IZ
r , «52 bz 1 r^z^az^by-^ik^'Z ,
udz = — i h- - / ^ ^- ^ dz.
(*) ArrELL et E. Picard, Thèses de Doctorat.
Si le polynôme sous le radical a une racine double, la courbe est unicursale, et, d'après ce qui précède, l'intégrale doit être algébrique, ce qu'il est facile de vérifier. Dans tout autre cas, l'intégrale
n'est pas algébrique. En effet, considérons la relation auxiliaire ?/-= R(^) et les deux intégrales
r dz r dz
de première et de seconde espèce, attachées à cette relation,
D'après la théorie Sfénérale, la somme des résidus de ï et de
— devrait être nulle. Formons cette somme pour le second
zs/^^^T) . ,. .
produit. Les points à l'infini sont des pôles du second ordre pour I, et l'on a, dans le domaine de chacun de ces points,
les signes ±. se correspondant dans les deux formules. La somme des résidus pour les points à l'infini est donc égale à — i. Dans le domaine de l'origine, on a
le résidu du produit est donc égal à 4- Pour toute aulre valeur de 3, le résidu est nul. Par suite, l'intégrale
s/zHaz^bY-^ Xk-'z ^
ne peut être algébrique, lorsque lepolvnome sous le radical n'admet que des racines simples.
161. Le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de a est une intégrale abélienne qui ne possède que des points critiques logarithmiques (n" 48). Cette remarque nous conduit à nous poser la question suivante :
Étant donnée une intégrale abélienne 1= /R(^, u)dz^ qui n^admet que des points critiques logarithmiques, comment peut-on reconnaître si elle s exprime par une somme de logarithmes de fonctions rationnelles de z et de u et d'une intégrale de première espèce ?
Soient (a,, h,), {a., b.), ..., {ctg, bq)\es points critiques logarithmiques, R<, Ro, .-., i^q les résidus correspondants de R(^, w), qui vérifient la relation
(^4) Ri-i- R2 -I-. • ■+ R^ = o.
Supposons que l'intégrale considérée s'exprime de la façon indiquée, c'est-à-dire que l'on ait
(25) I = f^{^, ii)dz = (Mi\ogOi +W2logcp2 -+-...+ w;. logcp,. -f-w(^, u),
cOi, W2, ..., (-Or étant des constantes, cp,, Oo, ..., cp;. des fonctions rationnelles de z et de u, et iv{z, u) une intégrale de première espèce. On peut toujours admettre qu'il n'existe entre les constantes (Oi, coo, ..., w^ aucune relation linéaire et homogène à coefficients entiers; si, en effet, il existait une pareille relation,
7711 Wi -T- ;?Z2W2-1- . . .-f- Jn,.Oir = o,
où l'un au moins des coefficients, m,-, par exemple, est différent de zéro, on en tirerait
mj Wl + 7?l2(02 -h. . .H- /«/•-! W/.-i
OJ,. = >
et l'expression (20) pourrait s'écrire
La nouvelle formule contient un logarithme de moins que la
précédente. Si donc on suppose qu'on a réduit, de cette façon, autant que possible le nombre des logarithmes, il ne peut exister entre les constantes w, aucune relation de la forme indiquée ; c'est ce que nous admettrons désormais.
Gela posé, les zéros et les infinis des r fonctions cp,, cp,, ..., cp,font nécessairement partie des q points (a,, b^ ), ..., (a^,, bq). Si, en effet, un autre point (a, 3) était un pôle ou un zéro de quelques-unes de ces fonctions, dans le domaine de ce point, le second membre de la formule (20) serait infini comme
(micoi -i-. . .-f- m,.oir) log(^ — ce),
m^ mo ryir étant des nombres entiers dont l'un au moins
n'est pas nul. Or l'intégrale I est régulière au point (a, P); il faudrait donc que Ton eût 7?z, w, -f-. . .-1- nir^r — o, contrairement à l'hypothèse qui vient d'être faite. Soit mu un nombre entier, égal à zéro si le point («/, bi) n'est ni un pôle ni un zéro de 9a(^, w), éo-al à 4-/1 si le point (a/, bi) est un zéro d'ordre n de cp^, et à
ji' si (rt/, bi) est un pôle d'ordre n' de cpA. Dans le domaine du
point (<7/, 6/), le second membre de la formule (20) est de la forme
p/ - ai) désignant une fonction régulière. On a donc entre les résidus R,, R2, •••, R? et les constantes co,, w., ..., tO;- les q relations
(26) ^i — nmoii^ TlliUMi-r-.. .^ niri^r (î = ï , 2, . . . , q),
où tous les coefficients m^i sont des nombres entiers.
16^. Nous voyons que les q résidus R, , R,, . . ., R^ s'expriment par des fonctions linéaires à coefficients entiers des r quantités w,, (1)2, . . ., ^r- 11 n'en résulte pas qu'elles ne puissent s'exprimer de la même façon au moyen de moins de /• quantités, et nous sommes conduits à traiter d'abord la question suivante :
Étant données q quantités quelconques R,, Rj, •••, R^, réelles ou imaginaires, les exprimer par des fonctions linéaires et homogènes à coefficients entiers du plus petit nombre possible de quantités.
356 GHAPITRK VII.
Supposons le problème résolu et soient
^q = 'llq'^l
Si . . . . ,
les formules qui donnent une solution du problème, les nombres Hiff étant tous entiers. D'après la relation (24), le nombre s est au plus égal kq — i ; il est clair aussi qu'il est au plus égal à j\ mais il peut lui être inférieur. Nous allons montrer qu'on peut toujours ramener les /' logarithmes de la formule (20) à s logarithmes seulement (^).
Par hypothèse, il n'existe aucune relation linéaire et homogène à coefficients entiers entre a-,, o-o, ..., as. De plus, tous les déterminants d'ordre s que l'on déduit du tableau
nu
rigi
en prenant s lignes ne peuvent être nuls à la fois. En effet, supposons, pour plus de généralité, que tous les déterminants d'ordre supérieur à s'(s'<Cs), déduits du tableau précédent en supprimant un certain nombre de lignes et de colonnes, soient nuls et que l'un au moins des déterminants d'ordre s', par exemple
nu
ris'i
soit différent de zéro. Chacun des déterminants d'ordre s' tel que
nu ..
/Il2
ns'i
riis' . •
ris's'
nu . . .
ris'i
(') E. Coursât, Comptes rendus, t. CXVIII, 5 mars 1894.
INTÉGRALES NORMALES. SÔJ
OÙ i est un des nombres s'-i-i, ...^ s, est identiquement nul, comme on le voit, en remplaçant R,, Ro, • . ., R^', R/ par leurs valeurs tirées des formules (27). En développant ce déterminant par rapport aux éléments de la dernière colonne, on en déduit
DR/ 4- Di Ri + . . . -f- D^' R,' = o,
D,, Do, ..., D^ étant des nombres entiers. On voit que R,, Ro, . . ., Kq s'exprimeraient au moyen de s' quantités
Ri R.'
par des formules linéaires et homogènes à coefficients entiers; le nombre s ne serait donc pas, contrairement à notre hypothèse, le plus petit nombre entier donnant la solution du problème.
On démontrera de la même façon que Tun au moins des déterminants d'ordre s déduits du Tableau
rriii m2i . . . niri m 12 Tn=>2 . . . m, -2
mi,. m-i,. . . . ni/r
est différent de zéro; les équations (26) peuvent donc être résolues par rapport à s des quantités w,, ..., w^. On en tire, par exemple, Wi, too, .... w^ en fonction de R|, . . ., R^ et de w^+i, ..., (o,., et, en y remplaçant R,, ..., R^ par leurs expressions tirées des formules (27), on obtient des formules de la forme suivante
/ Acoi — XnOJ^,.|-l — • • • — ^^l,r-s^r = ,^11 '^l -H. . .-T- [Ai^T^,., (28) '
( ^(^Js — ^51 W^-+-l — . . .— '>^s,r-s^r = !J-5l ^1 "^ • • • -^ l^ss^s,
tous les coefficients A, 1, a étant des nombres entiers.
Imaginons maintenant qu'on substitue dans les formules (26) les valeurs de R, , Ro, . . ., R^, w,, . . ., w, tirées des relations (27) et (28) ; on devra obtenir des identités, c'est-à-dire que les coefficients de w^^,, .. ., (o^ devront être nuls dans les seconds membres, et les coefficients de cr,, . . ., cr^ devront être égaux de part et d'autre. En effet, si le coefficient de co^+,, par exemple, dans l'un des seconds membres n'était pas nul, on en tirerait pour
(j)s+i une fonction linéaire et homogène à coefficients commensurables de co^^o? •••^ ^ry '^\j •••? ^s- En ajoutant cette équation aux équations (28) on aurait 5 -h i équations distinctes entre Wi , . . . , is)r, 0-,, ..., ds et l'élimination de a^, g.,, . . ., o-^ conduirait au moins à une relation linéaire et homogène à coefficients entiers entre iù^, . . ., lûr. De même, si les coefficients de o-< , ..., o-ç n'étaient pas égaux de part et d'autre, on aurait une relation de même forme à coefficients entiers entre cti, o-o, . . ., a^.
Après la substitution précédente, le coefficient de iOs+h dans le second membre de la relation (26) est
nis^h.i + mu '- -\- m^i -^- -4- . . .+ nisi -•— ;
le coefficient de <7h est uj^i dans le premier membre et
niM \i.\ k -H ma/Va/r + • . . H- m^i ix.sk A
dans le second membre ; on a donc les relations suivantes entre ces nombres entiers
, o . mu [Xiz- -I- . . . -4- lllsi IXsk j 1=1,1. ...,q
(30) nki= * T '— j
Dans ces relations les nombres iij^i sont supposés connus par les formules (27), mais les nombres m^^, X, [ji, A sont complètement inconnus.
Dans la formule (20), remplaçons toi, Wo, . .., cO;. parleurs expressions tirées des formules (28); il vient
ï^ ^ log<];i4-...-l-- logt];5+ -'-^ log <];,+!+... 4- ^logt];,.-+-«^,
OU
n[^ii (p[^îi . . . cpl^^i,
. ' il ' ' 'Ts Tr '
Les fonctions rationnelles '^j^,, ..., ...,6rse réduisent à des constantes. En effet, ^s+h n'admet pour pôles et pour zéros que quelques-uns des points («,, ^,), ..., («y, bq). Dans le domaine du point (ai, bi) elle contient en facteur une certaine puissance de (z — ai) dont l'exposant est, d'après la signification des nombres niffi,
c'est-à-dire zéro, d'après la formule (29). Le point (rt/,6/) n'est donc ni un pôle ni un zéro pour 'i^^+yi ; cette fonction, n'admettant ni pôles ni zéros, se réduit forcément à une constante, et, par suite, l'intégrale T ne contient que s logarithmes, comme nous l'avions annoncé,
(3i) 1= ^log6,-t-...4-~Mog^,-H«^(^,zO-
Pour déterminer les fonctions à^, . . . , t!;^, cherchons les ordres des pôles et des zéros de •^,, par exemple; ces points font partie des q points (a, ,b\).., (ciq^ bq). Dans le domaine du point (a/, bi), log'v, est infini comme
( niu ai 1 -^ . . . -^ nisi ii^y ) log( - — «/),
c'est-à-dire, d'après les formules (3i), comme A/?,/log(:: — «/). Les nombres n^i sont supposés connus; si l'on connaissait A, on voit que les pôles et les zéros de 6,, , . . ,'ls seraient connus, avec leurs ordres de multiplicité respectifs. C'est l'indétermination de ce nombre entier A qui fait la difficulté de la seconde partie du problème.
163. En résumé, la question que nous nous sommes proposée comprend deux problèmes distincts. Si l'on veut chercher le nombre minimum de logarithmes auquel une intégrale abélienne peut se réduire, en supposant cette réduction possible, il faut chercher le plus petit nombre possible de quantités au moyen desquelles les résidus R, , . . . , R^ peuvent s'exprimer par des fonctions linéaires et homogènes à coefficients entiers. Si ce nombre est égal à 5, le nombre minimum des logarithmes est aussi égal à 5; on remarquera que ce nombre ne dépend que des résidus.
36o CHAPITRE VII.
Cette première question étant supposée résolue, on a ensuite à résoudre un ou plusieurs problèmes du type suivant :
Étant donnés sur une surface de Rlemann q points
et q nombres entiers /i,, n^, . . ., nq, dont la somme est nulle, existe-t-il une fonction rationnelle oi^z^u) et un nombre entier M, tels que logcp(^, u) soit régulier en tous les points de la surface de Riemann, sauf aux points {a^,bC)^ ..., [aq^ bg), et soit infini comme M/z^ log(^ — a/), dans le domaine du point [aiy bi)l
Si le nombre M était connu, le problème reviendrait évidemment à reconnaître s'il existe une fonction rationnelle cp(^, w), admettant des pôles et des zéros donnés, avec des degrés de multiplicité déterminés, problème dont on s'occupera plus loin et qui n'offre que des difficultés algébriques. Mais, aussi loin que l'on aille dans la série des essais en faisant successivement M=i , 2,3,..., sans jamais réussir, on ne peut affirmer, du moins dans le cas général, que le problème est impossible. Pour prendre un exemple simple, supposons/) = i, et supposons de plus qu'il n'y ait que quatre points critiques («4,6,), («2? ^2)? (<^37 ^3)? (<^.'o ^'. )? et enfin que l'on ait n^=i /io = i, az3= 714 = — i. Tout revient à trouver s'il existe une fonction rationnelle de ^ et de w admettant les seuls zéros [a^^ 6,), (ao, ^2) et les seuls pôles («3, 63), (a/,, b;^)^ chacun au degré M de multiplicité, M étant un nombre entier indéterminé. Soit w[z-^u) l'intégrale de première espèce ; pour que la fonction cherchée existe, il faut et il suffit, d'après le théorème d'Abel, qui sera étudié en détail dans un des Chapitres suivants, que l'on ait
M[w{ax, bi)-^- iv{a2j ^2)]= M[w{a^, 63)+ (^(«4, bi,)],
le signe ^ indiquant l'égalité à une période près. Il faut donc que la différence
w(ai, bi)-\- w{a2, b^) — ^(«3, ^3)— <^(«4, ^4)
soit commensurable avec une période de «^(s, u). Le problème
INTÉGRALES NORMALES. 36l
en question est donc de même nature que celui-ci : Etant donnés deux nombres que l'on peut calculer avec une approximation indéfinie, reconnaître si leur rapport est commensurable. Aussi loin que l'on pousse les opérations, il n'est jamais permis de conclure négativement, par cette seule considération. Pour plus de détails sur ce sujet, nous renverrons le lecteur aux dernières pages du Tome II du Traité des fonctions elliptiques d'Halphen, où l'éminent géomètre fait ressortir très nettement la difficulté du problème.
16i. Comme application de la théorie précédente, reprenons le problème suivant traité par Abel :
/o dz ^^-^ y OÙ G (?^ R
sont deux polynômes entiers en z^ R étant premier avec sa dérivée, qui s'expriment par une somme d'un nombre fini de logarithmes de fonctions rationnelles de z et de u.
L'intégrale / —^ ne doit posséder, comme singularités, que
des points critiques logarithmiques. Or cette intégrale est régulière pour toute valeur finie de ^ ; si R est de degré impair, le développement de ~= dans le domaine du point de ramification à
rinfini ne contient que des puissances fractionnaires de z^ et, par suite, le point à l'infini ne peut être un point critique logarithmique pour l'intégrale. Il faut donc que R soit de degré pair ip-\-Q . La surface de Riemann présente alors deux points distincts à l'infini; dans le domaine de chacun d'eux, l'intégrale doit être égale à un terme logarithmique, augmentée d'une fonction régulière, ce qui exige que p soit de degré p. Si ces deux conditions sont remplies, les deux résidus R|, Ro sont égaux et de signes contraires; le nombre s est égal à l'unité. Par suite, lorscpt'une intégrale delà forme j ^-^ est exprimable par logarithmes, elle
s'exprime au moyen d^un seul logarithme.
Soit
A désignant une constante et P, Q, S étant trois polynômes, la formule qui donne la valeur de cette intégrale. A chaque valeur de z correspondent pour le logarithme deux valeurs
log -^^-^— , log- ^^,
dont les dérivées — ^—= et L ont une somme nulle. La somme
de ces deux logarithmes et, par suite, le produit
+ Qv/r\/p-Qv/k
S J\ S doit donc se réduire à une constante K
p2 RQ2^KS2;
on peut alors écrire
ou encore
, p + Q/R I I /p + q/rX log ^i-L— = -logK-f- -log ^^~= •
Employant les notations d'Abel, on voit que, si l'intégrale considérée est exprimable par logarithmes, elle a une expression de la forme
(32) / '-=- = Alog
J v/R ^Va-?/R
a et P étant deux polynômes. On peut évidemment supposer a et ^ premiers entre eux; on peut aussi supposer a premier avecR. En effet, si a et R ont un plus grand commun diviseur N, on a
a = aiN, R=RiN,
a, étant premier avec R,; nous pouvons écrire
a-4-Pv/R ai y/N H- ^ y/RJ a-P /R ~ «ly/ÎV — pv^ï^' ^ /ai y/N H- ^ /rTX ^ i ^^^ /af N + ^^ Ri H- 2 a^ ^ /r"
2 ^Va'-pVl^
expression de même forme que la première, où
Les deux polynômes oJ et R sont premiers entre eux ; en effet, R, est premier avec N et avec a,, N est premier avec Ri et avec ^, car il divise a, et a et [^ sont supposés premiers entre eux.
Cela étant, si la fonction rationnelle ^-^ satisfait à la rela-
tion (32), elle a un seul pôle et un seul zéro, tous les deux rejetés à l'infini; autrement, le logarithme aurait des points critiques logarithmiques à distance finie. Le produit
ne peut s'annuler pour aucune valeur finie de ^; en effet, une racine ; ^ a de cette équation ne peut annuler à la fois les deux facteurs a H- ^ v'R, a — ^ ^/R, car elle annulerait la somme 2 a et la différence 2 ^ v^R, et nous avons vu qu'on peut supposer a premier avec ^R. Il faut donc que a- — [^-R se réduise à une constante et, comme il est permis de multiplier a et [3 par un même facteur constant, on peut supposer cette constante égale à l'unité; par conséquent, les trois polynômes a, ^ e^ R doivent vérifier la relation
Inversement, si trois polynômes a, ^3, R donnent lieu à l'identité (33), on en déduit une solution du problème proposé. Il est clair d'abord que R est de degré pair 2^ -i- 2 et que a est premier avec pR; on peut supposer aussi que R est premier avec sa dérivée; s'il contenait un facteur multiple tel que (^ — ^o)'^? on pourrait faire passer (^ — ^0)^' dans [3 ; s'il était divisible par {z — ;:o)"^"^' 1 on multiplierait ^ par {z — ^0)^ et il ne resterait dans R que (;: — ^o)- Gela posé, la fonction rationnelle de z et de y/R,
a — P/R n'admet, d'après la relation (33), ni pôles ni zéros à distance finie
elle admet un seul pôle et un zéro, tous les deux rejetés à l'infini. La dérivée logarithmique est donc égale, à un facteur numérique près, à une intégrale de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques à l'infini, c'est-à-dire qu'on a une relation de la forme
= log ' ^ ^
y/R V«-^v/îï
p étant un polynôme de degré p.
Pour résoudre de la façon la plus générale l'équation indéterminée (33), on peut se donner arbitrairement le polynôme a. La théorie des racines égales permet alors de mettre le polynôme a^ — I sous la forme p^R, R étant premier avec sa dérivée, par des opérations algébriques élémentaires. Par exemple, si l'on a
«2-i = XiXlXlX|,
les polynômes X^ n'ayant aucun facteur multiple, ni aucun facteur commun, on prendra R = Xi X3, p^XoXgX^. La valeur de p se calcule ensuite sans difficulté; on trouve
p = aSR'-i-2(a3'— a'^)R.
Abel s'est proposé aussi la question suivante, qui est en quelque sorte l'inverse de la précédente :
Etant donné un polynôme R, premier avec sa dérivée, de degré pair ip -^ i, reconnaître si Von peut trouver un autre
polynôme p tel que r intégrale 1 ~^ s'exprime par un loga-
J V l"^ rithme.
Ce problème est, d'après ce qui précède, équivalent à celui-ci : Peut-on trouver deux polynômes a et p, satisfaisant à la relation (33) ?
Si l'on connaissait a priori le degré de l'un de ces polynômes, on pourrait toujours, par la méthode des coefficients indéterminés, reconnaître si le problème admet ou non une solution. Mais, ici encore, on voit s'introduire un nombre entier indéterminé. Abel a rattaché la solution de ce problème à la théorie des fractions continues algébriques; il est arrivé à la proposition suivante,
pour la démonstraiion de laquelle nous renverrons à son Mémoire : Pour qii'il existe un polynôme p répondant à laquestion, il faut et il suffit que le développement de \jK en fraction continue algébrique soit périodique.
Lorsque le polynôme R(5) est du quatrième degré, p doit être du premier degré. Dans ce cas spécial, le problème a été étudié depuis par M. Tchebjchefr(^) et par M. Zolotareff (-), lorsque les coefficients de R(3) sont commensurables ou sont des nombres entiers complexes. Ces deux méthodes supposent que Ton connaît les racines de B.(^) ; elles permettent de reconnaître, au bout d^ un nombre fini d^ opérations, R(:;) = ^'' +«^^ + bz'--^cz-\-d étant donné, s'il existe une constante A telle que Ton ait
Il faut, pour cela, qu'il existe une fonction rationnelle de z et de y/R(^) ayant un seul pôle et un seul zéro, tous les deux à l'infini; pour que ce problème admette une solution, il faut et il suffit, d'après le théorème cité à la fin du n'^ 163, que la difTérence des valeurs de Tintégrale de première espèce aux deux points à l'infini soit commensurable avec une période. Tout revient donc à reconnaître si cette dififérence est de la forme
où m, m', n sont des nombres entiers, et a\ to' les périodes de l'intégrale de première espèce.
Kio. On a vu (n" loi) qu'une somme d'un nombre quelconque d'intégrales de première et de deuxième espèce se ramène toujours à ip intégrales distinctes et à un terme algébrique. Il n'existe point de proposition aussi simple pour les intégrales de troisième espèce; le théorème suivant offre cependant une certaine analogie avec le théorème qui vient d'être rappelé :
Etant donnée la somme d'un nombre quelconque d'inté-
(') Journal de Liouville; 1884.
(^) Voir Bulletin des Sciences mathématiques, 1879; P- 47^-478.
grales de troisième espèce, multipliées par des facteurs dont les rapports sont commensurables , on peut exprimer cette somme au moyen du logarithme d^une fonction rationnelle de z et de u, et de p intégrales de troisième espèce, V un des points critiques de chacune de ces intégrales de troisième espèce pouvant être choisi arbitrairement.
Soit 1=^ I R{z^ u) dz une intégrale n'admettant que des points
critiques logarithmiques, et telle que tous les résidus deR(^, u) soient commensurables entre eax. En multipliant R(^, u) par un facteur constant convenable, on peut supposer, ce que nous ferons désormais, que tous ces résidus sont des nombres entiers. Soient («1, 6i), ..., (rt^, bq) les points critiques pour lesquels les résidus m^ , mo, ..., m^ sont des nombres entiers positifs, (a,, î^i). ..., (a^, [^^) les points critiques pour lesquels les résidus sont des nombres entiers négatifs, — n^^ — /Zo, . . ., — n,- Pour ne pas interrompre la suite des idées, admettons le théorème suivant, qui sera démontré un peu plus loin, sans rien emprunter à cette théorie : il existe une fonction rationnelle de z et de u qui admet les points (a/, bt) pour zéros d'ordre /?z,, . . ., nig respectivement, les points (a^-, p^) pour pôles d'ordre n^^ . .., nr-, et qui est en outre infinie du premier ordre en/? points (ci, d^), ..., {Cp^ dp)^ que l'on peut choisir arbitrairement. Soit <ï>(^, u) cette fonction rationnelle, qui admet, en outre, p zéros distincts des premiers (c', , d\)^ . . ., (c' , d' ). La différence
log<ï>(^, u) — / K{z, u) dz
admet donc les seuls points critiques logarithmiques (c/, di)^ (c^, d'i) avec les multiplicateurs -\- i et — i respectivement; elle est donc égale à une somme de p intégrales de troisième espèce,
telles que nr'^'' *(i=ri, 2, ..., /?)^ ce qui établit la proposition. Pour prendre un exemple, considérons la relation de genre un
l'équation Z = o n'ajant que des racines simples, et l'intégrale
elliptique
r hdz
ou
(35) L=-/iv/Ao^-- -^— ^ H ^- +...-+- — ^ + K;
/?, «,, ..., Urj sont des nombres entiers positifs ou négatifs, «,, ..., Œq sont distincts des racines de Z = o, enfin on a 6^? = Ao<7^- -H. . . + A/,. L'intégrale I n'admet que des points critiques logarithmiques (a^-, bi)^ {at^ — bi) et les deux points à l'infini, les multiplicateurs étant précisément ifc /?/, àz n (n°^ 35 et 36). On peut donc lui appliquer le théorème précédent. L'intégrale de troisième espèce la plus générale avec les deux points critiques ( c, û?), (</, d') est (n° 37)
u A- d u-^ d , 1 7 ~ — -h k I dz.
Si l'on choisit convenablement la constante A" et les deux points
(c, <:/), (c', d')^ on aura
r t rf. , r J- (»^i' !i±^ + /-■) rf. = iog<i.(., u)
J u J iu\z — c z — c ]
dz = 2log*(5, ^0+ loge- — c)— log(^ — c')
ou
= log[
en posant
^Hz
■.ii)(z-
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Étant donnée une fonction ratioîinelle L de la forme (35), on peut toujours trouver une fonction T de la forme (36),
telle que ^-^- — soit la dérivée logarithmique d' une fonction rationnelle de z et de u {^ ).
C) Halphen, Traité des fonctions elliptiques, t. II, p. 638.
On verra, dans l'Ouvrage d'Halphen, comment on peut calculer T, ainsi que la fonction rationnelle dont le logarithme a pour dé-
rivée -^— ^^ — lorsque L est donnée. Un des points (c, d)^ (c^, d!)
peut être pris arbitrairement; si l'on a pris pour (c', d!) un point de ramification, d =z o, et l'expression de T se simplifie
166. Lorsque l'intégrale abélienne y R(^, u)dz est égale à une
fonction rationnelle de z et de u^ <ï>(^, u)^ ou au logarithme d'une fonction rationnelle A log<ï>(5, u) ^ le changement de variable
^{z^u)^=t ramène l'intégrale proposée à la forme Ç dt^ ou / -y-* vJn peut se poser une question plus générale :
Étant donnée une intégrale abélienne j \\{z, u) dz^ rela-
iwe à une courbe de genre /?, dans quels cas existe-t-il une substitution algébrique qui change cette intégrale en une nouvelle intégrale abélienne relative à une courbe de genre p' ^ inférieur à p?
La solution de ce problème général paraît difficile. Nous montrerons seulement, par un exemple simple, comment la question est liée à la réduction du nombre des périodes. Considérons une courbe de genre/?, supérieur à un, et une intégrale de première espèce
w = o(z, u) dz
attachée à cette courbe : si les 2p périodes de cette intégrale se ramènent à deux périodes distinctes, on peut ramener cette intégrale à une intégrale elliptique par une substitution rationnelle. Soient a)4 et W2 les deux périodes auxquelles se ramènent toutes les périodes de w\ la période relative à la coupure ai est égale à m^ù^ + ni^^^ et la période relative à bi est/?,tOi -f- qt Wo, ^i^ ^i^ Pi-, qt étant des nombres entiers. Séparons les parties
INTÉGRALES NORMALES. Sôg
réelles et les coefficients de y/ — i ; soit
toi = a -h ^ \/~— I
D'après la formule de Riemann, la somme
2 [(m/a -f- /ir;) (/?/? + ^/5 ) — (m,- ? ^ /i/o) (/?/a -^ qr()]
= (ao — ?y)^ ( m/^',- — «//?0
est essentiellement positive. On ne peut donc avoir tZ — ^v = o,
c'est-à-dire que le rapport — est nécessairement imaginaire ; le
même raisonnement prouve d'ailleurs que les ip périodes de w ne peuvent se réduire à une seule. Soit a((v) une fonction doublement périodique de w^ avec les deux périodes to,, Wo, admettant deux pôles simples dans un parallélogramme élémentaire (^ ); cette fonction satisfait à une équation différentielle de la forme
