cp^ (^'t) ii^diquant une dérivée prise par rapport à -• Le coefficient ^'„i{^i^i) n'étant pas nul, on voit que, si l'on

remplace u par le développement qui précède, F^(^, u) sera de l'ordre de z"^~^^ tandis que Q(^, u) sera de l'ordre de z"'''^ ou d'un ordre inférieur. L'intégrale reste donc finie pour z = y^^ quel que soit le polynôme Q(^, u).

L'intégrale ne peut, par conséquent, devenir infinie qu'aux points où la dérivée F'j^(xj, u) s'annule. Ces points correspondent, comme on sait, aux points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des u^ et aux points multiples. Soit (sq, Uq) un point de ramification où passent n feuillets ; dans le domaine de ce point, les n valeurs de u qui deviennent égales à Uq sont représentées par un même développement en série

quand on remplace u par ce développement dans F^^(^, «), le ré-

sultat est d'un certain ordre en [z — ^o)'S P^^' exemple de l'ordre

^■ de (-3 — ^o)"- Il faudra qu'en remplaçant u par le même dévelop-

pement dans Q(^, «<), le résultat soit de l'ordre de (^ — Zq) " ou d'un ordre supérieur. En écrivant que ces conditions sont satisfaites pour tous les points où F',^(^, u) = o, on obtient un certain nombre de relations linéaires entre les coefficients du polynôme

Le calcul est très laborieux lorsqu'on ne fait aucune hypothèse sur les points singuliers de la courbe F(^, iC) = o. On le trouvera dans la Thèse de M. Elliot (') et dans l'Ouvrage de Briot. Mais si l'on veut seulement évaluer le nombre des intégrales distinctes de première espèce relatives à une courbe de genre /?, on peut toujours supposer qu'on a ramené la courbe, par une transformation birationnelle, à une autre courbe dont les seuls points singuliers sont des points doubles à tangentes distinctes. Le calcul n'offre alors aucune difficulté.

(*) Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 2« série, l. VI;

3o4 CHAPITRE VII.

Prenant un cas un peu plus général, nous supposerons que la courbe F{z, a) = o, de degré m, n'admet que des points multiples à tangentes distinctes ou des points de rebî'oussenient de première espèce.

Soit d'abord (a, b) un point simple de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des w; les développements du n°87 montrent immédiatement qu^ine intégrale

reste toujours finie en ce point, quel que soit le polynôme Q(z^ u). C'est aussi ce qu'on peut voir sans calcul en remarquant que l'intégrale précédente, d'après la relation

peut s'écrire

'Q(z,u)du

et que F'^ (^, u) n'est pas nul au point (a, b).

Soit, en second lieu, (a, b) un point multiple d'ordre q à tangentes distinctes. En portant l'origine en ce point, on a

'fy(i, c) étant un polynôme de degré q qui n'admet que des facteurs linéaires simples et, par suite,

Les q valeurs de u^ qui deviennent nulles en même temps que z, sont représentées par q développements distincts

Ui= CiZ-^UiZ^--^ ... {1 = 1,2, .. .,q),

les constantes Ci , Co, . . . , c^ étant toutes différentes. Si l'on remplace u par un quelconque de ces développements dans F,'^(:;, u)^ le résultat est de l'ordre de z*^'*. Il faut, pour que l'intégrale reste finie en chacun des q points analytiques correspondant aux q branches de courbe, que Q(^, u) soit, après la même substi-

INTÉGRALES NORMALES. 3o5

tutioD) de l'ordre de z^~* ou d'un ordre supérieur. Ceci aura lieu si Q(^, w) ne contient aucun terme de degré inférieur à ^ — i en z et u. Cette condition est d'ailleurs nécessaire; en effet, supposons que Q(>3, u)^ ordonné en groupes de termes de même degré en z et u, contienne un groupe de degré inférieur à^ — 1,

Quand on remplace u par un des développements qui précèdent, le résultat est de l'ordre de^^, à moins que l'on n'ait <J>a(«^ ci) = o. Si k est inférieur k q — i , il faudrait donc avoir à la fois

et le polynôme 6a (i, c), de degré inférieur k q — i, aurait q racines distinctes. Si, au point multiple (a, 6), l'axe des u était tangent aune des branches de courbe, on aurait, en prenant ce point pour origine,

F{z,u) = z9oq-i (i, ^^j

le raisonnement s'achèverait comme plus haut et conduirait à la même conclusion.

Enfin, supposons que le point («, b) soit un point de rebroussement de première espèce où la tangente n'est pas parallèle à l'axe des u. On a, en portant l'origine en ce point,

F{z,ii) = A(u — y.zy^-h:^^{z, u) -^ o:,{z, u) ~ . . . ^

les polynômes homogènes '-^si^-, w), Oi(z,di)j . . . étant d'un degré marqué par leur indice, et o-i(Zj u) n'étant pas divisible par u — OLZ. On en déduit pour u un développement de la forme

OÙ ^3 n'est pas nul. Si Ton remplace u parce développement dans

FU^, M) = 2A(w-a^)-l--^ + ...,

le résultat de la substitution est évidemment de l'ordre de z'-. Pour

3o6 CHAPITRE VII.

que l'intégrale f lf'( reste finie pour 5 = o, il faut évidem-

ment que Q(5, u) ne contienne pas de terme constant. La condition est d'ailleurs suffisante, car Q{z, u) est alors de l'ordre de z ou d'un ordre supérieur.

La condition est la même si la tangente de rebroussement est parallèle à Taxe des w, car on a identiquement, en vertu de la relation F' du + FI <^^ = o,

Q(z, u)dz f Çl{z,u)du

et, en raisonnant sur la nouvelle intégrale, on voit qu'elle restera finie au point (a, 6), si Q(a, ^)= o, et dans ce cas seulement. En résumé, pour que l'intégrale

soit de première espèce, il faut et il suffît que tout point multiple d'ordre q de la courbe F(^, u) — o soit un point multiple d'ordre q — I de la courbe de degré m — 3 représentée par Téquation Q(3,w)= o. CecisupposC; bien entendu, que la courbe F(^, u)^= o n'a pas d'autres singularités que celles qui ont été spécifiées plus haut.

138. Pour déterminer le nombre d'intégrales de première espèce d'une courbe de genre/?, il suffit, comme on l'a déjà remarqué, de considérer une courbe n'ayant que des points doubles à tangentes distinctes. C'est ce que nous allons faire. Soient m le degré de la courbe, d le nombre des points doubles; on a

{m — \){în — -i) p = a.

-^ 1 /-w / \ 1 1 ' o • miin — 3) Tout polynôme Q(^, u) de degré m — 6 contient — ^-^ ^-4- i

coefficients arbitraires. En écrivant que la courbe Q(^, «) = o passe par les d points doubles, on établit entre ces coefficients d relations linéaires; il restera dans Q(^, u) un nombre de coefficients arbitraires égal à

— ^^ : + I — cZ = i — cl— p.

INTÉGRALES NORMALES. 3o7

On ne peut pas conclure de là immédiatement que la courbe admet p intégrales distinctes de première espèce; on pourrait craindre, en efl'et, que les â? relations établies entre les coefficients du polynôme Q(^, u) ne soient pas distinctes. Mais le raisonnement prouve que la courbe possède au moins p intégrales distinctes de première espèce. D'ailleurs, elle ne peut en admettre plus de /> (§ 118). Donc on peut énoncer le théorème général suiv^ant :

A toute relation algébrique F(^, ?«)=o, de genre p, sont attachées p intégrales abéliennes distinctes de première espèce.

Nous disons que p intégrales w^ , Wo, • . • , iVp sont linéairement distinctes, s'il n'existe aucune relation linéaire à coefficients constants de la forme

Cl tvi + G.2 w, -}- . . . -^ G^ w^ H- G/,+1 = o,

où Tune au moins de ces constantes soit différente de zéro. Si «',, W2^ .. ., iVp sont/? intégrales distinctes de première espèce, toute autre intégrale de première espèce est égale à

Xl Wl-H A2tP2+ • ♦ . -4- '^pWp-^ ^^p+i-

Remarque. — Un polynôme de degré m — 3 en g et w contient

(m — i)(m — 2 ) fp • . 1 • . • • I

■^ ^ coethcients arbitraires; par suite, le genre dune

courbe de degré m est au plus égal a ^^ -, ce qu on peut

voir aussi directement sans difficulté. Pour que cette limite supérieure soit atteinte, il est nécessaire que le polynôme Çlm-3 ne soit assujetti à aucune condition, c'est-à-dire que la courbe considérée n'ait aucun point multiple.

139. Le théorème qui précède étant fondamental, il n'est peutêtre pas inutile d'en donner une démonstration toute différente, où n'interviennent pas les surfaces de Riemann. Il suffît de montrer qu'une courbe de genre p ne peut avoir plus de p intégrales distinctes de première espèce. C'est ce qui résulte du théorème suivant :

S'il existe un faisceau de courbes algébriques rencontrant

3o8 CHAPITRE VU.

une courbe algébrique donnée en q points variables seulement, et si Von peut dispose?^ de ce faisceau de façon qu'un de ces groupes de q points puisse être choisi arbitrairement, la courbe donnée a nécessairement moins de q intégrales distinctes de première espèce (^).

Soient F(:;, u) = o Féquadon de la courbe donnée,

f{z,ii)^l'\>{z,u) = o

l'équation d'une courbe du faisceau et (^<, w, ) . . . (zq, Ug) les coordonnées des q points d'intersection variables avec X; soit enfin

(f{z, u)dz une intégrale de première espèce. Posons

' c^{z,u)dz;

la somme

VV = w{Zi, Ui)^ «^(-32, ^^2) -T- . . . + M^(^<7, Ug)

est une fonction du paramètre \, qui conserve une valeur finie pour toute valeur de X. On a d'ailleurs

dW ^ . dzi dzq

des relations

i)F dui dY dui

dui d\ dzi d\ "" ' df dz-i df duj \ ( ^"^ ^^i ^^ diii\

on lire pour -^ une fonction rationnelle de zi^ ui^ A

Par suite, -^ est une fonction rationnelle et symétrique des q

(') La démonstration suivante est due à M. Picard {Bulletin des Sciences mathématiques, 2^ série, t. XIV; 1890).

INTÉGRALES NORMALES. SOQ

couples de valeurs {z-t ,?/,)... (Zq, Uq). Elle se réduit donc à une fonction rationnelle de )., R(a); or l'intégrale d'une fonction rationnelle

devient infinie au moins pour une valeur de )., à moins que R()v) ne soit identiquement nul. C'est ce qui arrive nécessairement ici, et la somme W est constante ('). On a donc

o{zr,iii)-^-^...-i-o{z^,Ug)-^ =o.

S'il existe q intégrales abéliennes distinctes de première espèce

wi = I tfi{z,u)dz, W2 = j oz{z,u)dz,

on aura de même

dz,

= I Oq{z, U)dz,

Oi{Zi,ui)^ -^...-r-^i{Zq,U,j)'-^- =0, ?2(-l,Wl) -^ -T-...-+-02(^y,Z/^)

dzç^ dX

dZq d\

Oq(Zi,Ui)

dzi 'dï

...^Oq{Zq,Uq)

dz

dl

Gomme les points (3,, Ui), . . ., (zq, Uq) sont variables avec )., il faudra donc que Ton ait

01(^1, ?<l) ... 0[{Zq,Uq) 02(^1, Ml) ... 0^{Zq,Uq)

^q{Zi,U^) ... Oq{Zq,Uq)

et puisque, par hypothèse, on peut choisir arbitrairement un des groupes de q points, ce déterminant A devra être nul, quels que soient les q points (^,, Ui), . . . , {Zq, Uq).

Il est clair que ceci ne peut avoir lieu si les q fonctions cp(::, u)

(') C'est un cas particulier du théorème d'Abel, qui sera étudié plus loin.

3lO CHAPITRE VII.

sont linéairement distinctes. En eflet, considérons les mineurs du premier ordre, obtenus en supprimant les éléments de la dernière colonne, par exemple ; si tous ces mineurs ne sont pas identiquement nuls, quels que soient les points (j:?< , «<), . . . , (^^i, Uç-.\)j prenons ces q ■ — i points de façon que l'un au moins de ces mineurs soit différent de zéro. En développant A par rapport aux éléments de la dernière colonne, on a

Al , . . . A^ étant des constantes dont une au moins n'est pas nulle. Cette relation ayant lieu quel que soit le point (zq, Uq)^ on voit que les q fonctions 0\ (5, u)^ . . . 0^(5, u) ne sont pas linéairement distinctes. Si tous les mineurs du premier ordre de A étaient identiquement nuls, on raisonnerait sur un de ces mineurs comme on a raisonné sur A, et ainsi de suite. On arriverait, dans tous les cas, à établir une relation linéaire à coefficients constants entre q'{q'<C q) des fonctions cp, , cp^, . . . , 'f ^ ; ce qui est contraire à l'iivpothèse. La proposition énoncée est donc établie.

Gela posé, supposons qu'une courbe de genre /?, n'ayant que des points doubles ordinaires, possède plus de p intégrales distinctes de première espèce. Le polynôme de degré m — 3 le plus général s'ânnulant pour les coordonnées de ces points doubles sera une fonction linéaire et homogène de/> + i coefficients arbitraires au moins. On pourra disposer de ces coefficients de façon à faire passer la courbe Q(^, 11):= o par p points arbitraires pris sur la courbe donnée F(^, u) = o. Les autres points d'intersection seront au nombre de

Par ces p — 2 points et les d points doubles de la courbe donnée, on pourra faire passer un faisceau de courbes de degré jn — 3, chacune des courbes du faisceau rencontrant la courbe donnée en p points variables seulement, et cela de telle façon que l'une des courbes du faisceau soit la courbe déterminée tout à l'heure, qui passe par p points choisis arbitrairement. Il suit de là que la courbe F(^, u) = o aurait moins de/> intégrales de première espèce, et nous avons vu qu'elle en a au moins p. Cette contradiction démontre le théorème.

INTÉGRALES NORMALES. 3ll

14-0. Étant donnée une courbe algébrique Cm n'ayant que des points doubles ordinaires, on appelle courbe adjointe toute courbe passant par les points doubles de la première. Les intégrales de première espèce sont fournies, on vient de le voir, par les courbes adjointes du degré m — 3 j ces courbes adjointes Qm-^ forment un système p — i fois indéterminé et sont comprises dans une équation de la forme

(^{x,y) = l, Qi(:r, j) + l,Q,{x,y) +...-- lpQAT,y) = o,

les y;» polynômes Q/(^,Jk) étant linéairement indépendants. Par p — I points pris à volonté sur C, il passe une courbe adjointe de degré m — 3, et une seule en général. Par/? — i -^ h points pris au hasard sur C, (/i > o), il ne passe en général aucune courbe adjointe de degré 7?z — 3. Enfin, toute courbe adjointe G/„3 rencontre la courbe G en 2p — 2 points variables, en dehors des points doubles. On a, en effet, d'après l'expression du nombre/?,

Pour donner un exemple simple, prenons une courbe du quatrième ordre C4 ; les courbes adjointes sont ici des lignes droites passant par les points doubles de C4. Si Cj n'a pas de point double, toute ligne droite est une courbe adjointe ; il j a trois intégrales distinctes de première espèce. Si C4 a un point double, les courbes adjointes sont les droites passant par ce point; il y a deux intégrales distinctes de première espèce. Lorsque C4 a deux points doubles, il y a une seule courbe adjointe d'ordre m — 3, la droite qui joint ces deux points et, par suite, une seule intégrale de première espèce. Enfin, si C4 avait trois points doubles, il n'y aurait plus de courbe adjointe du premier degré ni d'intégrale de première espèce.

141. Si la courbe donnée C/« présente des points singuliers d'une nature quelconque, on appelle encore courbe adjointe toute courbe représentée par une équation Q(:î, u) = o, telle que l'intégrale abélienne

(l(z,ii)dz F'^{z,u)

reste finie en tous les points singuliers de la courbe donnée;

Q(^, u) est un polynôme adjoint. On suppose toujours, comme plus haut, que tous ces points singuliers sont à distance finie. Cette condition est indépendante du choix des axes, ou, d'une façon plus générale, la définition précédente est projective. Imaginons, en effet, qu'on effectue une transformation homographique

az' -\- bu' -^ c a" z' -^ b" u! -\- c"

la courbe considérée Crn se change en une nouvelle courbe C^, ayant pour équation

az'-^bu'-hc a' z' -h b' u' -\- c'

et de même la courbe adjointe Q(z, u) = o de degré u se change en une nouvelle courbe de degré u.

(7) ^(z',Li') = (a"z'-i-b'u'-hc")\>-q

az' -{- bu' -h c a' z' -{- b' u' ^ c'

Soient encore (a, [3) un point multiple de C,„ et (a', p') le point correspondant de C^. Tout revient à faire voir que, si l'intégrale (5) reste finie au point (a, P), il en est de même de l'intégrale

(8) n{z',u')dz'

au point (a', ^'). De la relation (6), on tire

\ au au /

ou, en tenant compte de la relation Y.dz + ¥\,du — o,

dz§',,{z\u') = {a"z+ b"u'-^ c"yn ^/^/^,\ ¥',,dz'.

jl) (z . u )

D'ailleurs, un calcul facile donne

abc a' b' c' a" b" c"

INTÉGRALES NORMALES. 3l3

A désignant le déterminant de la substitution homographique. On déduit de là

\dz' I dz

^;X- , u') {a"z-^ b"ii'-^c"yn-i ¥[,{z, uY

il vient enfin

^(z\u)dz'

rQ(z,u)dz ^ ^ r

Puisqii'au point (a', [ii') correspond un point (a, j3) à distance finie, le facteur a" z' -\- b'' a' -^ c" n'est pas nul pour z' = a, u' ^ ^^' et, par conséquent, l'intégrale (8) reste finie au point (a', ^3') si l'intégrale (5) reste finie au point (a, [3) et inversement.

142. On peut obtenir, par des opérations rationnelles, les relations auxquelles doivent satisfaire les coefficients d'un polynôme adjoint Q(-^, a) ('). Ces relations sont linéaires, et leur nombre est

égal a ^ p pour une courbe de degré m et de genre

p. Les courbes adjointes du degré m — 3 fournissent toujours les intégrales de première espèce et forment un système {p — i) fois indéterminé. Enfin, toute courbe adjointe de degré m — 3 rencontre la courbe C/„ en ip — 2 points distincts des points multiples. Nous allons montrer, en efl'et, que dans toute transformation hirationnelle, le système des points d'intersection d'une courbe adjointe de degré m — 3 et de la courbe proposée se change en un système analogue relatif à la seconde courbe. Soit Q(^, u) une courbe adjointe de degré m — 3 relative à la courbe Y(^z^u)=^q\ une transformation birationnelle change l'intégrale de première espèce

Q{-;lOdz

(*) NôTHER, nationale Ausfuhrung der Operationen in der Théorie der algebraischen Functionen {Mathematische Annalen, t. XXIll.p.Sii; i884); Raffy, Thèse de Doctorat (Paris, i883) ; Tikhomandritzky, Esquisse d'une méthode pour déterminer le genre et les courbes adjointes d'une courbe algébrique donnée au moyen des opérations rationnelles {Bulletin des Sciences mathématiques, 1898; Annales de l'École Normale, 1893).

3l4 CHAPITRE VII.

en une nouvelle intégrale de première espèce

Qi (z', u') étant un polynôme de degré [jl — 3 adjoint à la nouvelle courbe de degré [ji, qui a pour équation 0(^', i(!)=zo. On a donc

Çl{z,u)dz Qi(-g\ u')dz' ¥[,{z,u) ~ ^'u,{z',u) '

(z, u) et (z', u') étant les coordonnées de deux points correspondants. Supposons, ce qui ne restreint pas la généralité (n" 128), que les points d'intersection de la courbe C et de son adjointe, autres que les points multiples, correspondent à des points ordinaires de C et inversement. Cela posé, soit {zq, Uq) un point d'intersection des deux courbes

F(z, u) = o^ Q{z, II) = o,

distinct des points multiples, et [z'^^, u'^) le point correspondant de la seconde courbe. On peut toujours choisir les axes de façon qu'en aucun de ces points les tangentes ne soient parallèles aux axes; aucune des expressions

ne sera nulle, et, comme Q(-:oj ^^o) = O7 on doit avoir

et aussi, par suite.

d'après l'identité

dz' du' __

Ceci ne peut avoir lieu que de deux manières; ou bien

Qi(^o,Wo)==o,

ou bien on a à la fois

^'\ /duf

dzJo~ ' \dz /o~

INTÉGRALES NORMALES. 3l5

Cette dernière hypothèse est inadmissible, si la transformation est birationnelle. En effet, les développements de u' — u\^ z' — z'^ commenceraient par un terme en [z — ^o)" ou <ie degré supérieur, au voisinage du point (^o? '^o)j

Lorsque le point analytique (z, u) décrirait un petit cercle sur la surface de Riemann, autour du point {zq, Uq)^ le point (^', u') tournerait plusieurs fois autour de (z'^, u'^) et il n'y aurait pas correspondance univoque entre les points des deux surfaces.

On a donc nécessairement Q, (^„, w„) = o, ce qui prouve que le système des points d'intersection de F = o avec son adjointe Q = o correspond à un système analogue pour la courbe transformée. Si la seconde courbe n'a que des points doubles ordinaires, ce qu'on peut toujours supposer, la courbe adjointe la rencontre en 2/? — 2 points distincts des points multiples; il en est donc de même de la courbe adjointe à la première.

Remarque. — Quand nous parlons du nombre des points d'intersection distincts des points multiples d'une courbe et de son adjointe, il est entendu que les coefficients arbitraires dont dépend la courbe adjointe sont quelconques; pour certaines valeurs particulières de ces coefficients, ce nombre peut diminuer. Par exemple, si une courbe C^^ n'a que des points doubles ordinaires, une courbe adjointe peut être tangente à Qm en certains de ces points doubles. Mais ce cas doit être considéré comme un cas limite, où quelques-uns des points d'intersection variables sont venus se confondre avec les points doubles.

143. Nous pouvons compléter dès maintenant le théorème établi plus haut (n" 122) sur les transformations birationnelles. Soient

une relation de genre />, et z>(z,u), 'l{z, u) deux fonctions rationnelles quelconques de z et de u. En éliminant z et u entre la relation (9) et les suivantes

3t6 chapitre vu.

on en déduit entre Z et U une relation irréductible

(II) *(Z,U) = o,

de genre/?'. Si la transformation est réversible, on a />' = /?. S'il n'en est pas ainsi, on a dans tous les cas p'^p. En effet, toute intégrale de première espèce attachée à la courbe (i i) se change, par la substitution (lo), en une intégrale de première espèce relative à la courbe (9). Par suite, la première courbe possède au moins autant d'intégrales de première espèce distinctes que la seconde, c'est-à-dire que le genre p est au moins égal à p' . Il est facile de montrer, par un exemple, que p peut être supérieur kp' . Prenons une courbe de genre zéro, dont les coordonnées s'expriment par des fonctions rationnelles d'un paramètre t

z = cp(o, u==^(^),

et remplaçons dans ces formules t par une fonction rationnelle quelconque R(^, u) des coordonnées d'un point d'une courbe de genre />, {p > o). On voit bien que l'on passe de la courbe de genre zéro à la courbe de genre/) par une transformation rationnelle, mais ici la transformation n'est plus réversible.

Une autre conclusion à tirer de là, c'est qu'o/z peut toujours passer, par une transformation simplement rationnelle , d'une courbe de genre zéro à une courbe quelconque; cette transformation dépend cV une fonction rationnelle arbitraire des coordonnées d\in point de la seconde courbe.

Le même raisonnement prouve qu'une courbe dont les coordonnées s'expriment par des fonctions rationnelles d'un paramètre est nécessairement de genre zéro, car elle ne peut avoir d'intégrale de première espèce (c/. n° 130).

144. Nous allons montrer maintenant comment on peut obtenir les intégrales de seconde et de troisième espèce.

Pour former l'expression d'une intégrale de troisième espèce avec les deux points singuliers logarithmiques («<, 6,), (^^o, ^2)5 nous supposerons que ces deux points sont deux points simples de la courbe, ce qui ne restreint pas la généralité, car une transformation birationnelle peut toujours ramener le cas général à

celui-là (§ 122). Admettons en outre que la droite qui joint ces deux points rencontre la courbe en m points distincts. Les axes de coordonnées étant choisis comme plus haut (n° 136), considérons l'intégrale

où

est Téquation de la droite D qui joint les deux points singuliers logarithmiques et Q„,o un polynôme adjoint de degré m — i. Cette intégrale ne peut devenir infinie qu'aux points de rencontre de la courbe C avec la droite D ; si l'on assujettit la courbe adjointe Qm-o (-, u)=-ok passer par les m — i points de rencontre autres que \a,\b,) et («2,60), l'intégrale n'aura évidemment que ces deux points singuliers. Dans le domaine du point {a,,b^), par exemple, on aura

(a^ + ^i*-hY)F'„(^,iO z — a,

et le point (a,, b,) sera un point critique logarithmique de l'intégrale, qui pourra s'écrire, dans le domaine de ce point,

P,(r — a,) étant régulière en ce point. De même, dans le domaine du point (ao, 60), on aura pour l'intégrale une expression de la forme

les résidus vérifiant nécessairement la relation

En divisant par R,,,.,., cette intégrale, les coefficients des logarithmes seront respectivement + 1 et — i .

Il est facile de voir qu'on obtient ainsi l'intégrale de troisième espèce la plus générale avec les deux points critiques («,, 6,), («2, b.). Soient, en effet, I, et L deux intégrales de troisième espèce avec ces deux points critiques ; on peut toujours trouver un

3l8 CHAPITRE VU.

nombre A tel que la différence