I2-AI

n'ait plus de point singulier ; A étant choisi de cette façon, L — AI, est donc une intégrale de première espèce

et, par suite, en supposant que !< est l'intégrale définie tout à l'heure, on a

c'est une intégrale de même forme que la première.

Remarque. — Le raisonnement suppose que toute courbe adjointe de degré m — 2, qui passe par les m — 2 points de rencontre de la courbe G avec la droite D, autres que les deux points (a<, 64), (^2, 62), ne passe pas par un de ces 2 points. S'il en était ainsi, toutes ces courbes adjointes se décomposeraient en la droite D et une autre courbe adjointe de degré m — 3, car elles rencontreraient D en plus de jn — 2 points. Le polynôme Qm 2(^; ^^) le plus général satisfaisant aux conditions énoncées serait de la forme (a^ ^ ^u -I- Y)Qm-3(^j u), Qm-3 étant un polynôme adjoint de degré m — 3, et par conséquent dépendrait de/> coefficients arbitraires. Or tout polynôme de degré m — 2

contient — + i coeiiicients ; en écrivant que la courbe

Qwi 2(^j if^) = o est adjointe et passe par [m — 2) points donnés,

on établit '- — p -{- m — 2 relations entre ces coefficients. Il doit donc rester

(m~Q.)(7n -h }) (ni — i)(m — \)

coefficients arbitraires.

Si la droite D ne rencontre pas la courbe G en m points distincts , les conditions auxquelles doit satisfaire le polynôme Q/w 2(^7 i^) sont plus compliquées; mais on peut tourner la difficulté comme il suit. Prenons sur la courbe G un troisième point

INTÉGRALES NORMALES. Stg

(^35 ^3) tel que les deux droites joignant ce point aux deux points («1, bi), («21 ^2) rencontrent chacune G en m points distincts. L'intégrale cherchée est égale à la différence de deux intégrales de troisième espèce admettant respectivement pour points critiques les points (a,, 6,), («3, 63) et («o, ^2)7 (<^37 ^3) ; chacune d'elles peut être obtenue par la méthode indiquée.

14o. Proposons-nous enfin de former une intégrale de seconde espèce, avec un seul pôle au point («<, ^,), que nous supposerons un point simple de la courbe. Soit

(D) aj-f-3w-hY = o

l'équation de la tangente en ce point; si cette tangente D rencontre la courbe G en ni — 2 points distincts du point (r/,, ^,), l'intégrale

où Qw 2(^, u) == o est l'équation d'une courbe adjointe de degré m — 2 passant par les m — 2 points d'intersection de G et de D autres que (<7,, 6, ), ne peut devenir infinie qu'au point (a,, ^,). Dans le domaine de ce point, on aura

il n'y aura pas de terme en 7— — ? puisque la somme des résidus doit être nulle. L'intégrale sera donc de la forme

Pi (z — a,) étant régulière au point (cx,, 64). En divisant l'intégrale par — A, on ramènera le résidu de l'intégrale à la valeur + I. On voit, d'après ce mode de formation, que l'intégrale de seconde espèce avec un seul pôle peut être considérée comme un cas limite d'une intégrale de troisième espèce dont les deux points critiques seraient venus se confondre.

On obtiendrait de la même façon des intégrales de seconde espèce ayant un seul pôle d'ordre quelconque.

146. Intégrales normales. — Les intégrales normales des trois espèces se définissent comme au Chapitre 111. Ainsi, toute courbe du genre p possède p intégrales linéairement distinctes de première espèce w^^ w^-, . . -, Wp. Avec ces p intégrales, on peut former une intégrale de première espèce w^^^ dont toutes les périodes relatives aux coupures ah soient nulles, sauf la période relative à la coupure ayt, que nous prendrons égale à 1'k\^' — i. En faisant successivement k = 1,2, ...,/?, on obtient ainsi les/? intégrales normales de première espèce, w'^^\ w'''^\ ..., w^pK Nous conserverons pour le Tableau des périodes les notations de la page i52.

Prenons maintenant une intégrale de seconde espèce r(^, w; S,Ti) ayant un seul pôle du premier ordre en un point (^, Tj) à distance finie, par lequel ne passe qu'un feuillet, avec un résidu égal à + 1 . Soient A, , Ao, . . . , Kp les périodes de cette intégrale relatives aux coupures ai , ao, . . . , «2^ ; la différence

admet le même pôle (?, Tj) avec le même résidu et ses périodes relatives aux coupures a^ sont toutes nulles. C'est une intégrale normale de seconde espèce

Plus généralement, nous désignerons par la notation

une intégrale de seconde espèce admettant le seul pôle (^, 'r\) avec la partie principale

et dont toutes les périodes relatives aux coupures ak sont nulles. 11 est clair que cette intégrale est complètement définie, à une constante additive près; en effet, s'il existe deux intégrales possédant les propriétés précédentes, leur différence est une intégrale de première espèce dont tous les modules de périodicité relatifs aux coupures ak sont nuls, c'est-à-dire une constante.

Pour trouver les périodes de ces intégrales relatives aux coupures bhy il suffît de reprendre, en le généralisant, le calcul du

n° 75. L'intégrale / w^^^ dL ' [z^ u ; c, r,), prise le long du contour total de la surface T' dans le sens direct, est égale, d'une part, à 271 ^Ba-, en appelant B/f la période de 7j'^^\z, u] ?, r^) relative à la coupure 6^, d'autre part au produit de 2T,i par la somme des résidus de

dz

sur toute la surface T'. En un point de ramification (a, h) à distance finie, la dérivée — -rr peut bien devenir infinie, mais son

développement ne renferme que des puissances de •;; d'un

degré inférieur à l'unité. De même, en un point à l'infini, le développement de cette dérivée commence par un terme en - d'un degré supérieur à l'unité, puisque l'intégrale Z ''' doit rester finie en ce point. H n'y a donc que le pôle (i,T,) qui puisse donner un résidu différent de zéro. On a, dans le domaine de ce point,

et, par suite,

dz {^-\r^

V(^z — ^ ç) et Q(:j — \) étant des fonctions régulières au point (^, Tj). D'autre part, en appelant 0/t(x;, u) la fonction rationnelle dont l'intégration donne w^^\ de telle sorte que l'on ait

f Ok{z,u)dz^

le développement de cette intégrale, dans le domaine du poin, (5, Tj), est donné par la formule

w'^f^^{z,u) = w^'^Hlr,)-^{z-l)of,{\,r,)

^P(l, 'r\) désignant la valeur de la dérivée

dyok{z, II)

pour ^ = ?, u^= 'r\. Le résidu cherché a donc pour expression — ^r(i, Ti). Par suite, les périodes de V intégrale T}^\z^u\ ^,7^) relatives aux coupures h^^h^^ . . .^ bp sont respectivement

En particulier, les périodes de l'intégrale Z(;:;, ^^ ; ç, -/j) ont pour expressions

On remarquera que toutes ces périodes sont des fonctions rationnelles du point analytique (^, ri).

147. Les formules précédentes doivent subir des modifications lorsque le pôle de l'intégrale de seconde espèce est un point de ramification ou s'en va à l'infini. Soit d'abord (?, t,) un point de ramification d'ordfe r — i à distance finie. Nous désignerons encore par

les intégrales de seconde espèce, qui admettent le seul pôle (i, r;) avec les parties principales

et dont toutes les périodes relatives aux coupures ah sont nulles. Enfin, si le point (Ç, -/]) s'en va à l'infini, supposons, pour embrasser tous les cas, que ce point soit pour la surface de Riemann un point de ramification d'ordre r — i (y — i pouvant être nul). Nous désignerons par Z(^, z^; ?, ri), ..., Z^^^ (5, w; i, Tj), ... les intégrales de seconde espèce qui admettent pour pôle le seul point (;, Ti) avec les parties principales

et dont toutes les périodes relatives aux coupures cih sont nulles.

Les périodes de ces intégrales relatives aux coupures hh s'obtiennent encore en calculant le résidu de la fonction

relatif au point (?, "n), ce qui n'offre aucune difficulté. Il nous

suffira d'énoncer le résultat : Soit (i, t») un point quelconque

de la surface de Riemann , par lequel passent r feuillets,

et soit

(12) w^''\z,u)^w'>'\^,,r,)^-{z—\Yo,,{\,r,)

le développement de V intégrale de première espèce ^^^'^{z, u) dans le domaine de ce point, r étant égal à i si le point (;, r,) n'est pas un point de ramification et z — co devant être remplacé par -- Les périodes de V intégrale de seconde espèce

Z^^\z, u; H,'r,) relatives aux coupures 6,, 60, .... bp sont respectivement

Les quantités cp'^''(;, r.) ne sont plus ici les dérivées successives de l'intégrale de première espèce ^v'^^^ {z , u) ] leur signification actuelle résulte du développement ((2) écrit plus haut pour cette

148. L'intégrale normale de troisième espèce Ilr^' {z, u) se définit exactement comme au n° 77. Dans le domaine du point (;', r/), elle est de la forme

et, dans le domaine du point (ç, r,), de la forme

P(^ — f) et Q(^ — ^) étant des fonctions régulières; enfin les périodes relatives aux coupures ah sont nulles. Les périodes relatives aux coupures hh se calculent comme au n^ 78. On trouve ainsi que la période de l'intégrale 11^ 'îj (s, ?/), relative à la coupure hh^ a pour valeur

l'intégrale étant prise le long d'un chemin situé sur T' ne rencontrant aucune des coupures a^, hh^ Ch- H est à remarquer que cette expression de la période reste la même, quelle que soit la position des points critiques logarithmiques.

De la définition de l'intégrale normale de troisième espèce résultent immédiatement quelques propriétés :

1° On a identiquement, quels que soient les points (?, y,),

(i',V),(?.ro,).

(■3) nil5''+4;?''l+n||;'.!, = o-

En efî'et, la somme précédente est une intégrale abélienne qui n'a plus de points singuliers; c'est donc une intégrale de première espèce. D'ailleurs, les périodes relatives aux coupures ai sont toutes nulles; elle se réduit donc à une constante. Or, si l'on fait coïncider le point (z, ii) avec le point (^o, Wo), origine des intégrales, le premier membre est évidemment nul.

2° Si l'on fait dans la formule précédente Ç, = ^, r^ = Tj, il reste

formule qui résulte d'ailleurs immédiatement de la définition.

3° L'intégrale normale de troisième espèce n[|'ÎJJ dépend de àen^i paramètres (^, ri), (^','/i'). On peut, d'une infinité de manières, la mettre sous forme d'une difl^érence de deux fonctions, dont la première dépend de (?, yi) seulement, la seconde de (ç', 'r\). Prenons en effet un point analytique arbitraire, mais supposé fixe (^^, '/!,). On a, d'après l'identité (i3),

ce qui démontre la proposition énoncée.

4*^ La formule (i3) peut être généralisée. Prenons un nombre quelconque de points analytiques (;,, r,,), (^2, '-02)7 • • •> (ç^j 'f\k) ; on a

149. En définitive, c'est toujours par la considération d'intégrales de la forme / Uc/V, où U et V sont deux intégrales abé-

liennes, prises le long du contour total de ï', que nous avons obtenu les périodes. Jusqu'ici nous avons toujours pris pour U une intégrale de première espèce. Prenons maintenant pour U une intégrale de troisième espèce avec les points critiques (;,*^j), (^', t/), et pour V une autre intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques (a, 3), (a', '^'), différents des premiers.

La fonction U -7- n'est pas uniforme sur la surface P; pour la

rendre uniforme, nous tracerons sur T' une nouvelle coupure L joignant les points (^, '/\), (?', r/).

Fig. 88.

Sur la nouvelle surface T'' la fonction U -p est uniforme et on

peut lui appliquer le théorème général de Cauchy. L'intégrale

/ U<iV, prise le long des coupures «v, ^vj Cv, dans le sens direct,

est toujours égale à

]^(Avb;-a,Bv),

Av et Bv désignant les périodes de U aux coupures a^ et b.,, et Av, Bv les périodes de V aux mêmes coupures. Reste à évaluer

l'intégrale flJdY le long de la coupure L. En deux points infiniment voisins /?z, m 'sur les bords opposés de la coupure, les valeurs de U diffèrent de 2 7zi

Um — U,n'= 271 î;

l'intégrale se i^éduit donc à

iizi I d\.

En effet, l'intégrale / U<iV, prise ]e long d'un petit cercle entourant chacun des points critiques (^, Vi)? (^S '^ï')^ tend vers zéro avec le rayon de ce cercle. Dans le voisinage du point (ç, '^), par exemple, cette intégrale est de la forme

y*iog(,^-op(^-o^-,

l?(^z — ;) désignant une fonction régulière dans le domaine du point ^ = ?. Posons

Q(s — ^) étant régulière au point ^ et nulle pour ^ =.ç; l'intégrale proposée devient, en intégrant par parties,

\os(.-i)(i(^-i)-f^^£^d^.

Dans la seconde intégrale, -^-^^ ~ est régulière au point ^ et,

par suite, l'intégrale prise le long du petit cercle est nulle. Quant à la première partie

iog(^-OQ(^-0,

on doit prendre l'accroissement de cette fonction lorsque z décrit un petit cercle autour de ^, partant d'un point ? + p et y revenant; cette quantité a pour valeur 27r/Q(p) et tend vers zéro avec p.

Quant aux résidus de U -77 sur la surface T'', on les évalue

comme plus haut; ils ont pour somme

U(a', p')-U(«,P)= / dV,

rintégrale étant prise suivant un chemin qui ne rencontre aucune

INTÉGRALES NORMALES. Saj

des coupures ^v: ^vj Cv, L. Il vient donc finalement

f dv- d^\ => (AvB;-a;Bv).

Les intégrales qui figurent dans le premier membre de cette égalité sont supposées prises suivant des chemins ne se coupant pas entre eux et ne franchissant aucune des coupures a^^ by^ c.,.

' dU — / dV s'exprime tou-

jours au moyen des périodes des deux intégrales U et Y.

Supposons maintenant que U et V soient des intégrales normales

on a Av = A'v = o, et il reste

C'est la formule fondamentale que nous voulions établir; elle est connue sous le nom àe formule de V échange du paramètre et de V argument dans les intégrales de troisième espèce.

Cette relation ajant lieu, quels que soient les points (?, Tj), (^', r/), (a, ;B), (a', ^'), remplaçons-j (a, ,3) par le point (^o, Wo), origine des intégrales, (a', P') par (^, z^); il vient

(i5) 4';^'' {z, U) = n4;;^/r, r/) - n/;;;^ (^, rj,

en remarquant que n^\J (^oj ^^o) = o. Si Ton ne tient pas compte des chemins suivis par les variables, l'égalité précédente a seulement lieu à des multiples près des périodes.