I - Ri 11^" rÇ'-Ra II

R,ili;n"^^

'^q-y pq T ^1

INTÉGRVLES NORMALES. 34 I

n'admet plus de point critique logarithmique. Elle peut avoir des pôles en nombre quelconque. Soient (a, h) un de ces pôles et

z — a'^{z — af {z — ay

la partie principale de J dans le domaine du point (<7, b). L'expression

H = i —Slx^Ziz. u: a, b)

où le signe V est étendu à tous les pôles de J, est une intégrale

abélienne régulière en tous les points de la surface de Riemann, c'est-à-dire une intégrale de première espèce a, tv^^'^ + •.•-[- A;,<v^^'. On en déduit pour l'intégrale I la valeur suivante

= / R(z, u)dz

+ y [Ai Z{z, u;a, b)-^. . .-- ^^" : Z^v-i^.^, u: a, b)]

Les coefficients Ra, A,, ..., Ay sont connus immédiatement si Ton connaît les résidus de R(^, «), et les parties principales au voisinage des pôles de l'intégrale; ces coefficients dépendent donc algébriquement des coefficients de la fraction rationnelle R(^, u). Il n'est pas de même de )., , • • -, '^^p\ '^-h, par exemple, est égal à la période de l'intégrale I à la coupure a^j divisée par 2t.i.

On pourrait encore arriver à la formule de décomposition (17) de la façon suivante. Sur la surface T', traçons un contour fermé G renfermant à l'intérieur tous les points critiques logarithmiques de l'intégrale 5 soit T'' la surface limitée par G et par les bords des coupures «v? ^v? <^v La fonction

T(.^rJ=IU^rJ

dml'

dl

est une foDction uniforme du point analytique (?, r.) sur la surface T". En appliquant le théorème de Cauchj à l'intégrale

prise le long du contour total de T'^ dans le sens direct, on a à calculer, d'une part, cette intégrale prise le long du contour de C et le long des coupures, d'autre part les résidus de T(ç, ti). Si l'on réduit le contour C à une suite de petits cercles décrits autour des points critiques, réunis l'un à l'autre par des fentes de largeur infiniment petite, le calcul ne présente aucune difficulté, et l'on retrouve ainsi la formule (17).

156. Toutes les intégrales de première et de seconde espèce se ramenant à 2/? intégrales distinctes, on peut ne laisser dans le second membre de la formule (17) que ces ip intégrales. Imaginons, pour fixer les idées, que l'on ait choisi, pour former un système fondamental, avec les/? intégrales de première espèce, p intégrales de seconde espèce, admettant respectivement pour pôles du premier ordre les /> points {as^b^)^ ..., {ap^bp). Soient w^, (Vo, . . ., Wp^ Ç(s, z^; «I, 6i ),..., Ç(^, u\ a p^ bp) ces ip intégrales. Si l'on remplace chaque intégrale normale Z^"^^ par son expression au moyen des ip intégrales précédentes et d'une fonction rationnelle de z et de u^ la formule (17) peut s'écrire

-4- Bi (Pj-H B2 (^2-^-- • •-+- B/, (Py, ■ ou encore

*^{z, u) étant une fonction rationnelle de z et de u^ I, et lo désignant deux intégrales abéliennes dont la première n'admet que des points critiques logarithmiques, tandis que la seconde lo n'admet que des pôles du premier ordre qui sont pris parmi les p points (a,, ^,), ..., {ap, bp).

Ces deux intégrales !< et L ne sont pas complètement définies,

quand on connaît la fonction rationnelle T{{z, ii)^ car on peut ajouter à l'une d'elles une intégrale quelconque de première espèce, à condition de retrancher la même intégrale de l'autre. Mais, si les points (<7| , ^i ), • . ., {ap, bp) ont été choisis une fois pour toutes, la partie algébrique de l'intégrale^ ^(^> u)i est complètement déterminée, à une constante additive près.

Supposons, en effet, qu'en opérant d'une autre façon, on ait mis I sous la forme

\\ et I!, jouissant des mêmes propriétés que I| et lo ; on en déduit, en retranchant membre à membre,

^{Z, U) — «ï»'(-3, U) — \\ — II— i;— lo.

Il est clair que les points critiques logarithmiques disparaissent dans le second membre, et la fonction rationnelle ^ — 4>' ne peut avoir pour pôles que quelques-uns des points (<7,, bC)-, ...,(a^, bp)^ ces pôles étant du premier ordre. Soit

la partie principale de 4> — ^'dans le domaine du point {ai, bi)\ la différence

* — *' — HiZ(^, M, rt,,èi) — ...— ^pZ{z, u, a,„bp)

est régulière en tous les points de la surface de Riemann, et ses périodes relatives aux coupures a/i sont toutes nulles. C'est donc une constante, et ses périodes relatives aux coupures b/i doivent être nulles également. En écrivant qu'il en est ainsi, on établit entre les coefficients H,, ..., H^ un système de p équations linéaires et homogènes dont le déterminant A est essentiellement différent de zéro (n° 139). On a donc H, = Ho == . . . = H^ = o, et les deux fonctions <ï> et O' ne diffèrent que par une constante, qu'il est évidemment permis de négliger.

Il paraît probable, d'après cela, que cette partie algébrique <I>(c, u) peut être obtenue par des opérations rationnelles, c'està-dire des additions, multiplications et divisions de polynômes. 11

ne semble pas que ron possède jusqu'ici de méthode générale pour effectuer ce calcul. La question a été résolue par M. Hermite dans le cas particulier des intégrales hjperelliptiques (^); nous rappellerons succinctement sa méthode.

Etant donnée une relation de genre/?, de la forme

où les quantités // sont toutes différentes, toute intégrale

j K{z,u)dz,

où R(2;, u) est une fonction rationnelle de z et de w, se ramène, par des calculs élémentaires, à des intégrales de l'une des formes suivantes

rv dz r z^ndz rx.dz

J (i'^ ' J ~^' J x^ir

P, X,, X, Q étant des polynômes, dont les deux derniers sont premiers avec leurs dérivées. La première intégrale est égale à une fonction rationnelle de z, que l'on peut calculer sans avoir à résoudre aucune équation de degré supérieur au premier, et à une

~^, OÙ l^ est de degré inférieur à celui de Q, qui

est égale à une somme de logarithmes. De même, les intégrales r z'n dz rx^dz J ~~[i~' J ~x^ ^^ ramènent, par des calculs élémentaires, à

une partie rationnelle en z et w, à des intégrales de la forme

où Y est de degré inférieur à celui de X, et où X est premier avec le polynôme F(^) (intégrales qui n'admettent que des points critiques logarithmiques) et enfin aux intégrales T——, où m n

une des valeurs o, i, 2, . . . , 2/?. Pour /?2 = o, i, 2, y» — i ,

on a les p intégrales de première espèce fr<, W2, - . ., (ï>. Pour

(*) Bulletin des Sciences mathématiques, 2= série, t. VII, p. 36. Cours professé à la Faculté des Sciences, rédigé par Aiidoyer.

m =/>, on a une intégrale de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques à l'infini. Enfin, si

on a une intégrale qui admet encore, en général, deux points critiques logarithmiques à l'infini; en choisissant convenablement le coefficient À^, la différence

ZP-^^l-K,ZP ^.

admet les deux points à l'infini pour pôles d'ordre q. En définitive, l'intégrale proposée est décomposée en une partie rationnelle en z et w, en une somme d'intégrales de troisième espèce, et des ip intégrales ir, , (ï^oj • • • , <^>j ïo • • • ? '^p-

Ces ip intégrales forment bien un système fondamental. En d'autres termes, il n'existe aucune combinaison linéaire à coefficients constants

Al «•!-+-. . .— .S.piVp — B,^i-f-. . .-^ B/j^/,,

qui se réduise à une fonction rationnelle de z et de a (sauf pour A/ = B/ = o). En effet, cette fonction rationnelle n'aurait pour pôles que les points à l'infini, d'ordre p au plus, et, d'après les expressions des intégrales ^y, les coefficients des parties principales dans le domaine de chacun de ces pôles seraient égaux et de signes contraires; il en résulte (n'' 27) que cette fonction rationnelle serait de la forme uÇl{z)^ Q(^) étant une constante ou un polynôme. Or les points à l'infini sont des pôles d'ordre/? -h i au moins, pour une telle expression.

157. Nous allons montrer, dans ce paragraphe, comment on peut trouver la partie algébrique ^{z^ u) d'une intégrale et les coefficients de la formule (i8), quand on connaît les points singuliers de l'intégrale avec les parties principales du développement dans le domaine de chacun d'eux. Soient

t'^i = Ai(-, u) dz, iv.2=f^2{z, u)dz, . . ., u'p =j^p{z, u) dz

p intégrales linéairement distinctes de première espèce, ^j>4,^27 •••? '1^ étant des fonctions rationnelles connues de z et de u. Prenons, pour fixer les idées, p points analytiques (a<, ^<), . . ., {cip^ Z>^), à distance finie, et distincts des points de ramification, tels que le déterminant

ne soit pas nul. On a vu plus haut (n'' 145) comment on pouvait former une intégrale de seconde espèce admettant le seul pôle

(r^/, bi) avec la partie principale •; —

soient

^1 = I yji^, u)dz,

^p= I Ipi-^ ^0^^

les p intégrales de seconde espèce ainsi formées, admettant respectivement pour pôles du premier ordre les points («,, Z>^), . . ., (<^7?, àp). D'après les explications qui ont été données (n" 154), les 2p intégrales Wi, . . ., (v^, Ç<, . . ., Ç^ forment un système fondamental, car les intégrales normales iv^^\ (v^^\ ..., {\>^f'\ Z(^, u] ciijbi), ..., Z(5, w, cip, bp) s'expriment linéairement au moyen des premières, et inversement, et le déterminant 8 ne diffère du déterminant analogue où ^/(^, u) serait remplacé par ^i{z, u) que par un facteur différent de zéro. Nous désignerons encore par ra|'^. l'intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques (?,'/]), (^',7/), que l'on a appris à former plus haut (n" 144).

Gela posé, soient (a,, j3<), ..., (a^, j3^) les points critiques logarithmiques de l'intégrale abélienne I = i^(^, u)dz^ et Ri, ..., Ry les résidus correspondants de R(^, u). La différence

(So,«o)

R(..,.o^^^'-Ri<;;'p;

n'admet plus de points critiques logarithmiques. La dérivée

est une fonction rationnelle S{z, ?/) dont tous les résidus sont nuls. L'intégrale J peut donc s'exprimer par la somme d'une fonction rationnelle de z- et de u et d'une combinaison linéaire à coefficients constants des 2/? intégrales «,, ..., Wp^ ^,, ..., Ç^,

(20) J = ^(Z, II) -h )vi^i — . . .-f- lplp-\- [Jli Wi-T-. . .-î- {J-pWp.

Cherchons d'abord à déterminer les coefficients À,, ..., \p^ U|, ..., [kp. Pour cela, multiplions les deux membres de l'équation (?.o) par ^/(^, u)j et égalons la somme des résidus des deux membres de l'égalité obtenue sur toute la surface de Riemann. Les résidus du produit J(!>/(^, u) s'obtiennent sans difficulté, connaissant les pôles de l'intégrale J et les parties principales dans le domaine de chacun de ces pôles. En effet, en tout point où l'intégrale J est régulière, le résidu de J'li[z, u) est nul; car, '^i{^i u) étant la dérivée d'une intégrale de première espèce, son développement dans le domaine d'un point à l'infini commence

par un terme en - d un degré supérieur a lunite et, en un point

de ramification (a, b) à distance finie, 'i>/(^, u) ne contient que

des puissances de — d'un desrré inférieur à l'unité. Suivant une

notation employée par Cauchj, désignons par C[J'|/(:?, u)] la somme de ces résidus. La somme des résidus de la fonction rationnelle ^{z, u)'bi(z, u) est nulle. Les résidus de la fonction ^fcài{z^ u) se réduisent au seul terme '}/(6t^, b^) provenant du pôle («A, bfi) de Zk- Enfin le produit w/i'li{Zj u) n'admet aucun résidu. Il reste donc les p relations

/,,x \ li'^iiai, bi) ^. . .-^Ap'l^iiap, bp) = C[J'hi{z,u)]

qui déterminent les p coefficients A, , . . . , a^, car le déterminant de ces équations linéaires est précisément 0.

Pour obtenir les constantes a,, ..., ;jl^, multiplions de même les deux membres de la relation (20) par '//(:?, u), et égalons la somme des résidus des deux produits. La somme des résidus de saX^(^, u) est égale k yi{a/(, bh) — '/ji^^n ^i)] celle des résidus de iv/iyi{z^ u) est égale à — '^a(«/, bi); enfin la somme des résidus

3i8 CHAPITRE Vil.

de la fonction rationnelle ^{z-, u)yj{^-, t^) est nulle. Il vient donc

^'"^^ ( =-~^[iyj{^,iO]-^hdlk{anbi)-yj{a,,b,.)];

ces équations déterminent ^i, ji-o, . . ., '^p^ car le déterminant est encore égal à ù.

En définitive, tout revient à calculer les sommes des résidus des produits JtJ;/(i:, u) et !'//(:?, u); les résidus de J^i(^, u) proviennent uniquement, on l'a déjà remarqué, des pôles de l'intégrale J. Soit (<2, b) un de ces pôles que nous supposons, pour fixer les idées, à distance finie et distinct des points de ramification ; écrivons le développement de la fraction rationnelle S(^, u) dans le domaine de ce point

On en déduit

J = fs{z, u)dz =:C~

--kAo(.-«)

Soit

^i{z, u)=z ^i(a, b)-{-{z — a)Yi{a, b) -+- . . . ( z a )m—2

+ - ^ r N Vr-'^ {a,b)-^...:

le résidu du produit J'|/(;, ii) au point (a, h') est donc

Nous voyons que ce résidu se calcule au moyen des seuls coefficients des développements de S(^, u) et de ^/(^, u) dans le domaine du point (a, h\ 11 en est de même, on le vérifie facilement, quelle que soit la position du point (<2, ^). Les résidus du produit Jyi(^, ?/) proviennent des pôles de J et du point (a/, ht) qui est un pôle du second ordre de ^^ (^, w) ; le résidu relatif à ce point est

égal à — S(rt/, bi)^ car, dans le domaine de ce point, on a

S{z, u) = S(a/, bi) -f- (> — <7/)S'(rt/, bi)-^.. ., J = j Si z. u) dz = C -{- ( z — ai) S(ai, 6/) -f- . . . ,

yjiz, u) =— — -• -f- P( j — ai).

Les résidus provenant des pôles de J se calculent comme tout à l'heure. En définitive, pour calculer les coefficients X,, . . ., X^, ;jL,, jjLo, . . ., ui;, de la for m a le (20), il suffit de connaître : i"* les coefficientsdes développements des fonctions rationnelles S (z, u), 'li{z^ u), '/i{Zj u) dans le domaine de chacun des pôles de J; 2*^ les i^aleurs de la fonction rationnelle S(z, u) aux p points analytiques (<7, , ^i ), . . ., {ap^ bp).

Reste à déterminer la fonction rationnelle ^{z^ u). Nous connaissons les pôles de cette fonction qui sont les pôles de J et les points (rt/, bi). Dans le voisinage d'un pôle de J, la partie principale est la même que celle de J; au point (^r/, 6/), la partie principale est — Nous sommes donc amenés au problème sui-

^ z — at ^

vant : Déterminer une fonction rationnelle ^{z^ «), connaissant les pôles et les parties principales dans le domaine de chacun de ces pôles. Cette question sera discutée au Chapitre suivant.

I08. Comme application de ce qui précède, cherchons les conditions pour qu'une intégrale abélienne

R ( -3 , u) dz

soit une fonction algébrique de z. Il faut évidemment que cette intégrale n'admette ni périodes, ni points critiques logarithmiques. S'il en est ainsi, elle est une fonction uniforme du point analytique (^, u)^ n'ayant, sur toute la surface de Riemann, que des pôles pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle de z et de u. On déduit de là le théorème suivant, dû à Abel : Si

une intégrale /R(^, u) dz, oii R(:?, u) est une fonction rationnelle de deux variables z et u liées par la relation algébrique

3;>o CHAPITRE vii.

F(^, u) ■= o, est elle-même une fonction algébrique de z, elle est égale à une fonction rationnelle de z et de u.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que tous les résidus de la fonction rationnelle R(^, ?/) soient nuls. Cette condition étant supposée satisfaite, on a R(5, ?/)=:= S (i;, w), I = J; il faut, en outre, que tous les coefficients A,, . . ., X^, p.,, , . ., jji^ de la formule (20) soient nuls, c'est-à-dire, d'après les équations (21) et (2-2), que la somme des résidus de chacun des produits J|/(-S, u^ et J y/(^, ?^) (/ = 1 , 2, . . .,/?) soit nulle séparément.

Donc, pour cjue l'intégrale abélienne I = / R(^, u) dz se réduise à une fonction rationnelle de z et de u, il faut et il suffit :

1° Que tous les résidus de la fonction rationnelle R(^, u) soient nuls;

2" Que la somme des résidus du produit I'^(::, ;^), oii

hh(z, u) dz est une intégrale quelconque de première espèce^ soit /lui le;

3"^ Que la somme des résidus de chacun des produits lyi{z^ u) soit nulle, yj (z, u), . . ., y^p{Zj u) ayant le même sens que plus haut.

Nous ferons remarquer de nouveau que les conditions trouvées sont toutes algébriques. Si la première condition seule est satisfaite, l'intégrale 1 ne contient aucune intégrale de troisième espèce. Si les deux premières conditions seules sont satisfaites, l'intégrale I est égale à une fonction rationnelle de ^ et de u, augmentée d'une intégrale de première espèce. Remarquons enfin qu'au lieu de prendre pour '/j{z, u), .... '/^p(z, u) les dérivées de p intégrales de seconde espèce n'ajant qu'un pôle du premier ordre, on pourrait prendre les dérivées de p intégrales quelconques de seconde espèce, formant avec (ip^ . . ., Wp un système fondamental.

159. Les deux dernières conditions peuvent être mises sous une autre forme. De l'identité

d(lwi) = I<hi{z., u)dz -h iriR{z, u)dz., on déduit

/ I <h/(z, II) dz =— wi l\(z, u) dz,

INTÉGRALES NORMALES. 35l

chacune des intégrales étant prise le long du contour total de T'. Or la première intégrale est égale, à un facteur près, à la somme des résidus de I'}i(^, u), et la seconde est égale, au même facteur près, à la somme des résidus de (V/R(z, u). La deuxième condition peut donc être remplacée par la suivante : La somme des résidus de w R(:?, if) sur toute la surface doit être nullej w étant une intégrale quelconque de première espèce.

On voit de même que la dernière condition peut être énoncée comme il suit : La somme des résidus de chacun des p produits ^/R(;, u) doit être nulle {^).

On trouverait immédiatement ces conditions par une méthode un peu différente en écrivant que toutes les périodes de l'intégrale

I ^{z, u)dz sont nulles. Il suffît, pour cela, d'appliquer le théorème de Cauchy aux 2/? intégrales

jw^'\z, u)R(z, u)dz. I Z{z., u;ai,bi)R{z., u)dz, (l = 1,2, ...,p)r

prises le long du contour total de T', en se servant de l'expression de ces intégrales au mojen des périodes (n° 60).

160. Prenons comme exemple les courbes algébriques telles que l'aire limitée par deux rayons vecteurs et l'arc de la courbe compris entre les deux extrémités de ces rayons soit une fonction algébrique des coordonnées des deux extrémités. Cette aire est représentée par l'intégrale

z du.

le on a / u dz = uz — z du, le problème revient à rechercher les relations algébriques

telles que l'intégrale f u dz soit elle-même une fonction algébrique

(•) HuMBERT, Acta Mathematica, t. X, p. 391. On pourra consulter aussi sur ce sujet : Liouville , divers Mémoires dans le Journal de Mathématiques; Zeuthen, Comptes rendus, 1880; Raffy, Thèse de Doctorat, i883.

352 CHAPITRE Vil.

de jz. Bornons-nous au cas où la courbe (23), de degré m, a m points distincts à l'infini ; on peut prendre les axes de telle façon qu'aucune des m asjmptotes ne soit parallèle à l'axe des u. Soit

u = CiZ H- di-+- -^ -\ T + • • •

-»> JZ

Téquation qui représente une branche infinie asymptote à la droite H = CiZ -\- di; tous les coefficients tels que a[^^ doivent être nuls. Géométriquement, cela signifie que le point à l'infini dans la direction précédente est un point d'inflexion. En effet, effectuons la transformation homographique

à la branche infinie correspond une branche de courbe issue du point z' = o, a' = ci,

u' = Ci-T- diZ'-\- a[-^^^'2^ 3c[.2'^'3|

Si aj'^nno, on voit que la tangente lé =z Ci-\- diz' rencontre la courbe en trois points confondus.

Lorsque la courbe considérée est du genre zéro, ces conditions sont suffisantes. Donc, pour que l'aire d'une courbe unicursale de degré m^ qui a ni points simples à r infini, soit algébrique, il faut et il suffit que les m points à V infini soient des points d'inflexion (^).

Si la courbe est de genre/? > o, il faudra, en outre, que ip conditions nouvelles soient remplies. Prenons, par exemple, une cubique avec trois points d'inflexion à l'infini; si l'on prend pour axes de coordonnées deux des asymptotes, l'équation de cette cubique est de la forme

uz{u — az — b) — k-— o. On en tire

az -{-b \/zHaz -4- by^-h \k^z Il — -\- — ,