m2a)i4- 7i2W2)B2 — A2(/'2 Wj -+- (72W2) =. o

ou

( -f- a)2(A«iBi— qi Al -!- 71262— '72A2) = o.

INTÉGRALES NORMALES. Sjl

On peut supposer que les périodes A,, Ao, B,, Bo vérifient la relation

(4o) miBi — piXi-h niiB-j — /?-2A2 = o;

en effet, si l'on remplace (Vo par l'intégrale Wo -H K(v,, où K est une constante, les périodes de cette nouvelle intégrale sont

A', = Ai-j- K(mi wi -h /Il W2), A2 = A2-T- K(m2Wi -i- ^^2^2), B'i = Bi — K {piioi-^ ^iw,), Bj = Bo-T- K (/>2 wi-i- q2(x>-2), et l'on a

fniB\ — i>i A'i -f- m2B', — /?2 A', = niiBi — /^jAi-H m2B2— y^o Ao

-^Koii{miqi — riipi-^ fn-iq^— n^Pi).

Le coefficient de K dans le second membre n'est pas nul, d'après la relation de Riemann rappelée plus haut; on peut donc choisir la constante K de façon que la relation (4o) soit vérifiée pour la seconde intégrale. La formule (89) donne alors

(40 n^Bi — ^iAi-i-/i2B2— ^2A2= o.

Les deux nombres /?z, q^ — niP{ et 7722^2 — fiip-2 ne peuvent être nuls en même temps; supposons, par exemple, que /?z, q^ — t^\P\ ne soit pas nul. On tire alors des équations (4o) et (4i)

{p-2q\~Piq-2^-X^i—(p\n-2 — qi mo ) B, '"" fniqi — n^pi

(Pi^i — q2nii)X2-i-(min2 — nt/?î2^B2 niiqi — nipi

On voit que toutes les périodes de la seconde intégrale se ramènent à deux périodes distinctes,

miqi—nipi ' m^q^— ii^pi

et Ton peut énoncer le théorème suivant, dû à M. Picard (') :

(' ) Sur la réduction du nombre des périodes dans les intégrales abéliennes, et, en particulier, dans le cas des courbes du second genre {Bulletin de la Société mathématique, t. XI, p. 25).