Dans l'intégrale normale de troisième espèce

considérons les points analytiques (;', r/), (:;, u^ comme donnés, et le point analytique (?, r,) comme variable. Cette intégrale devient une fonction du point analytique (;, r,), fonction dont

les propriétés résultent immédiatement de la formule précédente (i5). On voit que, considérée comme fonction du point analytique (Ç, t,), l'intégrale II est encore égale à une intégrale de troisième espèce avec les points critiques logarithmiques (z, u), (zqj Uq). Par suite, la dérivée

est une fonction rationnelle du point analytique (?, r\), admettant comme pôles les points de ramification et les points (z, u), (zq, Uq), ces derniers étant des pôles du premier ordre avec des résidus égaux à — i et à + i respectivement. Un point critique d'ordre q — i ne peut être un pôle d'ordre supérieur à ^ — i . Les dérivées successives

sont de même des fonctions rationnelles du point analytique (ç, 't]) admettant pour pôles les points (^o, ?^o), (^5 i^) et les points de ramification. Il est clair d'ailleurs qu'elles ne dépendent pas de (^', 7\'). Ces dérivées successives sont identiques, nous allons le voir, aux intégrales de seconde espèce définies plus haut.

Soient (a, b) un point à distance finie de la surface de Riemann, distinct d'un point de ramification, et <Î>(Ç, '^) l'intégrale de seconde espèce suivante, où (Ç, y\) désigne le point analytique variable

*(ç,'0= AiZ(^,Y);a,6)+A2Z'(^,Y];a,è)-[-... + Av+iZ'.v)(^,T;;rt,6),

A,, Ao, . . ., Av+, étant des constantes quelconques. Cette intégrale admet un seul pôle, le point (a, b)^ et la partie principale relative à ce pôle est

Al A2 1.2...V .

Considérons l'intéerrale

J^ilr,

du\''^

étendue au contour total de la surface T' dans le sens direct. On peut lui appliquer le théorème de Gauchj, puisque, nous venons de le voir, H? '.^'^ , considérée comme une fonction du point analytique (?, Ti), est identique à une intégrale normale de troisième espèce.

Les périodes des deux intégrales <E>(i, ti) et Ur.^ relatives aux coupures «/ sont toutes nulles; par suite, l'intégrale précédente, étendue au contour total de la surface ï', est égale à zéro. On en conclut que la somme des résidus de la fonction

sur toute la surface de Riemann est nulle. Ces résidus ne peuvent provenir que des pôles (z, w), (gq, Wq)? (<^j b). Les résidus provenant des deux premiers pôles sont respectivement

— *(-,"), +*(^o, «o)- Pour avoir le résidu relatif au pôle (a, b), écrivons les dévelop-

pements de ^(;, r, ) et de -^ dans le domaine de ce point

"^^r! /cm

d\ -\dl

où ( -^ j désigne la valeur que prend la dérivée d'ordre i\ > pour ç = a, r, =: b. Le résidu relatif au pôle («, 6) est

77f) -^^-^ -;7ît) +----+-AV+1 hy^^

On a, par conséquent, en écrivant que la somme des résidus est nulle, et remarquant que <Ï>(^oî "o) = o,

— <i>(^, îO-^ Al ( -r-- ) -f-...-1-A

Remplaçons <E>(^, u) par sa valeur-, il vient, en ordonnant par rapport aux coefficients A, . . . . , Av+i ,

+ Av+1 [Z(v)(^, u- a, b) - (^^) J = o.

Cette égalité devant avoir lieu, quels que soient les coefficients constants Ai , Ao, • . • , Av+i , on en conclut que l'on a

Remplaçons maintenant {a, b) par (^^r^) pour ne pas multiplier les notations; les égalités précédentes deviennent

Ainsi, lorsque le point (?,ri) est un point ordinaire de la surface de Riemann à distance finie, les intégrales normales de seconde espèce Z{z, u; ?, ti), Z'(z, u; i, t]), . . ., Z(^^(^, i^^ i, yi), ... qui admettent ce point pour pôle sont les dérivées successives de V intégrale normale de troisième espèce \^^^ par rapport au paramètre (S, ''O)-

Par suite, toutes ces intégrales normales de seconde espèce sont des fonctions rationnelles du point analytique (?,"/i), admettant pour pôles le point (^, u) et les points de ramification, et l'on a aussi

Nous avons déjà obtenu, au Chapitre II, des résultats identiques, sauf une petite différence de notation, pour les intégrales hjperelliptiques Ç (i;oi> n°* 4-3 et 46).

151. Lorsque le point (a, b) est un point de ramification à distance finie, les dérivées successives de l'intégrale normale n|'^' par rapport au paramètre (i,v;) deviennent infinies en ce point. De même, ces dérivées sont nulles en tous les points à l'infini de la surface de Riemann; elles ne peuvent donc représenter les intégrales normales de seconde espèce qui admettent pour pôle nn point de ramification ou un point à l'infini de la surface de Riemann. Il faut alors remplacer ces dérivées par les coefficients du

développement de Hr^' suivant les puissances de (; — a)'' dans le domaine d'un point de ramification (a, b) d'ordre /' — i à distance finie, ou par les coefficients du développement suivant les puissances de 7 dans le cas d'un point à l'infini (^ ). Ainsi, soient (a, b)

un point de ramification d'ordre r — i à distance finie et

le développement de l'intégrale de troisième espèce dans le domaine de ce point. Les coefficients II^ , IIo, . . . , llv+i , • . . sont précisément, à des facteurs numériques près, les intégrales normales de seconde espèce définies plus haut, qui admettent pour pôle le point de ramification (a, b). Ainsi on a

Z(z, u; a, b)= Ui, Z'{z, ii: a, b)= 2U2,

et, en général,

Enfin, si le point (a, b) est un point de ramification d'ordre /• — là l'infini (/• — i pouvant être nul), soit

n|f=nE--n.(l)Vn.(')'--..n...Q)"^...

le développement de l'intégrale de troisième espèce dans le domaine de ce point. On démontrera, comme plus haut, que l'on a

Z(z, i«;3c)=ni, ..., Z(v)(z, if ; ao) = i.2.. .(v -M)nv+i.

(1) E. GouRSAT, Sur la théorie des intégrales abéliennes {Comptes rendus, t. XGVII, p. 1281).

Ces formules sont encore à rapprocher des formules obtenues au nM3.

152. Quelques considérations de passage à la limite permettent de prévoir et d'expliquer la plupart des résultats qui précèdent. Considérons d'abord deux intégrales normales de troisième espèce

ayant un point critique commun (?', t/) et deux points critiques infiniment voisins (?, tj) et (^ -j- A, t^ + A"), que nous supposons à distance finie et distincts des points de ramification. La différence

est encore une intégrale abélienne avec deux points critiques logarithmiques infiniment rapprochés (?, Ti) et (^ + A, '/] + A). En tout autre point («, b) de la surface, cette intégrale est régulière. Faisons tendre h vers zéro; la différence

a pour limite -^^' de sorte que, à la limite, l'intégrale en question admet le seul pôle (ç,7j) avec la partie principale z' D'ail-

leurs, toutes les périodes de to relatives aux coupures a^ sont nulles; cette intégrale w a donc pour limite l'intégrale normale de seconde espèce Z(5, u; ?, t)), c'est-à-dire que l'on a

ou encore

Z{z,u;^,ri) =

dn

Les périodes de Z relatives aux coupures bh se déduisent de la même façon des périodes de H. Ainsi la période de l'intégrale w

relative à la coupure bh est

expression qui a pour limite

dl

=--9h{lr,).

lorsque li tend vers zéro.

On verrait de la même façon que les intégrales Z'(;, z^ ; E, r,), ..., IJ^'^z, u\ H,r,) peuvent se déduire de Tintégrale Z(^, u\ ?,r.) par des différentiations successives relativement au paramètre (H,^.)-

Remarquons aussi que les propriétés précédentes deviennent évidentes pour une courbe de genre zéro. Alors toute intégrale abélienne est égale à l'intégrale d'une fonction rationnelle

f^{t)dt,

t désignant le paramètre qui correspond uniformément aux points de la courbe. Il n'y a pas d'intégrale de première espèce; l'intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques E, H' est

les intégrales de seconde espèce avec le pôle t — z sont respectivement

^'''(''^^) = uéri^i

On a bien

lo3. On peut établir les propriétés de l'intégrale normale de troisième espèce par une autre méthode, qui offre une application intéressante d'une formule de M. Hermite relative aux fonctions

représentées par des intégrales définies admettant des coupures(^). Donnons-nous les limites de l'intégration (zq, Uq), (z, u), le chemin d'intégration L joignant ces deux points, ainsi que l'un des points critiques (^', r/) supposé fixe; l'intégrale

a un sens bien défini tant que le point variable (^, rj) ne vient pas sur le chemin d'intégration.

Nous admettrons, ce qui est indispensable, que c'est une fonction analytique du point (?, r,) sur toute la surface de Riemann ; c'est justement ce qu^établit la formule (i5).

Fig. 89.

Pour voir ce qui se passe quand on franchit la Jigne L, considérons deux points infiniment voisins (?, t)), (^,, yji) de part et d'autre de cette ligne, et un chemin d'intégration tel que L', voisin de L {fig. 89) ; la fonction — Jr~ ^^^ holomorphe à l'intérieur

du contour formé par les deux lignes L et L^ lorsque le point (ç, 7i) est à gauche de L, comme l'indique la figure. Par conséquent,

dnl''-^'

Au contraire, la fonction —4^ admet le point (;,, r,,) comme pôle du premier ordre avec un résidu égal à — 1. [On suppose

(') Hermite, Journal de Borchardt, t. XCI; E. Goursat, Acta Matlieinatica, t. I, p. 189.

que le point fixe (?', r/) est à l'extérieur du contour formé par les deux lignes L et L']. On a donc

Retranchons ces deux égalités membre à membre; il vient

Tous les éléments de l'intégrale du second membre deviennent nuls lorsque les points (ç, r, ) et(?,,-/;,) viennent coïncider avec un même point de la coupure L; il reste donc

cette égalité exprimant qu'en deux points infiniment voisins de part et d'autre de L, les valeurs de n^',!j' diffèrent de irA. Cette ligne L n'est d'ailleurs qu'une coupure artificielle pour cette fonction ; en déformant infiniment peu le chemin d'intégration, on voit qu'elle reste régulière en tous les points de L, sauf aux deux limites (^, u) et (:^o, ^^o)- Si le point i^^'r,) est très voisin du point (^, iL)^ on a

dz

= — TZii -f-P(>s,«^;i,^i),

P(::. U] ç, Tj) désignant une fonction qui reste finie pour ^ = ;, u==ir^. On en conclut que, dans le domaine du point (^, u)^

n|;;''-iog(^-^-)-Q(^,ro,

Q(^, r,) restant finie au point (z, u). On a, de même, dans le domaine du point {zq, Uq),

La fonction étudiée reste donc finie en tout point (;, t.), sauf aux points (:;, u), (zq, Wq), où elle se comporte comme on vient de le voir.

11 reste à voir comment varie cette fonction lorsque le point (c, 7,) décrit un contour fermé quelconque, en particulier, lorsque

ce point franchit les coupures ai et hi. Nous avons vu plus haut (n° 144) comment on pouvait former une intégrale de troisième espèce ayant les deux points critiques logarithmiques (^, ri), (^', 7i') ; cette intégrale est de la forme

S(^, u\ Ç, V)) étant une fonction rationnelle de (s, ii) et aussi de (^, Tj). Pour passer à l'intégrale normale de troisième espèce, il faut ajoutera cette intégrale certaines intégrales de première espèce. Soit tJL)i(^, 'r\) la période de l'intégrale précédente à la coupure <2i, période qui est égale à l'intégrale / S (5, u\ ç, Tj) dz, prise le long de la coupure {ht),

Wi(^,>î)= / S(z, u\\,r,)dz.

L'intégrale normale de troisième espèce est égale à

en représentant par / cpi(^, 11) dz l'intégrale normale de première

espèce w^^\ La période

considérée comme fonction du paramètre {^^y\)^ est représentée par une intégrale définie admettant la coupure {ht)- Lorsque le point variable (Ç, 't\) ne franchit pas cette coupure, Ci)/(Ç, 'r\) reste une fonction uniforme du point (^, Tj) et, en reprenant le raisonnement de plus haut, on voit qu'en deux points infiniment voisins de part et d'autre de la coupure ht les deux valeurs de w/(^, r^) diff'èrent de 27c/. Gela posé, reprenons la fonction

si le point (ç, r,) décrit un chemin fermé quelconque ne traversant aucune coupure bi, ni la ligne L, chaque élément de l'intégrale, et, par suite, l'intégrale elle-même reviennent à leurs valeurs initiales. Au contraire, en deux points infiniment voisins de part et d'autre de la coupure 6/, les éléments correspondants des deux intégrales diffèrent de '^i{z^ u). Les intégrales ellesmêmes diffèrent de

En résumé, l'intégrale normale de troisième espèce, considérée comme fonction du paramètre (^, r, ), présente les caractères suivants :

1° Elle reste finie en tout point de la surface de Riemann, sauf aux points (^, «), (^o, ^^o) qu'elle admet pour points critiques logarithmiques;

2^ Toutes les périodes relatives aux coupures ai sont nulles, et la période relative à la coupure bi est égale à

Ces propriétés caractérisent l'intégrale normale de troisième espèce, avec les points critiques logarithmiques (;, «), (^o? ^^o)- On a donc

n|!j'(^, zO-n^:;;'"(ç,^)-+-C.

Pour déterminer la constante C, remarquons que, lorsque le point mobile (;, y;) vient en (;', r/), le premier membre est nul. W reste donc l'égalité

qui est identique à la formule (i5).

lo4. Avant de revenir aux intégrales abéliennes les plus générales, il nous faut expliquer le sens d'un mot qui sera souvent employé. Étant donné /' intégrales ^,, vo, . . ., 'Cr^ n'ayant aucun point critique logarithmique, et, par suite, composées uniquement

d'intégrales de première et de seconde espèce, on dira que ces intégrales sont algébriquement distinctes s'il n'existe aucune combinaison linéaire à coefficients constants, telle que

W = Ai^,-4-A2r2-f-...-f-A,^,,

qui se réduise à une fonction rationnelle de z et de u (sauf, bien entendu, lorsque tous les coefficients A^- sont nuls).

Si l'on a une équation algébrique de genre /?, l'intégrale précédente W admet, en général, ip périodes cycliques; pour que W se réduise à une fonction rationnelle de z et de z/, il faut et il suffît que les 2/> périodes soient nulles, car cette intégrale est alors une fonction uniforme du point analytique [z^ u)^ n'admettant que des pôles sur toute la surface de Riemann. En écrivant ces conditions, on a ip équations linéaires et homogènes entre les /• coefficients A^ A2, . . . , A;^; ces équations admettent certainement un système de solutions, non toutes nulles, dès que;- est supérieur à 'ip. Par suite, il ne peut y avoir plus de 'ip intégrales algébriquement distinctes de première et de seconde espèce.

Nous dirons que 9.p intégrales algébriquement distinctes Çi, 42^ •• V» ^2p forment un système fondamental. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le déterminant d'ordre ip formé par les (2/?)- périodes de ces ip intégrales soit diff'érent de zéro; on aurait, en effet, pour déterminer les coefficients A/ tels que toutes les périodes de l'intégrale A, Ç, +. . .h- Ao^^sa;» soient nulles, 'ip équations linéaires et homogènes dont le déterminant n'est pas nul. Toute intégrale ahélienne v^ n^ ayant aucun point critique logarithmique, est égale à une combinaison linéaire à coefficients constants des op intégrales Ç, , . .., 'C^^p-, formant un système fondamental, augmentée d^ une fonction rationnelle de z et de u. Il suffit, pour le voir, de remarquer qu'en égalant à zéro les ip périodes de l'intégrale

p — Ai^i— A2!^2 — ••• — A,^, ^2/>

on a 2/? équations linéaires et non homogènes, dont le déterminant n'est pas nul. On en déduit donc pour les coefficients A,, Ao, ..., k^p un système de valeurs finies; ces coefficients étant ainsi déterminés, la différence (^ — Ai Ç, — . . . — k<ipX^<ip n'a plus

INTÉGRALES NORMALES. SBq

de périodes, et se réduit, par conséquent, à une fonction rationnelle de z et de u.

En particulier, toutes les intégrales abéllennes de première et de deuxième espèce attachées à une courbe algébrique de genre p se réduisent à ip intégrales distinctes.

Pour former un système fondamental, prenons pour J^j ,^0? • • •' ^/>

les/> intégrales normales de première espèce v, = (p^'^, !Co=(v'-^,

;^^r=r w'^P\ et pour î^^, , . . ., ^2/j? P intégrales normales de seconde espèce, T{z, u; ai^ b^), ..., Z{z, u; ap^ bp)^ admettant pour pôles/? points ordinaires à distance finie, tels que le déterminant

?/>(.«i,^i) ••• ^p{<^p,bp)

ne soit pas nul (n" 139). Ces 2/? intégrales forment bi en un système fondamental. En effet, si l'on désigne par a,, 7.0, .... a^ les p périodes d'une intégrale r relatives aux coupures «,, a-,, •.., <r/^, la différence

v' = (' —. ( ai (ï^^" -h . . , -h ay, w'^P^ )

a toutes ses périodes, relatives aux coupures a^, nulles. En écrivant que l'intégrale

<-'— Ài Zi z. u : <7i. 61) — . . . — Ip Z(z, a: ap^ bp)

a également toutes ses périodes relatives aux coupures b^ nulles, les coefficients a, sont déterminés par/? équations linéaires dont le déterminant est précisément A.

11 est clair qu'on peut remplacer ce système de ip intégrales par un système composé de/? intégrales distinctes de première espèce (T'i, w.2^ . . ., (v^ et de /? intégrales de seconde espèce admettant les pôles du premier ordre («,, ^,), . . . , («r/^, bp), caries intégrales normales sont des combinaisons linéaires de celles-là, et inversement. On peut aussi supposer que quelques-uns des pôles

(«1,61), .... (ap,bp)

sont venus se confondre; par exemple, si ces p points sont tous

confondus en un point (a, b)^ on prendra, pour former un système fondamental, avec les/? Intégrales de première espèce, les p intégrales normales de seconde espèce

Z{z,u\a,b), T{z,u\a,h), .... Vp-^H z, u: a,b). Ce système est fondamental pourvu que le déterminant