M'=AX'+BX3+CX^+DX-E

A, B, C, D, E étant des constantes. Imaginons que, dans \[w),

on remplace w par l'intégrale /'f(^, ii) ciz ; A(tp) devient une

fonction uniforme du point analytique {z, u), puisque toutes les valeurs de iv en un même point de la surface de Riemann s'obtiennent en ajoutante l'une d'elles des multiples entiers de to, et de o)o. Soit A((r) =: 0(3, u); appelons ^ et r, les deux pôles de a((v) dans un parallélogramme élémentaire. La fonction <ï> {z, u) ne peut cesser d'être régulière que pour les points de la surface de Riemann où l'intégrale iv prend une valeur de la forme ç-f- /?ito, 4- /nx).2 ouTj -\-/n'ù)i + n'iô.2j et Ton reconnaît aisément que ces points sont des pôles pour ^{z. a); c'est donc une

(') Nous supposons connus les éléments de la théorie des fonctions doublement périodiques.

fonction rationnelle de z et de u. Gela posé, de la relation

X(cv) = ^{z, u), •on déduit, en différentiant par rapport à z,

,. , . , dw d^

en remplaçant V(iv) par sa valeur tirée de la relation (3-), et

dw

dz

dw , \ -1 • *

-TZ pai- ?(-^ if^)^ il vient

d<P dz

ou

o(z, u)dz= I -.

On voit donc qu'en prenant pour nouvelle variable la fonction rationnelle ^(z, u), l'intégrale proposée se change en une intégrale elliptique de première espèce, comme nous l'avions annoncé.

167. Considérons maintenant en particulier le cas où /> = 2, et ijupposons qu'une courbe de genre deux possède une intégrale de première espèce (Vj, ayant seulement deux périodes distinctes to,,

7??! Wj H- /il W2, ;?l2 Wi + 722 W2, />1 Wi -i- ^1 t02, />2 ^i -h ^2 ^^'^Z

les périodes de w^ relatives aux coupures «), «25 ^i? ^2- Soit «'2 une seconde intégrale de première espèce, distincte de la première, et A,, A2, B^, B2 ses périodes relatives aux mêmes coupures. D'après la relation générale qui lie les périodes de deux intégrales de première espèce (n*' 67), on a

(mioii -h /^l W2) Bi — Ai(/>iCl)i -i- (/i w,)